xx届高考理科数学第一轮总复习坐标系与参数方程教案

1 / 12 XX 届高考理科数学第一轮总复习坐标系与参数方程教案 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 第十七章 坐标系与参数方程 高考导航 考试要求重难点击命题展望 一、坐标系 1.了解在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，理解坐标系的作用 . 2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况 . 3.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化 . 4.能在极坐标系中给出简单图形 (如过极点 的直线、过极点或圆心在极点的圆 )的方程 .通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义 . 5.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间点的位置的方法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会它们的区别 . 2 / 12 二、参数方程 1.了解参数方程，了解参数的意义 . 2.分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程 . 3.了解平摆线和渐开线的生成过程，并能写出它们的参数方程 . 4.了解其他摆线的生成过程；了解摆线在实际中应用的实例； 了解摆线在刻画行星运动轨道中的作用 . 本章重点： 1.根据问题的几何特征选择坐标系；坐标法思想；平面直角坐标系中的伸缩变换；极坐标系；直线和圆的极坐标方程 . 2.根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义；分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程 . 本章难点： 1.对伸缩变换中点的对应关系的理解；极坐标的不唯一性；曲线的极坐标方程 . 2.根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程 . 坐标系是解析几何的基础，为便于用代数的方法研究几何图形，常需建立不 同的坐标系，以便使建立的方程更加简单，参数方程是曲线在同一坐标系下不同于普通方程的又一种表现形式 .某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更加方便 . 3 / 12 本专题要求通过坐标系与参数方程知识的学习，使学生更全面地理解坐标法思想；能根据曲线的特点，选取适当的曲线方程表示形式，体会解决问题中数学方法的灵活性 . 高考中，参数方程和极坐标是本专题的重点考查内容 .对于柱坐标系、球坐标系，只要求了解即可 . 知识网络 坐标系 典例精析 题型一 极坐标的有关概念 【例 1】 已知 ABc 的三个顶点的极坐标分别为 A(5， 6) ，B(5， 2) ， c( 43， 3) ，试判断 ABc 的形状，并求出它的面积 . 【解析】在极坐标系中，设极点为 o，由已知得 AoB 3 ，Boc 56 ， Aoc 56. 又 |oA| |oB| 5， |oc| 43，由余弦定理得 |Ac|2 |oA|2 |oc|2 2|oA|oc|cosAoc 52 (43)2 2543cos56 133， 所以 |Ac| 133.同理， |Bc| 133. 4 / 12 所以 |Ac| |Bc|，所以 ABc 为等腰三角形 . 又 |AB| |oA| |oB| 5， 所以 AB边上的高 h |Ac|2 (12|AB|)2 1332， 所以 SABc 1213325 6534. 【点拨】判断 ABc 的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容易，所以先计算边长 . 【变式训练 1】 (1)点 A(5， 3) 在条件： 0， ( 2 ， 0)下极坐标为 ， 0， (2 ， 4) 下极坐标为 ； (2)点 P( 12， 43) 与曲线 c： cos2 的位置关系是 . 【解析】 (1)(5， 53) ； ( 5， 103).(2) 点 P 在曲线 c上 . 题型二 直角坐标与极坐标的互化 【例 2】 o1 和 o2 的极坐标方程分别为 4cos ， 4sin. (1)把 o1 和 o2 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过 o1 和 o2 交点的直线的直角坐标方程 . 【解析】 (1)以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴，建立直角坐标系，且两坐标系取相同单位长 . 因为 x cos ， y sin ，由 4cos ，得 2 4cos ， 所以 x2 y2 4x，即 x2 y2 4x 0 为 o1 的直角坐标方5 / 12 程 . 同理， x2 y2 4y 0 为 o2 的直角坐标方程 . (2)由解得或 即 o1 ， o2 的交点为 (0,0)和 (2， 2)两点， 故过交点的直线的直角坐标方程为 x y 0. 【点拨】互化的前提条件：原点对应着极点， x 轴正向对应着极轴 .将互化公式代入，整理可以得到 . 【变式训练 2】在极坐标系中，设圆 3 上的点到直线(cos 3sin) 2 的距离为 d，求 d 的最大值 . 【解析】将极坐标方程 3 化为普通方程 x2 y2 9， (cos 3sin) 2 可化为 x 3y 2. 在 x2 y2 9 上任取一点 A(3cos ， 3sin) ， 则点 A 到直线的距离为 d |3cos 33sin 2|2|6sin( 30) 2|2，它的最大值为 4. 题型三 极坐标的应用 【例 3】过原点的一动直线交圆 x2 (y 1)2 1 于点 Q，在直线 oQ 上取一点 P，使 P 到直线 y 2 的距离等于 |PQ|，用极坐标法求动直线绕原点一周时点 P 的轨迹方程 . 【解析】以 o 为极点， ox 为极轴，建立极坐标系，如右图所示，过 P 作 PR垂直于直线 y 2，则有 |PQ| |PR|.设 P( ，) ， Q(0 ， ) ，则有 0 2sin. 因为 |PR| |PQ|，所以 |2 sin| | 2sin| ，所以 6 / 12 2 或 sin 1 ，即为点 P 的轨迹的极坐标方程，化为直角坐标方程为 x2 y2 4 或 x 0. 【点拨】用极坐标法可使几何中的一些问题得到很直接、简单的解法，但在解题时关键是极坐标要选取适当，这样可以简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些 . 【变式训练 3】如图，点 A 在直线 x 5 上移动，等腰 oPA的顶角 oPA 为 120(o ， P， A 按顺时针方向排列 )，求点 P的轨迹方程 . 【解析】取 o 为极点 ， x 正半轴为极轴，建立极坐标系， 则直线 x 5 的极坐标方程为 cos 5. 设 A(0 ， 0) ， P( ， ) ， 因为点 A 在直线 cos 5 上，所以 0cos0 5. 因为 oPA 为等腰三角形，且 oPA 120 ，而 |oP| ，|oA| 0 以及 PoA 30 ， 所以 0 3 ，且 0 30. 把 代入 ，得点 P 的轨迹的极坐标方程为 3cos( 30) 5. 题型四 平面直角坐标系中坐标的伸缩变换 【例 4】定义变换 T：可把平面直角坐标系上的点 P(x， y)变换成 点 P(x ， y). 特别地，若曲线 m 上一点 P 经变换公式 T 变换后得到的点 P 与点 P 重合，则称点 P 是曲线 m在变换 T 下的不动点 . 7 / 12 (1)若椭圆 c 的中心为坐标原点，焦点在 x 轴上，且焦距为22，长轴顶点和短轴顶点间的距离为 2.求椭圆 c的标准方程，并求出当 tan 34 时，其两个焦点 F1、 F2 经变换公式 T变换后得到的点 F1 和 F2 的坐标； (2)当 tan 34 时，求 (1)中的椭圆 c 在变换 T 下的所有不动点的坐标 . 【解析】 (1)设椭圆 c 的标准方程为 x2a2 y2b2 1(a b0)， 由椭圆定义知焦距 2c 22c 2，即 a2 b2 2. 又由已知得 a2 b2 4， 故由 、 可解得 a2 3， b2 1. 即椭圆 c 的标准方程为 x23 y2 1， 且椭圆 c 两个焦点的坐标分别为 F1( 2， 0)和 F2(2， 0). 对于变换 T：当 tan= 时，可得 设 F1(x1 ， y1)和 F2(x2 ， y2)分别是由 F1( 2， 0)和 F2(2，0)的坐标经变换公式 T 变换得到 . 于是 即 F1 的坐标为 ( 425， 325)； 又 即 F2 的坐标为 (425， 325). (2)设 P(x， y)是椭圆 c 在 变换 T 下的不动点，则当 tan 34时， 8 / 12 有 x 3y，由点 P(x， y)c ，即 P(3y， y)c ，得 (3y)23 y2 1 因而椭圆 c 的不动点共有两个，分别为 (32， 12)和( 32， 12). 【变式训练 4】在直角坐标系中，直线 x 2y 2 经过伸缩变换 后变成直线 2x y 4. 【解析】 总结提高 1.平面内一个点的极坐标有无数种表示方法 . 如果规定 0,0 2 ，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标 ( ， ) 表示；反之也成立 . 2.熟练掌握几种常用的极坐标方程，特别是直线和圆的极坐标方程 . 参数方程 典例精析 题型一 参数方程与普通方程互化 【例 1】把下列参数方程化成普通方程： (1)( 为参数 )； (2)(t为参数， a， b 0). 【解析】 (1) 所以 5x2 4xy 17y2 81 0. (2)由题意可得 9 / 12 所以 2 2 得 4x2a2 4y2b2 4，所以 x2a2 y2b2 1，其中 x 0. 【变式训练 1】把下列参数方程化为普通方程，并指出曲线所表示的图形 . (1)(2)(3)(4) 【解 析】 (1)x2 2(y 12)， 2x2 ，图形为一段抛物线弧 . (2)x 1， y 2 或 y2 ，图形为两条射线 . (3)x2 y2 3y 0(y3) ，图形是一个圆，但是除去点 (0,3). (4)(x 6)216 (y 3)225 1，图形是双曲线 . 题型二 根据直线的参数方程求弦长 【例 2】已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数 )，曲线 c 的极坐标方程为 2cos2 1. (1)求曲线 c 的普通方程； (2)求直线 l 被曲线 c 截得的弦长 . 【解析】 (1)由曲线 c： 2cos2 2(cos2 sin2) 1， 化成普通方程为 x2 y2 1. (2)方法一：把直线参数方程化为标准参数方程 (t 为参数 ). 把 代入 得 (2 t2)2 (32t)2 1，整理得 t2 4t 60. 10 / 12 设其两根为 t1， t2，则 t1 t2 4， t1t2 6. 从而弦长为 |t1 t2| (t1 t2)2 4t1t2 42 4( 6)40 210. 方法二：把直线的参数方程化为普通方程为 y 3(x 2)， 代入 x2 y2 1，得 2x2 12x 13 0. 设 l 与 c 交于 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 x1 x2 6， x1x2 132， 所以 |AB| 1 3(x1 x2)2 4x1x2 262 26 210. 【变式训练 2】在直角坐标系 xoy 中，直线 l 的参数方程为(t 为参数 )，若以 o 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线 c 的极坐标方程为 2cos( 4) ，求直线l 被曲线 c 所截的弦长 . 【解析】将方程 (t为参数 )化为普通方程为 3x 4y 1 0. 将方程 2cos( 4) 化为普通方程为 x2 y2 x y 0. 表示圆心为 (12， 12)，半径为 r 22的圆， 则 圆心到直线的距离 d 110，弦长 2r2 d2 212 1100 75. 题型三 参数方程综合运用 【例 3】 (XX海南、宁夏 )已知曲线 c1： (t为参数 )， c2： (为参数 ). (1)化 c1， c2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么11 / 12 曲线； (2)若 c1上的点 P 对应的参数为 t 2 ， Q 为 c2上的动点，求 PQ中点 m 到直线 c3： (t为参数 )距离的最小值 . 【解析】 (1)c1： (x 4)2 (y 3)2 1， c2： x264 y291. c1是以 ( 4,3)为圆心， 1 为半径的圆； c2是以坐标原点为 中心，焦点在 x 轴，长半轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆 . (2)当 t 2 时， P( 4,4)， Q(8cos ， 3sin) ，故 m(2 4cos ， 2 32sin). c3 为直线 x 2y 7 0， m 到 c3 的距离 d 55|4cos 3sin 13|， 从而 cos 45， sin 35时， d 取最小值 855. 【变式训练 3】在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 c1 的参数方程为 ( 为参数 )，以坐标原点 o 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，得曲线 c2的极坐标方程为 2cos 4sin( 0). (1)化曲线 c1、 c2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)设曲线 c1 与 x 轴的一个交点的坐标为 P(m,0)(m 0)，经过点 P 作曲线 c2的切线 l，求切线 l 的方程 . 【解析】 (1)曲线 c1： x216 y24 1；曲线 c2： (x 1)212 / 12 (y 2)2 5. 曲线 c1为中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，长半轴长是 4，短半轴长是 2 的椭圆；曲线 c2为圆心为 (1， 2)，半径为 5的圆 . (2)曲线 c1： x216 y24 1 与 x 轴的交点坐标为 ( 4,0)和(4,0)，因为