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求抛物线解析式的三种方法,第22章,22.2.6用待定系数法求二次函数解析式,1、已知抛物线y=ax2+bx+c,0,问题1,经过点(-1,0),则_,经过点(0,-3),则_,经过点(4,5),则_,对称轴为直线x=1,则_,当x=1时,y=0,则a+b+c=_,a-b+c=0,c=-3,16a+4b+c=5,顶点坐标是(-3,4), 则h=_,k=_,,-3,a(x+3)2+4,4,问题2,2、已知抛物线y=a(x-h)2+k,对称轴为直线x=1,则_,代入得y=_,代入得y=_,h=1,a(x-1)2+k,-x1,- x2,求出下表中抛物线与x轴的交点坐标,看看你有什么发现?,(1,0)(3,0),(2,0)(-1,0),(-4,0)(-6,0),(x1,0),( x2,0),y=a(x_)(x_) (a0),交点式,问题3,-x1,- x2,求出下表中抛物线与x轴的交点坐标,看看你有什么发现?,(1,0)(3,0),(2,0)(-1,0),(-4,0)(-6,0),(x1,0),( x2,0),y=a(x_)(x_) (a0),交点式,问题3,y=a(x-1)(x-3)(a0),y=a(x-2)(x+1)(a0),y=a(x+4)(x+6)(a0),温故而知新,二次函数解析式有哪几种表达式?,一般式:yax2+bx+c (a0),顶点式:ya(x-h)2+k (a0),特殊形式,交点式:ya(x-x1)(x-x2) (a0),2,顶点式:已知抛物线顶点坐标(h, k),通常设抛物线解析式为_ 求出表达式后化为一般形式.,3,交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_ 求出表达式后化为一般形式.,1、一般式:已知抛物线上的三点,通常设解析式为_,y=ax2+bx+c(a0),y=a(x-h)2+k(a0),y=a(x-x1)(x-x2) (a0),求抛物线解析式的三种方法,回顾:用待定系数法求一次函数的解析式,已知一次函数经过点(1,3)和(-2,-12),求这个一次函数的解析式。 解:设这个一次函数的解析式为y=kx+b, 因为一次函数经过点(1,3)和(-2,-12), 所以,k+b=3,-2k+b=-12,解得 k=3,b=-6,一次函数的解析式为y=3x-6.,步骤:一设,二代,三解,四写,一般式: y=ax2+bx+c,交点式: y=a(x-x1)(x-x2),顶点式: y=a(x-h)2+k,解:,设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c,由条件得:,a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7,解方程得:,因此:所求二次函数是:,a=2, b=-3, c=5,y=2x2-3x+5,例1,例题精讲,已知抛物线yax2bxc(a0)与x轴交于 A(-1,0),B(3,0),并且过点C(0,-3), 求抛物线的解析式?,解:,设所求的二次函数为 yax2bxc,由条件得:,a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3,得: a1 b= -2 c= -3,故所求的抛物线解析式为 y=x22x3,一般式: y=ax2+bx+c,交点式: y=a(x-x1)(x-x2),顶点式: y=a(x-h)2+k,例2,例题精讲,已知抛物线yax2bxc(a0)与x轴交于 A(-1,0),B(3,0),并且过点C(0,-3), 求抛物线的解析式?,解:,设所求的二次函数为 y=a(x1)(x3),由条件得:,点C( 0,-3)在抛物线上,所以:a(01)(03)3,得: a1,故所求的抛物线解析式为 y= (x1)(x3),即:y=x22x3,一般式: y=ax2+bx+c,交点式: y=a(x-x1)(x-x2),顶点式: y=a(x-h)2+k,例2,例题精讲,解:,设所求的二次函数为 y=a(x1)2-3,由条件得:,点( 0,-5 )在抛物线上,a-3=-5, 得a=-2,故所求的抛物线解析式为 y=2(x1)2-3,即:y=2x2-4x5,一般式: y=ax2+bx+c,交点式: y=a(x-x1)(x-x2),顶点式: y=a(x-h)2+k,例3,练习:根据下列条件,求二次函数的解析式。,(1)、图象经过(0,0), (1,-2) , (2,3) 三点;,(2)、图象的顶点(2,3), 且经过点(3,1) ;,(3)、图象经过(0,0), (12,0) ,且最高点 的纵坐标是3 。,练习:根据下列条件,求二次函数的解析式。,(1)、图象经过(0,0), (1,-2) , (2,2) 三点;,(2)、图象的顶点(2,3), 且经过点(3,1) ;,(3)、图象经过(0,0), (12,0) ,且最高点 的纵坐标是3 。,1、已知二次函数的图像过点(0, 0),(1,3),(2,-7) 三点,则该二次函数关系式为_。,2、若二次函数的图像有最高点为(1,6),且经过点 (2,8),则此二次函数的关系式_,3、若二次函数的图像与x轴的交点坐标为(1,0)、(2,0) 且过点(3,4),则此二次函数的关系式为_,熟能生巧,有一个抛物线形的立交桥拱,这个桥拱的最大高度为16m,跨度为40m现把它的图形放在坐标系里(如图所示),求抛物线的解析式,设抛物线的解析式为y=ax2bxc,,解法一:,根据题意可知:抛物线经过(0,0),(20,16)和(40,0)三点,可得方程组, 所求抛物线解析式为,知 识 应 用,有一个抛物线形的立交桥拱,这个 桥拱的最大高度为16m,跨度为40m 现把它的图形放在坐标系里(如图所示), 求抛物线的解析式,设抛物线为y=a(x-20)216,解法二,根据题意可知 点(0,0)在抛物线上,, 所求抛物线解析式为,知 识 应 用,设抛物线为y=ax(x-40 ),解:,根据题意可知 点(20,16)在抛物线上,,有一个抛物线形的立交桥拱,这个 桥拱的最大高度为16m,跨度为40m 现把它的图形放在坐标系里(如图所示), 求抛物线的解析式,知 识 应 用,x,y,16,20,-20,知识提高:已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2,图象顶点在直线y=x+1上,并且图象经过点(3,-6)。求a、b、c。,解:二次函数的最大值是2 抛物线的顶点纵坐标为2 又抛物线的顶点在直线y=x+1上 当y=2时,x=1 顶点坐标为( 1 , 2) 设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又图象经过点(3,-6) -6=a (3-1)2+2 a=-2 二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即: y=-2x2+4x,用待定系数法确定二次函数解析式的 基本方法分四步完成: 一设、二代、三解、四还原,一设:指先设出适当二次函数的解析式,二代:指根据题中所给条件,代入二次函数的 解析式,得到关于a、b、c的方程组,三解:指解此方程或方程组,四还原:指将求出的a、b、c还原回原解析式中,方 法 小 结,解:,根据题意得顶点为(1,4),由条件得与x轴交点坐标 (2,0);(-4,0),设二次函数解析式:ya(x1)2+4,说到不如做到,回 顾 与 反 思,已知图象上三点或三对的对应值, 通常选择一般式,已知图象的顶点坐标(对称轴和最值) 通常选择顶点式,已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2, 通常选择交点式,y,x,确定二次函数的解析式时,应该根据条件的特点,恰当地选用一种函数表达式,,已知四点A(1,2)、B(0,6)、C(-2,20)、D(-1,12) 试问是否存在一个二次函数,使它的图像同时 经过 这四个点?如果存在,请求出关系式; 如果不存在,请说明理由.,我思考,我进步,课本40页课后练习,1、若抛物线yax2bxc的对称轴为x2,且经
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