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启东中学内部资料启东中学内部资料请注意保存，严禁外传！请注意保存，严禁外传！启东中学内部资料启东中学内部资料1一、选择题一、选择题1.1.（辽宁理，（辽宁理，44）已知圆C与直线xy=0及xy4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为A.22(1)(1)2xyB.22(1)(1)2xyC.22(1)(1)2xyD.22(1)(1)2xy【解析】圆心在xy0上排除C、D再结合图象或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径即可.2【答案】B2.2.（重庆理，（重庆理，11）直线1yx与圆221xy的位置关系为（）A相切B相交但直线不过圆心C直线过圆心D相离【解析】圆心(00)为到直线1yx，即10 xy的距离1222d，而2012，选B。【答案】B3.（重庆文，（重庆文，11）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（）A22(2)1xyB22(2)1xyC22(1)(3)1xyD22(3)1xy解法解法1（直接法）：设圆心坐标为(0)b，则由题意知2(1)(2)1ob，解得2b，故圆的方程为22(2)1xy。解法解法2（数形结合法）：由作图根据点(12)到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为22(2)1xy解法解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B，D，又由于圆心在y轴上，排除C。【答案】A4.（上海文，上海文，17）点P（4，2）与圆224xy上任一点连续的中点轨迹方程是（）A.22(2)(1)1xyB.22(2)(1)4xyC.22(4)(2)4xyD.22(2)(1)1xy启东中学内部资料启东中学内部资料请注意保存，严禁外传！请注意保存，严禁外传！启东中学内部资料启东中学内部资料2【解析】设圆上任一点为Q（s，t），PQ的中点为A（x，y），则2224tysx，解得：2242ytxs，代入圆方程，得（2x4）2（2y2）24，整理，得：22(2)(1)1xy【答案】A5.（上海文，上海文，15）已知直线12:(3)(4)10:2(3)230lkxkylkxy与平行，则k得值是（）A.1或3B.1或5C.3或5D.1或2【解析】当k3时，两直线平行，当k3时，由两直线平行，斜率相等，得：kk43k3，解得：k5，故选C。【答案】C6.(上海文，上海文，18)过圆22(1)(1)1Cxy：的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，AOB被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足|SSSS则直线AB有（）（A）0条（B）1条（C）2条（D）3条【解析】由已知，得：IVIIIIIISSSS，第II，IV部分的面积是定值，所以，IVIISS为定值，即IIIISS为定值，当直线AB绕着圆心C移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB只有一条，故选B。【答案】B7.（陕西理，（陕西理，4）过原点且倾斜角为60的直线被圆学2240 xyy所截得的弦长为科网A.3B.2C.6D.2322224024323xyyxy解析：（），A(02)OA=2A到直线ON的距离是1ON=弦长【答案】D启东中学内部资料启东中学内部资料请注意保存，严禁外传！请注意保存，严禁外传！启东中学内部资料启东中学内部资料3二、填空题二、填空题8.（广东文，（广东文，13）以点（2，1）为圆心且与直线6xy相切的圆的方程是.【解析】将直线6xy化为60 xy圆的半径|216|5112r所以圆的方程为2225(2)(1)2xy【答案】2225(2)(1)2xy9.（天津理，（天津理，13）设直线1l的参数方程为113xtyt（t为参数），直线2l的方程为y=3x+4则1l与2l的距离为_【解析】由题直线1l的普通方程为023yx，故它与与2l的距离为510310|24|。【答案】510310.（天津文，（天津文，14）若圆422yx与圆)0(06222aayyx的公共弦长为32，则a=_.【解析】由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为ay1，利用圆心（0，0）到直线的距离d1|1|a为13222，解得a=1.【答案】111.（全国（全国文文16）若直线m被两平行线12:10:30lxylxy与所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是1530456075其中正确答案的序号是.（写出所有正确答案的序号）【解析】解：两平行线间的距离为211|13|d，由图知直线m与1l的夹角为o30，启东中学内部资料启东中学内部资料请注意保存，严禁外传！请注意保存，严禁外传！启东中学内部资料启东中学内部资料41l的倾斜角为o45，所以直线m的倾斜角等于00754530o或00153045o。【答案】12.（全国全国理理16）已知ACBD、为圆O:224xy的两条相互垂直的弦，垂足为12M则四边形ABCD的面积的最大值为。【解析】设圆心O到ACBD、的距离分别为12dd、则222123ddOM+.四边形ABCD的面积222212121|2(4)8()52SABCDdddd)(4-【答案】513.（全国全国文文15）已知圆O：522yx和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于【解析】由题意可直接求出切线方程为y-2=21(x-1)，即x+2y-5=0从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和25，所以所求面积为42552521。【答案】25414.（湖北文（湖北文14）过原点O作圆x2+y2-6x8y20=0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为。【解析】可得圆方程是22(3)(4)5xy又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得4PQ.【答案】415.（江西理（江西理16）设直线系:cos(2)sin1(02)Mxy对于下列四个命题：AM中所有直线均经过一个定点B存在定点P不在M中的任一条直线上C对于任意整数(3)nn，存在正n边形其所有边均在M中的直线上DM中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）【解析】因为cos(2)sin1xy所以点(02)P到M中每条直线的距离启东中学内部资料启东中学内部资料请注意保存，严禁外传！请注意保存，严禁外传！启东中学内部资料启东中学内部资料52211cossind即M为圆C:22(2)1xy的全体切线组成的集合从而M中存在两条平行直线所以A错误；又因为(02)点不存在任何直线上所以B正确；对任意3n存在正n边形使其内切圆为圆C故C正确；M中边能组成两个大小不同的正三角形ABC和AEF故D错误故命题中正确的序号是BC.【答案】BC三、解答题三、解答题16.（2009江苏卷江苏卷18）（本小题满分16分）在平面直角坐标系xoy中，已知圆221:(3)(1)4Cxy和圆222:(4)(5)4Cxy.（1）若直线l过点(40)A，且被圆1C截得的弦长为23，求直线l的方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线1l和2l，它们分别与圆1C和圆2C相交，且直线1l被圆1C截得的弦长与直线2l被圆2C截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。解解(1)设直线l的方程为：(4)ykx，即40kxyk由垂径定理，得：圆心1C到直线l的距离22234()12d，结合点到直线距离公式，得：2|314|11kkk化简得：272470024kkkork求直线l的方程为：0y或7(4)24yx，即0y或724280 xy(2)设点P坐标为()mn，直线1l、2l的方程分别为：1()()ynkxmynxmk，即：1100kxynkmxynmkk因为直线1l被圆1C截得的弦长与直线2l被圆2C截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：圆心1C到直线1l与2C直线2l的距离相等。启东中学内部资料启东中学内部资料请注意保存，严禁外传！请注意保存，严禁外传！启东中学内部资料启东中学内部资料6故有：2241|5|31|111nmknkmkkkk，化简得：(2)3(8)5mnkmnmnkmn或关于k的方程有无穷多解，有：2030mnmnm-n+8=0或m+n-5=0解之得：点P坐标为313()22或51()22。20052008年高考年高考题题一、选择题1.（20082008年全国年全国理理1111）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20 xy与x-7y-4=0原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（）.A3B2C13D12答案答案A解析解析102:11kyxl，71047:22kyxl，设底边为kxyl:3由题意，3l到1l所成的角等于2l到3l所成的角于是有371711112211kkkkkkkkkkk再将A、B、C、D代入验证得正确答案是A。2.（20082008年全国年全国文文33）原点到直线052yx的距离为（）A1B3C2D5答案答案D解析解析52152d。3.（20082008四川四川）将直线3yx绕原点逆时针旋转090，再向右平移个单位长度，所得到的直线为()启东中学内部资料启东中学内部资料请注意保存，严禁外传！请注意保存，严禁外传！启东中学内部资料启东中学内部资料7A.1133yxB.113yxC.33yxD.113yx答案答案A4.（20082008上海上海1515）如图，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点若点()Pxy，、点()Pxy，满足xx且yy，则称P优于P如果中的点Q满足：不存在中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧（）BCD答案答案D5.（20072007重庆文）重庆文）若直线与圆122yx相交于P、Q两点，且POQ120（其中O为原点），则k的值为（）A.-3或3B.3C.-2或2D.2答案答案A6.（20072007天津文）天津文）“2a”是“直线20axy平行于直线1xy”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案答案C7（20062006年江苏）年江苏）圆1)3()1(22yx的切线方程中有一个是（）A.xy0B.xy0C.x0D.y0答案答案C8.（20052005湖南文）湖南文）设直线的方程是0ByAx，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A、B的值，则所得不同直线的条数是（）A20B19C18D16答案答案CC9.(2005(2005全国全国文文)设直线l过点)02(，且与圆122yx相切，则l的斜率是启东中学内部资料启东中学内部资料请注意保存，严禁外传！请注意保存，严禁外传！启东中学内部资料启东中学内部资料8ABlC工（）A.1B.21C.33D.3答案答案C10.（20052005辽宁）辽宁）若直线02cyx按向量)11(a平移后与圆522yx相切，则c的值为（）A8或2B6或4C4或6D2或8答案答案A11.（20052005北京文）北京文）“m=21”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m2)x+(m+2)y3=0相互垂直”的()A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件答案答案B二、填空题二、填空题12.（20082008天津文天津文1515，）已知圆C的圆心与点(21)P关于直线y=x+1对称，直线3x+4y-11=0与圆C相交于BA两点，且6AB，则圆C的方程为_.答案答案22(1)18xy13.（20082008四川文四川文1414）已知直线:40lxy与圆22:112Cxy，则C上各点到l的距离的最小值为_.答案答案214.（20082008广东理广东理1111）经过圆2220 xxy的圆心C，且与直线0 xy垂直的直线程是答案答案10 xy15.（20072007上海文）上海文）如图，AB，是直线l上的两点，且2AB两个半径相等的动圆分别与l相切于AB，点，C是这两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成图形面积S的取值范围是答案答案22016.（2007湖南理）湖南理）圆心为(11)，且与直线4xy相切的圆的方程是启东中学内部资料启东中学内部资料请注意保存，严禁外传！请注意保存，严禁外传！启东中学内部资料启东中学内部资料9答案答案(x-1)2+(y-1)2=217.(20062006重庆理重庆理)已知变量xy满足约束条件1x+y4-2x-y2.若目标函数z=ax+y(其中a0)仅在点(31)处取得最大值，则a的取值范围为_.答案答案a118.（20052005江西）江西）设实数xy满足的最大值是则xyyyxyx03204202.答案答案23第二部分第二部分三年联考汇编三年联考汇编2009年年联联考考题题一、选择题一、选择题1.(西南师大附中高西南师大附中高20092009级第三次月考级第三次月考)“a=3”是“直线210axy与直线640 xyc平行”的（）条件A充要B充分而不必要C必要而不充分D既不充分也不必要答案答案CC2.(重庆市大足中学重庆市大足中学20092009年高考数学模拟试题年高考数学模拟试题)直线x+y+1=0与圆2122yx的位置关系是（）A.相交B.相离C.相切D.不能确定答案答案C3.(西南师大附中高西南师大附中高20092009级第三次月考级第三次月考)两圆32cos3cos42sin3sinxxyy与的位置关系是（）A内切B外切C相离D内含答案答案B4.(西南师大附中高西南师大附中高20092009级第三次月考级第三次月考)已知点P（x，y）是直线kx+y+4=0（k0）上一动点，PA、PB是圆C：2220 xyy的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（）A3B212C22D2答案答案D5.(福建省南安一中、安溪一中、养正中学福建省南安一中、安溪一中、养正中学启东中学内部资料启东中学内部资料请注意保存，严禁外传！请注意保存，严禁外传！启东中学内部资料启东中学内部资料102009届高三期中联考届高三期中联考)已知实系数方程x2+ax+2b=0的一个根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则21ba的取值范围是（）A（，1）B（，）（，）（，）1412121413答案答案A6.(广东省华南师范附属中学广东省华南师范附属中学2009届高三上学期第三次综合测试届高三上学期第三次综合测试)点(4)t到直线431xy的距离不大于3，则t的取值范围是（）A13133tB100tC100tD0t或10t答案答案C7.(四川省成都市四川省成都市2009届高三入学摸底测试届高三入学摸底测试)已知圆的方程为22680 xyxy，设圆中过点(25)的最长弦与最短弦分别为AB、CD，则直线AB与CD的斜率之和为()A.1B.0C.1D.2答案答案B8.(湖南省长郡中学湖南省长郡中学2009届高三第二次月考届高三第二次月考)直线)1(1:xkyl和圆0222yyx的关系是（）A.相离B.相切或相交C.相交D.相切答案答案C9.(福建省宁德市福建省宁德市2009届高三上学期第四次月考届高三上学期第四次月考)过点)21(M的直线l将圆(x-2)2+y2=9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l的方程是（）A1xB1yC01yxD032yx启东中学内部资料启东中学内部资料请注意保存，严禁外传！请注意保存，严禁外传！启东中学内部资料启东中学内部资料11答案答案D二、填空题二、填空题10.(广东省华南师范附属中学广东省华南师范附属中学2009届高三上学期第三次综合测试届高三上学期第三次综合测试)从圆(x-1)2+(y-1)2=1外一点(23)P向这个圆引切线，则切线长为答案答案211.(江苏省赣榆高级中学江苏省赣榆高级中学2009届高三上期段考届高三上期段考)直线032yx与直线04byax关于点)01(A对称，则b_。答案答案212.(湖南省长郡中学湖南省长郡中学2009届高三第二次月考届高三第二次月考)过点C(-)作圆2522yx的切线，切点为A、B，那么点C到直线AB的距离为_。答案答案2513.(四川省成都市四川省成都市20082009学年度上学期高三年级期末综合测试学年度上学期高三年级期末综合测试)光线由点P(23)射到直线1yx上反射后过点Q(11)则反射光线方程为.答案答案4x5y1014.(安徽省巢湖市安徽省巢湖市2009届高三第一次教学质量检测届高三第一次教学质量检测)过)121(M的直线l与圆C：(x-1)2+y2=4交于A、B两点，当ACB最小时，直线的方程为.答案答案0342yx20072008年年联联考考题题一、选择题一、选择题1.(四川省巴蜀联盟四川省巴蜀联盟2008届高三年级第二次联考届高三年级第二次联考)已知点A（32），B（-27），若直线y=ax-3与线段AB的交点P分有向线段AB的比为4:1，则a的值为（）A3B-3C9D-9答案答案DD2.(北京市丰台区北京市丰台区2008年年4月高三统一练习一月高三统一练习一)由直线1yx上的点向圆(x-3)2+(y+2)2=1引切线，则切线长的最小值为()A.17B.32C.19D.25答案答案AA启东中学内部资料启东中学内部资料请注意保存，严禁外传！请注意保存，严禁外传！启东中学内部资料启东中学内部资料123.(北京市西城区北京市西城区2008年年5月高三抽样测试月高三抽样测试)圆2211yx被直线0 xy分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为（）A12B13C14D15答案答案B4.(广东省汕头市澄海区广东省汕头市澄海区2008年第一学期期末考试年第一学期期末考试)直线yxb平分圆x2+y2-8x+2y-2=0的周长，则b（）A3B5C3D5答案答案D5.(安徽省合肥市安徽省合肥市2008年高三年级第一次质检年高三年级第一次质检)把直线20 xy按向量(20)a平移后恰与224220 xyyx相切，则实数的值为（）A22或2B2或2C22或22D22或2答案答案C6.（2007岳阳市一中高三数学能力题训练）岳阳市一中高三数学能力题训练）若圆2225()3(ryx）上有且仅有两个点到直线4x3y2=0的距离为1，则半径r的取值范围是（）A.（，6）.，）.（，.，答案答案A7.(2007(2007海淀模拟海淀模拟)已知直线ax+by-1=0(ab不全为0)与圆x2+y2=50有公共点，且公共点横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有（）条A.66B.72C.74D.78答案答案C二、填空题二、填空题7.(甘肃省兰州一中甘肃省兰州一中2008届高三上期期末考试届高三上期期末考试)光线从点P（3，5）射到直线l:3x-4y+4=0上，经过反射，其反射光线过点Q（3，5），则光线从P到Q所走过的路程为.答案答案88.(河北省正定中学河北省正定中学2008年高三第四次月考年高三第四次月考)圆(sin1cos1yx为参数）的标准方程是，过这个圆外一点P23的该圆的切线方程是。答案答案(x1)2(y1)21；x2或3x4y60启东中学内部资料启东中学内部资料请注意保存，严禁外传！请注意保存，严禁外传！启东中学内部资料启东中学内部资料139.(湖北省鄂州市湖北省鄂州市2008年高考模拟年高考模拟)与圆22(2)1xy相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有_条.答案答案410.(湖南省长沙市一中湖南省长沙市一中2008届高三第六次月考届高三第六次月考)设直线03yax与圆(x-1)2+(y-2)2=4相交于A、B两点，且弦长为32，则a=。答案答案011.(江苏省泰兴市江苏省泰兴市20072008学年第一学期高三调研学年第一学期高三调研)设直线1l的方程为022yx，将直线1l绕原点按逆时针方向旋转90得到直线2l，则2l的方程是答案答案2xy2012.(2007.(2007石家庄一模石家庄一模)若5xkx+2对一切x5都成立，则k的取值范围是_.答案答案k110或k0）过M（2，2），N(61)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点AB且OAOB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由。解:（1）因为椭圆E:22221xyab（ab0）过M（2，2），N(61)两点所以2222421611abab解得22118114ab所以2284ab椭圆E的方程为22184xy（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点AB且OAOB设该圆的切线方程为ykxm解方程组22184xyykxm得222()8xkxm即222(12)4280kxkmxm则=222222164(12)(28)8(84)0kmkmkm即22840km启东中学内部资料启东中学内部资料请注意保存，严禁外传！请注意保存，严禁外传！启东中学内部资料启东中学内部资料3812221224122812kmxxkmxxk22222222212121212222(28)48()()()121212kmkmmkyykxmkxmkxxkmxxmmkkk要使OAOB需使12120 xxyy即2222228801212mmkkk所以223880mk所以223808mk又22840km所以22238mm所以283m即263m或263m因为直线ykxm为圆心在原点的圆的一条切线所以圆的半径为21mrk222228381318mmrmk263r所求的圆为2283xy此时圆的切线ykxm都满足263m或263m而当切线的斜率不存在时切线为263x与椭圆22184xy的两个交点为2626()33或2626()33满足OAOB综上存在圆心在原点的圆2283xy，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点AB且OAOB.因为12221224122812kmxxkmxxk所以22222212121222224288(84)()()4()41212(12)kmmkmxxxxxxkkk2222222121212228(84)|()(1)()(1)(12)kmABxxyykxxkk42242423245132134413441kkkkkkk启东中学内部资料启东中学内部资料请注意保存，严禁外传！请注意保存，严禁外传！启东中学内部资料启东中学内部资料39当0k时22321|11344ABkk因为221448kk所以221101844kk所以223232111213344kk所以46|233AB当且仅当22k时取”=”.当0k时46|3AB.当AB的斜率不存在时两个交点为2626()33或2626()33所以此时46|3AB综上|AB|的取值范围为46|233AB即:4|6233AB【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题主要考查了椭圆的标准方程的确定直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.47.(2009山东卷文)（本小题满分14分）设mR在平面直角坐标系中已知向量(1)amxy向量(1)bxyab动点()Mxy的轨迹为E.（1）求轨迹E的方程并说明该方程所表示曲线的形状（2）已知41m证明:存在圆心在原点的圆使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点AB且OAOB(O为坐标原点)并求出该圆的方程(3)已知41m设直线l与圆C:222xyR(10可设直线AS的方程为()ykxa.由222222242221(1)20()xyakxakxakaaykxa得启东中学内部资料启东中学内部资料请注意保存，严禁外传！请注意保存，严禁外传！启东中学内部资料启东中学内部资料56设点22222()()1TTTakaTxyxaak故22221Taakxak从而222()1TTakykxaak.亦即2222222().11aakakTakak22222222(0)()11akakBaBTakak由()xaykxa得(2)(2).saakOSaak由BTOS可得2222224012akakBTOSak即2222240akak002kaa经检验当2a时OMS三点共线.故存在2a使得OMS三点共线.方法二方法二:()同方法一.()假设存在a使得OMS三点共线.由于点M在以SO为直径的圆上故SMBT.显然直线AS的斜率k存在且k0可设直线AS的方程为()ykxa由222222222221(1)20()xyabxakxakaaykxa得设点()TTTxy则有42222().1Takaxaak故22222222222222()().111TTTaakakaakakxykxaTaakakakak从而亦即启东中学内部资料启东中学内部资料请注意保存，严禁外传！请注意保存，严禁外传！启东中学内部资料启东中学内部资料57221(0)TBTSMTyBakkakxaak故由()xaykxa得S(a2ak)所直线SM的方程为22()yakakxaOSM三点共线当且仅当O在直线SM上即22()akaka.002aKa故存在2a使得OMS三点共线.60.（2009辽宁卷文、理）（本小题满分12分）已知，椭圆C以过点A（1，32），两个焦点为（1，0）（1，0）。（1）求椭圆C的方程；（2）EF是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。（）解解由题意，c1可设椭圆方程为2222114xybb。因为A在椭圆上，所以2219114bb，解得2b3，2b34（舍去）。所以椭圆方程为22143xy（）证明证明设直线方程：得3(1)2ykx，代入22143xy得22233+4+4(32)4()1202kxkkxk（）设（Ex，Ey），（Fx，Fy）因为点（1，32）在椭圆上，所以2234()12234Ekxk，32EEykxk。又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以k代k，可得2234()12234Fkxk，启东中学内部资料启东中学内部资料请注意保存，严禁外传！请注意保存，严禁外传！启东中学内部资料启东中学内部资料5832FFykxk。所以直线EF的斜率()212FEFEEFFEFEyykxxkkxxxx。即直线EF的斜率为定值，其值为12。61.（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.（）求椭圆C的方程；（）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，OPOM=，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。解解()设椭圆长半轴长及半焦距分别为ac，由已知得1437acacac解得，所以椭圆C的标准方程为221167xy（）设()Mxy，其中44x。由已知222OPOM及点P在椭圆C上可得2222911216()xxy。整理得2222(169)16112xy，其中44x。（i）34时。化简得29112y所以点M的轨迹方程为47(44)3yx，轨迹是两条平行于x轴的线段。（ii）34时，方程变形为2222111211216916xy，其中44x当304时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足44x的部分。当314时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足44x的部分；启东中学内部资料启东中学内部资料请注意保存，严禁外传！请注意保存，严禁外传！启东中学内部资料启东中学内部资料59当1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆；62.（2009陕西卷文）（本小题满分12分）已知双曲线C的方程为22221(00)yxabab，离心率52e，顶点到渐近线的距离为255。（1）求双曲线C的方程；(2)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若123APPB，求AOB面积的取值范围。方法一方法一解解（）由题意知，双曲线C的顶点（0，a）到渐近线2505axby的距离为，所以22255abab所以255abc由22225525125abcacbaccab得所以曲线C的方程是2y421x（）由（）知双曲线C的两条渐近线方程为2yx设(2)2)00AmmBnnmn（由)APPBPuuuruurm-n2(m+n)得点的坐标为（1+1+将P点的坐标代入222(1)144yx化简得mn=因为2AOB14tan()2tansin2225启东中学内部资料启东中学内部资料请注意保存，严禁外传！请注意保存，严禁外传！启东中学内部资料启东中学内部资料60又55OAmOBn所以111sin22()122AOBSOAOBmn记111()()1223S则211()(1)2S由()01S得又S（1）=2，189()(2)334SS当1时，AOB面积取到最小值2，当当13时，AOB面积取到最大值83所以AOB面积范围是823方法二方法二（）由题意知，双曲线C的顶点（0，a）到渐近线2505axby的距离为，22252555ababcab即由22225525125abcacbaccab得所以曲线C的方程是2y421x.（）设直线AB的方程为ykxm由题意知20km由2)222ykxmmmAyxkk得点的坐标为（由2)222ykxmmmByxkk得点的坐标为（启东中学内部资料启东中学内部资料请注意保存，严禁外传！请注意保存，严禁外传！启东中学内部资料启东中学内部资料61121()()122122mmAPPBPkkkk得点的坐标为（uuuruur将P点的坐标代入21x2y4得2224(1)4mk设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为（0，m）AOBS=AOQBOQSS.22111()222114()2222411()12ABABOQxOQxmxxmmmmkkkggg63.（2009四川卷文、理）（本小题满分12分）已知椭圆2221(0)xyabab的左、右焦点分别为12FF、，离心率22e，右准线方程为2x。（I）求椭圆的标准方程；（II）过点1F的直线l与该椭圆交于MN、两点，且222263FMFN，求直线l的方程。解解（I）由已知得2222caac，解得21ac221bac所求椭圆的方程为2212xy.（II）由（I）得1(10)F、2(10)F若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为1x，由22112xxy得22y启东中学内部资料启东中学内部资料请注意保存，严禁外传！请注意保存，严禁外传！启东中学内部资料启东中学内部资料62设2(1)2M、2(1)2N，2222(2)(2)(40)422FMFN，这与已知相矛盾。若直线l的斜率存在，设直线直线l的斜率为k，则直线l的方程为(1)ykx，设11()Mxy、22()Nxy，联立22(1)12ykxxy，消元得2222(12)4220kxkxk221212224221212kkxxxxkk，121222(2)12kyykxxk，又211222(1)(1)FMxyFNxy221212(2)FMFNxxyy2222222121222822226(2)()12123kkFMFNxxyykk化简得424023170kk解得2217140或(舍去)kk1k所求直线l的方程为11或yxyx64.（2009全国卷文）（本小题满分12分）如图，已知抛物线2:Eyx与圆222:(4)(0)Mxyrr相交于A、B、C、D四个点。（）求r的取值范围（）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标。解：解：（）将抛物线2:Eyx代入圆222:(4)(0)Mxyrr的方程，启东中学内部资料启东中学内部资料请注意保存，严禁外传！请注意保存，严禁外传！启东中学内部资料启东中学内部资料63消去2y，整理得227160 xxr抛物线2:Eyx与圆222:(4)(0)Mxyrr相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根016070)16(449221212rxxxxr即442525rrr、。解这个方程组得425r15(4)2r.（II）设四个交点的坐标分别为11()Axx、11()Bxx、22()Cxx、22()Dxx。则由（I）根据韦达定理有21212716xxxxr，15(4)2r则2112211212|()|()2Sxxxxxxxx222212121212()4(2)(7216)(415)Sxxxxxxxxrr令216rt，则22(72)(72)Stt下面求2S的最大值。方法1：由三次均值有：221(72)(72)(72)(72)(144)2Sttttt3317272144128()()2323ttt当且仅当72144tt，即76t时取最大值。经检验此时15(4)2r满足题意。方法2：设四个交点的坐标分别为11()Axx、11()Bxx、22()Cxx、22()Dxx则直线AC、BD的方程分别为)()(112121112121xxxxxxxyxxxxxxxy解得点P的坐标为)0(21xx。启东中学内部资料启东中学内部资料请注意保存，严禁外传！请注意保存，严禁外传！启东中学内部资料启东中学内部资料64设21xxt，由216rt及（）得)410(t由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积|)22(212121xxxxS则4)(2(2122122112xxxxxxxxS将721xx，txx21代入上式，并令2)(Stf，等)270(34398288)27()27()(232tttttttf，)76)(72(2985624)(2tttttf，令0)(tf得67t，或27t（舍去）当670t时，0)(tf；当67t时0)(tf；当2767t时，0)(tf故当且仅当67t时，)(tf有最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为)067(。65.（2009湖北卷文）（本小题满分13分）如图，过抛物线y22PX(P0)的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线L作垂线，垂足分别为M1、N1()求证：FM1FN1:()记FMM1、FM1N1、FNN1的面积分别为S1、S2、，S3，试判断S224S1S3是否成立，并证明你的结论。（1）证明证明方法一方法一由抛物线的定义得11MFMMNFNN1111MFMMMFNFNNNF如图，设准线l与x的交点为1F启东中学内部资料启东中学内部资料请注意保存，严禁外传！请注意保存，严禁外传！启东中学内部资料启东中学内部资料65111MMNNFFQ111111FFMMMFFFNNNF而0111111180FFMMFMFFNNFN即0111122180FFMFFN0111190FFMFFN故11FMFN方法二方法二依题意，焦点为(0)2pF准线l的方程为2px设点MN的坐标分别为1122)MxyNxy（直线MN的方程为2pxmy，则有11121112()()()()22ppMyNyFMpyFNpy由222pxmyypx得2220ympyp于是，122yymp，212yyp22211120FMFNpyypp，故11FMFN（）解解22134SSS成立，证明如下：方法一方法一设1122()()MxyNxy，则由抛物线的定义得1112|22ppMMMFxNNNFx，于是11111111|()|222pSMMFMxy21211211|22SMNFFpyy31112211|()|222pSNNFNxy222131211221114(|)4()|()|22222ppSSSpyyxyxy22212121212121()4()|424pppyyyyxxxxyy将112222pxmypxmy与122122yympyyp代入上式化简可得启东中学内部资料启东中学内部资料请注意保存，严禁外传！请注意保存，严禁外传！启东中学内部资料启东中学内部资料6622222222()()pmpppmpp，此式恒成立。故22134SSS成立。方法二方法二如图，设直线MNM的倾角为，12|MFrNFr则由抛物线的定义得1113|MMMFrNNNFr11111MMNNFFFMMFNN于是22211322111sinsin()sin222SrSrr在1FMM和1FNN中，由余弦定理可得2222222211111222|22cos2(1cos)|22cos2(1cos)FMrrrFNrrr由（I）的结论，得2111|2SFMFN2222222221112121311|4(1cos)(1cos)sin444SFMFNrrrrSS即22134SSS，得证。66.（2009宁夏海南卷文）(本小题满分12分)已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个项点到两个焦点的距离分别是7和1（1）求椭圆C的方程（2）若P为椭圆C的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，OPeOM（e为椭圆C的离心率），求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。解解（1）设椭圆长半轴长及分别为ac由已知得17.acac解得a=4c=3所以椭圆C的方程为221.167xy（）设M（xy）P(x1y)其中44.x启东中学内部资料启东中学内部资料请注意保存，严禁外传！请注意保存，严禁外传！启东中学内部资料启东中学内部资料67由已知得222122.xyexy而34e，故2222116()9().xyxy由点P在椭圆C上得，221112716xy代入式并化简得29112y所以点M的轨迹方程为47(44)3yx轨迹是两条平行于x轴的线段.67.(2009湖南卷理)（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和（）求点P的轨迹C；（）设过点F的直线l与轨迹C相交于M，N两点，求