高中数学《分层抽样》新人教A版必修.ppt

2.1.3 分 层 抽 样,【自主预习】 主题:分层抽样 假设某地区有高中生2 400人,初中生10 900人,小学生11 000人,此地区教育部门为了了解本地区中小学生的近视情况及其形成原因,要从本地区的小学生中抽取1%的学生进行调查.据此回答下列问题:,1.对于上述问题中,高中生、初中生、小学生的视力是否有明显的差异? 提示:有明显的差异.,2.你认为如何从高中生、初中生、小学生中抽样更具有代表性? 用文字语言描述:按照1100的比例,分别从高中生、初中生、小学生中抽取相应数量的个体. ,分层抽样: (1)定义:一般地,在抽样时,将总体分成_, 然后按照一定的_,从_独立地抽取一定数量的个 体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样的 方法叫做分层抽样.,互不交叉的层,比例,各层,(2)分层抽样的实施步骤: 将总体按一定的标准_; 计算各层的_的比; 按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取 的_; 在每一层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样) 组成样本.,分层,个体数与总体的个体数,样本容量,【深度思考】 结合教材P60探究,你认为分层抽样的一般步骤是什么? 第一步,_. 第二步,_ _.,根据已经掌握的信息,将总体分成互不相交的层,根据总体中的个体数N和样本容量n计算抽样比,k=,第三步,_ _. 第四步,_ _.,确定第i层应该抽取的个体数目niNik(Ni为,第i层所包含的个体数),使得各ni之和为n,在各个层中,按步骤三中确定的数目在各层中,随机抽取个体,合在一起得到容量为n的样本,【预习小测】 1.分层抽样适合的总体是 ( ) A.总体容量较多 B.样本容量较多 C.总体中个体有差异 D.任何总体 【解析】选C.由分层抽样的适用范围可知,选项C正确.,2.为了保证分层抽样时每个个体等可能地被抽到,必须要求 ( ) A.每层不等可能抽样 B.每层抽取的个体数相等,C.每层抽取的个体可以不一样多,但必须满足抽取 ni=n (i=1,2,k)个个体(其中k是层次,n是样 本容量,Ni是第i层个体个数,N是总体容量) D.只要抽取的样本容量一定,每层抽取的个体没有限制 【解析】选C.依分层抽样的定义及抽样步骤可知,C选项正确.,3.简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三者的共同特点是 ( ) A.将总体分成几部分,按预先设定的规则在各部分抽取 B.抽样过程中每个个体被抽到的机会均等 C.将总体分成几层,然后各层按照比例抽取 D.没有共同点,【解析】选B.由三种抽样的特点可知,三种抽样中每个个体被抽到的机会均等.,4.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取_名学生.,【解析】由题意得高二年级的学生人数占该学校高中 人数的 ,由分层抽样知应从高二年级抽取50 = 15名学生. 答案:15,5.采用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本,高一年级被抽取20人,高三年级被抽取10人,高二年级共有300人,则这个学校共有高中学生_人.,【解析】由题意知高二年级应抽取45-20-10=15人, 所以抽样比为 所以共有高中生 =900(人) 答案:900,【补偿训练】某运输队有货车1 200辆,客车800辆.从 中抽取 调查车辆的使用和保养情况.请给出抽样过 程.,【解析】利用分层抽样. 第一步:确定货车和客车各应抽取多少辆, 货车1 200 =120(辆),客车800 =80(辆). 第二步:用系统抽样法分别抽取货车120辆,客车80辆. 第三步:把抽取的货车和客车组成样本.,【互动探究】 1.分层抽样适用于哪种类型的抽样? 提示:总体是由明显差异的几部分组成时,为了体现各部分的特点,比较适合分层抽样.,2.分层抽样中的每个个体被抽到的可能性是否相同? 提示:相同. 3.分层抽样中每层的各个个体能否交叉? 提示:分层抽样中每层的各个个体互不交叉.,4.在分层抽样中,若按比例计算所得的个体数不是整数,如何处理? 提示:可作适当的近似处理.,【探究总结】 知识归纳:,注意事项: (1)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定,总的原则是,层内样本的差异要小,各层之间的样本差异要大,且互不重叠. (2)为了保证每个个体等可能入样,所有层应采用同一抽样比等可能抽样.,(3)在每层抽样时,应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样.,【题型探究】 类型一:分层抽样的概念 【典例1】(1)某单位有老年人28人,中年人54人,青年人81人,为了调查他们的身体状况,从他们中抽取容量为36的样本,最适合抽取样本的方法是 ( ),A.简单随机抽样 B.系统抽样 C.分层抽样 D.先从老年人中剔除1人,再用分层抽样,(2)如果采用分层抽样,从个体数为N的总体中抽取一个容 量为n的样本,那么每个个体被抽到的可能性为( ),【解题指南】(1)由题设条件选择合适的抽样方法. (2)依据分层抽样的特点求解.,【解析】(1)选D.因总体中个体差异较大,故采用分层抽样.总体人数为28+54+81=163(人). 样本容量为36,若按36163取抽样比,无法得到整数解,故考虑先剔 除1人,抽取比例变为36162=29,则中年人取54 =12(人),青年人取81 =18(人),先从老年人中剔 除1人,老年人取27 =6(人),这样就组成容量为36的 样本.,(2)选C.根据每个个体都等可能入样,所以其可能性为 样本容量与总体容量的比,为 .,【规律总结】分层抽样的特点 (1)适用于总体由差异明显的几个部分组成的情况. (2)更充分地反映了总体的情况. (3)等可能抽样,每个个体被抽到的可能性都是相同的.,【巩固训练】某社区有500个家庭,其中高收入家庭125户,中等收入家庭280户,低收入家庭95户,为了调查社会购买力的某项指标,要从中抽取一个容量为100户的样本记作;某学校高一年级有12名女排运动员,要从中选出3人调查学习负担情况,记作.那么完成上述两项调查应采用的抽样方法分别是 ( ),A.用简单随机抽样法,用分层抽样法 B.用分层抽样法,用简单随机抽样法 C.均用简单随机抽样法 D.均用分层抽样法,【解析】选B.中家庭收入差异大,用分层抽样,中总体容量小,用简单随机抽样.,【补偿训练】(2016惠州高二检测)某初级中学有学生270人,其中一年级108人,二、三年级各81人,现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,使用简单随机抽样和分层抽样时,将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2,270;使用系统抽样时,将学生统一随机编号1,2,270,并将整个编号依次分为10段,如果抽得号码有下列四种情况:,7,34,61,88,115,142,169,196,223,250; 5,9,100,107,111,121,180,195,200,265; 11,38,65,92,119,146,173,200,227,254; 30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.,关于上述样本的下列结论中,正确的是 ( ) A.、都可能为分层抽样 B.、都不能为分层抽样 C.、都可能为系统抽样 D.、都不能为系统抽样,【解析】选A.可以是系统抽样,也可以是分层抽样;为分层抽样;可以是系统抽样,也可以是分层抽样;为系统抽样.,类型二:分层抽样的实施步骤 【典例2】(1)有一批产品,其中一等品10件,二等品25件,三等品5件.用分层抽样从这批产品中抽出8件进行质量分析,则抽样比为_.,(2)某政府机关有在编人员100人,其中副处级以上干部10人,一般干部70人,工人20人.上级机关为了了解政府机构改革的意见,要从中抽取一个容量为20的样本,试确定用何种方法抽取,写出具体实施的步骤.,【解题指南】(1)根据样品比例求抽样比. (2)分层抽样中各层抽取个体数依各层个体数之比来分配,确定各层抽取的个体数之后,可采用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取个体.,【解析】(1)一、二、三等品的比例为10255=251,故抽样比为251. 答案:251,(2)因机构改革关系到各人的不同利益,故采用分层抽样方法为妥. 因为 ,所以10 =2,70 =14,20 =4. 所以应从副处级以上干部中抽取2人,从一般干部中抽取14人,从工人中抽取4人.,因副处级以上干部与工人人数都较少,将他们分别按110与120编号,然后采用抽签法分别抽取2人和4人;对一般干部采用00,01,69编号,然后用随机数表法抽取14人.,【延伸探究】 1.(改变问法)若本例(1)中的条件不变,试求二等品中所抽取的件数.,【解析】一、二、三等品的比例为251,且抽取样 本容量为8,故抽取二等品有 8=5(件). 答:抽取二等品应为5件.,2.(变换条件)若本例(1)中的条件“从这批产品中抽出8件进行质量分析”改为“从这批产品一等品中抽出4件进行质量分析”,试问这次抽样的样本容量是多少?,【解析】因为一、二、三等品的比例为251,且从 一等品中抽取样本数为4,所以这次抽样的样本容量为 =16(件). 答:这次抽样的样本容量为16件.,【规律总结】分层抽样的实施方法 (1)根据总体与样本容量确定抽取的比例. (2)由分层情况,确定各层抽取的样本数. (3)各层抽取的样本数之和应等于样本容量. (4)对于不能取整的数,求其近似值.,【巩固训练】在100个产品中,一等品20个、二等品30个、三等品50个,现要抽取一个容量为30的样本,请描述其抽样过程,并说明其公平性和合理性.,【解析】先将产品按等级分成三层:第一层,一等品20个;第二层,二等品30个;第三层,三等品50个,然后确定每一层抽取的个体数.应在第一层中抽取产品6个、在第二层中抽取产品9个、在第三层中抽取产品15个.再分别给这些产品编号并贴上标签,用抽签法或随机数表法在各层中抽取,得到一等品6个、二等品9个、三等品15个,这样就通过分层抽样得到了一个容量为30的样本.,在100个产品中抽取30个,因此总体中每个个体入样的可能性P= 在第一层中每个个体入样的可能性P1= 在第二层中每个个体入样的可能性P2= 在第三层中每个个体入样的可能性P3= 因此,每个个体被抽到的可能性是相同的,即抽样方法是公平的、合理的.,类型三:三种抽样方法的综合应用 【典例3】(1)大、中、小三个盒子中分别装有同一种 产品120个、60个、20个,现在需从这三个盒子中抽取 一个容量为25的样本,较为恰当的抽样方法是 ( ) A.分层抽样 B.简单随机抽样 C.系统抽样 D.以上三种均可,(2)某企业有职工160人,其中业务人员96人,管理人员40人,后勤服务人员24人,为了了解职工的收入情况,要从中抽取一个容量为20的样本.试用简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种抽样方法从中抽取一个容量为20的样本,并写出具体的操作过程.,【解题指南】(1)三个盒子中的产品没有差异且容量较大,可选用系统抽样法. (2)按照三种抽样方法的步骤抽取.,【解析】(1)选C.总体无明显差异,但总体中个体数较多,故采用系统抽样. (2)利用抽签法抽取:将160人从1到160编上号,然后将用白纸做成的有1160编号的160个号签放入暗箱内搅匀,最后从中抽取20个签,与签号相同的20个人被选出.,利用系统抽样抽取:将160人从1至160编上号,按编号顺序分成20组,每组8人,令18为第一组,916为第二组,153160为第20组,先从第一组中用抽签方式抽到一个号签为k(1k8),其余组是(k+8n)号(n=1,2,3,19),如此抽到20人.,利用分层抽样抽取:按20160=18的比例,从业务人员中抽取12人,从管理人员中抽取5人,从后勤人员中抽取3人,都用简单随机抽样法从各类人员中抽取所需人数,他们合在一起恰好抽到20人.,【规律总结】三种抽样方法的对比,【巩固训练】1.(2016惠州高一检测)教育局督学组到学校检查工作,临时在每个班各抽调2人参加座谈;某班期中考试有15人在85分以上,40人在6084分,1人不及格.现欲从中抽出8人研讨进一步改进教和学;某班元旦聚会,要产生两名“幸运者”.对这三件事,合适的抽样方法为 ( ),A.分层抽样,分层抽样,简单随机抽样 B.系统抽样,系统抽样,简单随机抽样 C.分层抽样,简单随机抽样,简单随机抽样 D.系统抽样,分层抽样,简单随机抽样,【解析】选D.由三种抽样方法的定义及步骤可知选项D正确.,2.为了考察某学校教学水平,将抽取这个学校高三年级的部分学生本学年的考试成绩进行考察,为了全面反映实际情况,采取以下三种方式进行抽查(已知该学校高三年级共有20个教学班,并且每个班内的学生按随机方式编好了学号,假定该校每班学生人数都相同):,a.从全年级20个班中任意抽取一个班,再从该班任意抽取20人,考察他们的学习成绩. b.每个班都抽取1人,共计20人,考察这20个学生的成绩. c.把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别,从中共抽取100名学生进行考察(已知若按成绩分,该校高三学生中优秀生共150人,良好生共600人,普通生共250人).,根据上面的叙述,回答下列问题: (1)上面三种抽取方式中,其总体、个体、样本分别指什么?每一种抽取方式抽取的样本中,其样本容