（浙江专用）高考数学一轮复习讲练测专题4.6正弦定理和余弦定理（讲）（含解析）.docx

第06讲 正弦定理和余弦定理 -讲1. 掌握正弦定理、余弦定理及其应用.2.高考预测：（1）正弦定理或余弦定理独立命题；（2）正弦定理与余弦定理综合命题；（3）与三角函数的变换结合命题；（4）考查较为灵活，题型多变，选择题、填空题的形式往往独立考查正弦定理或余弦定理，解答题往往综合考查定理在确定三角形边角中的应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换、立体几何等结合考查.3.备考重点：（1）掌握正弦定理、余弦定理；（2）掌握几种常见题型的解法.知识点1正弦定理正弦定理：2R，其中R是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变形为：abcsin Asin Bsin C；a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；sin A，sin B，sin C等形式，以解决不同的三角形问题面积公式Sabsin Cbcsin Aacsin B【典例1】（2019全国高考真题（文）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=_.【答案】.【解析】由正弦定理，得，得，即，故选D【总结提升】已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况如已知a，b，A，则A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Aabsin Absin Aabababab解的个数无解一解两解一解一解无解【变式1】（2018届浙江省嘉兴市高三上期末）在锐角中，内角所对的边分别是，若，则的取值范围是_【答案】【解析】因为，所以 因为锐角，所以 知识点2余弦定理余弦定理： ， ，.变形公式cos A，cos B，os C【典例2】（2019北京高考真题（文）在ABC中，a=3，cosB=（）求b，c的值；（）求sin（B+C）的值【答案】（）；（）.【解析】（）由余弦定理可得，因为，所以；因为，所以解得.（）由（）知，所以；因为为的内角，所以.因为.【总结提升】应用余弦定理解答两类问题：【变式2】（2019北京高考模拟（理）已知在中，（）求角的大小； （）求的最大值【答案】（）；（）1.【解析】（）由余弦定理得因为角为三角形内角（）由（）可得=的最大值是1考点1 正弦定理【典例3】（2019北京高考模拟（理）在中，已知BC=6，AC=4，则B=_【答案】【解析】BC=6，AC=4，由正弦定理，得：sinB=，ACBC，得B为锐角，所以B=故答案为：【思路点拨】由正弦定理可求sinB的值，结合大边对大角，特殊角的三角函数值可求B的值忽视角的范围，易于出错.【变式3】（2019北京人大附中高考模拟（理）在三角形ABC中, ,则（ ）AB或CD或【答案】D【解析】由正弦定理得或，选D.考点2 余弦定理【典例4】（2018全国高考真题（文）的内角的对边分别为，若的面积为，则（ ）A B C D【答案】C【解析】由题可知所以由余弦定理所以故选C.【总结提升】已知三边，由余弦定理求，再由求角，在有解时只有一解.已知两边和夹角，余弦定理求出对对边.【变式4】（2018全国高考真题（理）在中，,BC=1,AC=5，则AB=（ ）A B C D【答案】A【解析】因为所以，选A.考点3 正弦定理与余弦定理的综合运用【典例5】（2019全国高考真题（理）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设（1）求A；（2）若，求sinC【答案】（1）；（2）.【解析】（1）即： 由正弦定理可得： （2），由正弦定理得： 又，整理可得： 解得：或因为所以，故.（2）法二：，由正弦定理得： 又，整理可得：，即 由，所以.【总结提升】应熟练掌握正、余弦定理及其变形解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理【变式5】（2018年浙江卷）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若a=，b=2，A=60，则sin B=_，c=_【答案】 (1). (2). 3【解析】由正弦定理得,所以由余弦定理得（负值舍去）.考点4 应用正弦定理、余弦定理判定三角形形状【典例6】在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若cacosB(2ab)cosA，则ABC的形状为()A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形【答案】D【解析】因为cacosB(2ab)cosA，C(AB)，所以由正弦定理得sinCsinAcosB2sinAcosAsinBcosA，所以sinAcosBcosAsinBsinAcosB2sinAcosAsinBcosA，所以cosA(sinBsinA)0，所以cosA0或sinBsinA，所以A或BA或BA(舍去)，所以ABC为等腰或直角三角形【规律方法】1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁2无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能注意挖掘隐含条件，重视角的范对三角函数值的限制【变式6】在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC.求角A的大小；若sinBsinC，试判断ABC的形状【答案】A60.ABC为等边三角形 【解析】由2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC及正弦定理，得2a2(2bc)b(2cb)c，即bcb2c2a2，0A180，A60.ABC180，BC18060120.由sinBsinC，得sinBsin(120B)，sinBsin120cosBcos120sinB.sinBcosB，即sin(B30)1.0B120，30B30150.B3090，即B60.ABC60，ABC为等边三角形考点5 与三角形面积有关的问题【典例7】（2019全国高考真题（文）的内角的对边分别为，已知（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围【答案】(1) ;(2).【解析】 (1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得。，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.(2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又应用正弦定理，由三角形面积公式有：.又因,故，故.故的取值范围是【规律方法】1.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键2已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解提醒：正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用【变式7】（2017全国高考真题（理）的内角的对边分别为 ,已知(1).求 (2).若 , 面积为2,求【答案】（1）；（2）b=2.【解析】（1）由题设及，故上式两边平方，整理得 解得 （2）由，故又由余弦定理及得所以b=2.考点6 与三角形周长有关的问题【典例8】（2017课标1，理17）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为 （1）求sinBsinC;（2）若6cosBcosC=1，a=3，求ABC的周长.【答案】【解析】【规律方法】应用正弦定理、余弦定理，建立边长的方程，是解答此类问题的基本方法，解答过程中，要注意整