六大定理互相证明总结.doc

六大定理的相互证明总结XXX 学号数学科学学院 数学与应用数学专业 班级指导老师 XXX摘要 在数学分析中第二部分极限续论中提到的实数的基本定理一共提到六大定理，其中包括确界定理，单调有界原理，区间套定理，致密性定理，柯西收敛定理，有限覆盖定理.该六大定理在闭区间上连续函数性质的证明起着同等重要的作用.本文总结了六大定理的相互证明.关键词 确界定理、单调有界原理、区间套定理、致密性定理、柯西收敛定理、有限覆盖定理1 确界定理1.1 确界定理 有上界的非空数集必有上确界，有下界的非空数集必有下确界.1.2 确界定理证明区间套定理证明：设一无穷闭区间列适合下面两个条件：（1）后一个区间在前一个区间之内，即对任一正整数，有，（2）当时，区间列的长度所成的数列收敛于零，即.显然数列中每一个元素均是数列的下界，而数列中每一个元素均是数列的上界.由确界定理，数列有上确界，数列有下确界.设显然.又 即及收敛于同一极限，并且是所有区间的唯一公共点.1.3 确界定理证明单调有界原理1证明：我们只就单调增加的有界数列予以证明.因有界，则必有上确界.现在证明恰好是的极限，即.由上确界的定义有：（），对任意给定的0，在中至少有一个数，有.但由于是单调增加数列，因此当时，有，从而.也就是说：当时，有 所以 2 单调有界原理2.1 单调有界原理 单调有界数列有极限.2.2 单调有界原理证明致密性定理在证明定理之前，我们要先证明一个引理：任意一个数列必存在单调子数列.证明：若中存在递增子序列，则引理已证明；若中无递增子序列，那么0，使，恒有.同样在（）中也无递增子序列.于是又存在0，使，恒有.如此无限进行下去便可得到一严格递减子序列.引理得证.下面证明定理：由引理知，有界数列必有有界单调子数列.又由单调有界原理知，该有界单调子数列必有极限，即该子数列是收敛的.故有界数列必有收敛子列.2.3 单调有界原理证明区间套定理1由定理的条件立即知道是单调增加有上界的数列，是单调递减有下界的数列.根据定理，则存在，且极限等于的上确界.同样，也存在，且极限等于的下确界.亦即对任何正整数，有 （*）由定理的另一条件： ，并且由于已知及的极限都存在，则有.从而证明了两个极限相等，且设是它们的同一极限.于是定理前一部分的结果即已证得.剩下要证的是：是所有区间的唯一公共点.由（*）的两个不等式，即有 （）也就是是所有区间的一个公共点.现在要证明是所有区间的唯一公共点.设除点外，所设区间列还有另外一个公共点，且.由于（），故有 （）由数列极限的性质知道： 由于，故有 从而有.到此定理的全部结果都已得证.3 区间套定理3.1 区间套定理 设一无穷闭区间列适合下面两个条件：（1）后一个区间在前一个区间之内，即对任一正整数，有，（2）当时，区间列的长度所成的数列收敛于零，即，则区间的端点所成两数列及收敛于同一极限，并且是所有区间的唯一公共点.3.2 区间套定理证明单调有界原理证明：设数列递增有上界.取闭区间，使不是数列的上界，是数列的上界.显然在闭区间内含有数列的无穷多项，而在外仅含有数列的有限项.对分，取，使其具有的性质.故在闭区间内含有数列的无穷多项，而在外仅含有数列的有限项.以此方法，得区间列.由区间套定理，是所有区间的唯一公共点.显然，在的任何邻域内有数列的无穷多项，即0，当时，有.所以 定理得证.3.3 区间套定理证明致密性定理1证明：设为有界数列，即存在两个数，使.等分区间为两个区间，则至少有一个区间含有中的无穷个数.把这个区间记为，如果两个区间都含有无穷个，则任取其一作为.再等分区间为两半，记含有无穷个的区间为.这个分割手续可以继续不断的进行下去，则得到一个区间列，这个区间列显然适合下面两个条件：（1）（2）于是由区间套定理，必存在唯一点使，且（）.每一中均含有的无穷个元素.在中任取的一项，记为，即的第项.由于也含有无穷个，则它必含有以后的无穷多个数，在这些数中任取其一，记为，则.继续在每一中都这样取出一个数，即得的一个子列，其中，且.令，由于故.这就是定理所要的结果.4 致密性定理4.1 致密性定理 又称魏尔斯特拉斯定理，任一有界数列必有收敛子列.4.2 致密性定理证明单调有界原理证明：不妨设单调递增且有界，根据致密性定理有收敛子列.令.于是，对0，当时，有 （*）由于单调递增，显然恒有（）.由此（*）式可改成0 （）取，当时有 所以 4.3 致密性定理证明柯西收敛原理1证明：首先证明条件的必要性：设，则对任意给定0，有一正整数，当时，有 从而当时，有 +=其次证明条件的充分性：首先，证明满足条件的任何数列必有界.从所设条件，取=1，必有一正整数，当时，有1特别地，当且时，有 1从而当时，有 1+这就证明了的有界性.由致密性定理，必有收敛子列，设.根据子列收敛定义，对任意给定的0，必有正整数，当时，有 取一正整数.于是，且.因此，当时，由已知条件有，所以+=2即 5 柯西收敛原理5.1 柯西收敛原理 数列有极限的必要与充分条件是：对任意给定的0，有正整数，当, 时，有.5.2 柯西收敛原理证明单调有界原理证明：反证法，设为一递增且有上界的数列.假设其没有极限，则用柯西收敛原理表达就是0，对，当时，有 取，必有一正整数，当时，有.又由于数列为一递增的数列，所以取，必有一正整数，当时，有取，必有一正整数，当时，有 取，必有一正整数，当时，有将以上式子相加，得 （）与数列有上界矛盾，假设不成立.即，单调有界数列有极限.5.3 柯西收敛原理证明致密性定理证明：反证法，设为一有上界的数列.假设其没有收敛子列.由子列收敛的定义，则0，对，当时，有.取，必有一正整数，当时，有取，必有一正整数，当时，有取，必有一正整数，当时，有 取，必有一正整数，当时，有显然与数列有上界矛盾，假设不成立.即，任一有界数列必有收敛子列.6 有限覆盖定理6.1有限覆盖定理 若开区间所组成的区间集覆盖一个闭区间,则总可以从中选出有限个区间，使这有限个区间覆盖,.6.2 有限覆盖定理证明确界定理证明：在这里我们只说明定理的上确界部分.设不为空集的区间，,有,任取一点，假设无上确界，那么,:)当为的上界时，必有更小的上界,因而存在一开邻域，其中每一点均为的上界，称其为第一类区间；）当不是的上界时，则有使,那么存在一开邻域，其中每点均不是的上界，称其为第二类区间. 当取遍,上每一点找出一个邻域.显然不是第一类区间就是第二类区间.这些邻域组成闭区间,的一个开覆盖，由有限覆盖定理，必存在有限子区间覆盖,.显然所在的开区间应为第一类区间，与其邻接的开区间有公共点.所以，均为的上界.而与相邻接的开区间有公共点，所以 ，均为的上界. 依此类推，所在的开区间也是第一类区间，则为的上界.又，为常数集.由此矛盾引出.得证.同理，有下确界.6.3 有限覆盖定理证明致密性定理证明：设是一有界数列，现在证明有收敛子列.（1）如果仅由有限个数组成，那么至少有一个数要重复无限多次，即= 因而子列收敛于.（2）如果是由无穷多个数组成，由有界性知，存在闭区间，使对一切自然数都有在内至少存在一点，使对于任意的正数，在内都含有中无穷多个数.事实上，倘若不然，就是说对于中每一点，都有0，在内，仅有中的有限个数.考虑所有这样的开区间所成之集：，完全覆盖了闭区间，依有限覆盖定理，存在中的有限多个区间.，他们也覆盖了，并且在每一个（,）中都只含中的有限多个数.因此也最多是由有限个数组成，这与假设矛盾.于是，对于=（），于内取中无穷多个点，就得到的子列满足：（）从而得证.总结：六