高中数学第4章导数应用1.2函数的极值课件北师大版.ppt

1.2函数的极值,学课前预习学案,“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，说的是庐山的高低起伏，错落有致在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点同样，各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处，但它却是附近的最低点那么，在数学上，如何来刻画这种现象呢？,(1)在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在_的函数值都_x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值(2)在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在_的函数值都_x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值,1函数极值的有关定义,任何一点,不大于,任何一点,不小于,极大值,极小值,极大值点,极小值点,函数yf(x)在区间a，b上的图像如图所示(1)注意区别极值点与极值概念如图，函数yf(x)的极大值点为x1，x3；函数yf(x)的极小值点为x2，x4.函数yf(x)的极大值为f(x1)，f(x3)；函数yf(x)的极小值为f(x2)，f(x4)极值点为函数取极值时函数的自变量x的值,(2)函数的极值点在函数定义区间(a，b)内，不可能是区间端点(3)若函数yf(x)在(a，b)内有多个极值时，极大值点与极小值点一般交替出现，且两个相邻极大(小)值点间必有一个极小(大)值点(4)函数的极大值与极小值间无必然的大小关系如图，尽管x2，x4均为极小值点，但f(x2)f(x4)，有时yf(x)的极小值反比极大值大，如图中f(x4)f(x1),(1)如果函数yf(x)在区间(a，x0)上是单调递增的，在区间(x0，b)上是单调递减的，则x0是极_值点，f(x0)是极_值(2)如果函数yf(x)在区间(a，x0)上是单调递减的，在区间(x0，b)上是单调递增的，则x0是极_值点，f(x0)是极_值,2函数的单调性与极值,大,大,小,小,(1)对于可导函数来说，yf(x)在极值点处的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点例如，函数yx3在x0处，f(0)0，但x0不是函数的极值点(2)可导函数yf(x)在x0处取得极值的充要条件是f(x)0，且在x0的左侧与右侧，f(x)的符号不同(3)若函数yf(x)在(a，b)上有极值，则yf(x)在(a，b)上不是单调函数，即在区间上的单调函数没有极值例如，函数yx2在2,2上有极值，其单调性是先减后增；函数yx3在R上是递增的，没有极值(4)极大值点可以看成函数递增区间到递减区间的转折点，极小值点可以看成函数递减区间到递增区间的转折点,1函数f(x)x33x27的极大值是()A7B7C3D3解析：f(x)3x26x，由f(x)0得x0或x2，在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，f(0)7为函数的极大值答案：B,2函数f(x)ax3bx在x1处有极值2，则a，b的值分别为()A1，3B1,3C1,3D1，3解析：f(x)3ax2b，f(1)3ab0，ab2，解得a1，b3.答案：A,3函数yx36x的极大值为_，极小值为_,讲课堂互动讲义,求函数的极值,求函数极值的一般步骤是：(1)确定函数的定义域；(2)求方程f(x)0的根；(3)用方程f(x)0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格；(4)由f(x)在方程f(x)0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值,解析：(1)因为f(x)x44x35，所以f(x)4x312x24x2(x3)令f(x)4x2(x3)0，得x10，x23.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：,设函数f(x)ax3bx2cx在x1和x1处有极值，且f(1)1，求a、b、c，并求其极值,含参数的函数的极值,此类问题属于逆向思维问题，通过对算法过程和原理的分析，发现题目中蕴含的等量关系或不等关系是解题的关键,2已知函数f(x)x33ax22bx在点x1处的极小值为1，试确定a，b的值，并求f(x)的单调区间,(12分)设a为实数，函数f(x)x3x2xa.(1)求f(x)的极值；(2)当a在什么范围内取值时，曲线yf(x)与x轴仅有一个交点？思路导引(1)先求导数f(x)，然后按求极值的基本方法求解(2)当函数f(x)的极大值小于零或极小值大于零时，曲线yf(x)与x轴仅有一个交点，进而得关于a的不等式求解即可,函数极值的应用,极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用，在解题过程中，要熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略,3已知a为实数，函数f(x)x33xa.(1)求函数f(x)的极值，并画出其图像(草图)；(2)当a为何值时，方程f(x)0恰好有两个不同的实数根？解析：(1)由f(x)x33xa，得f(x)3x23，令f(x)0，得x1或x1.当x(，1)时，f(x)0；当x(1,1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0.所以函数f(x)的极小值为f(1)a2；极大值为f(1)a2.,由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图像，如图所示这里，极大值a2大于极小值a2.(2)结合图像，当极大值a20时，有极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)0恰有两个不同的实数根，所以a2满足条件；当极小值a20时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)0恰有两个不同的实数根所以a2也满足条件综上，当a2时，方程恰有两个不同的实数根,已知f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0，求常数a，b的值,【错因】根据极值的定义，函数先减后增为极小值，函数先增后减为极大值，此题未验证x1两侧函数的单调性，故求错【正解】求解过程同上当a1，b3时