必修五课件：数列通项公式的求法.ppt

数列通项公式的求法,观察各项的特点，关键是找出各项与项数n的关系 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：9，99，999，9999， 解：（1）变形为：1011，1021，1031，1041， 通项公式为：,1.观察法,当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。,2.公式法,例2： 已知数列an是公差为d的等差数列，数列bn是公比为q的(qR且q1)的等比数列，若函数f (x) = (x1)2，且a1 = f (d1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q1)， (1)求数列 a n 和 b n 的通项公式；,解：(1)a 1=f (d1) = (d2)2，a 3 = f (d+1)= d 2， a3a1=d 2(d2)2=2d， d=2，an=a1+(n1)d = 2(n1)； 又b1= f (q+1)= q 2，b3 =f (q1)=(q2)2， =q2，由qR，且q1，得q=2， bn=bqn1=4(2)n1,3.S n法,（1）若f(n)为常数,即：an+1-an=d,此时数列为等差数列，则an=a1+(n-1)d （2）若f(n)为n的函数时，用累加法.方法如下： 由 an+1=an+f(n)得：当n1时，有 an =an-1 + f(n-1) an-1 =an-2 + f(n-2) a3 = a2 + f(2) a2 = a1 + f (1) 所以各式相加得an-a1 =f(n-1)+ f(n-2)+ f(2)+ f(1).,一般地，对于型如 an+1=an+f(n)的通项公式，只要f(n)能进行求和，则宜采用此方法求解。,4. 叠加法,也可用横式来写：,(也称累加法）,例 已知数列an中,a1=1,an=an-1+n,求数列an的通项公式。,解：an =an-1 + n an-1=an-2 +（n-1） a3= a2 + 3 a2= a1 + 2 各式相加得，an=a1+n+(n-1)+3+2 =1+ n+(n-1)+3+2 = n(n+1)/2 当n=1时，a1=(12)/2=1, 故，an= n(n+1)/2,例 已知数列an中,a1=1,an+1-an=2n-n,求数列an的通项公式。,解： an - an-1 = 2n-1 - (n-1) an-1 - an-2 = 2n-2 - (n-2) a3 - a2 = 22 - 2 a2 - a1 = 21 - 1 各式相加得，an=a1+ (2n-1+2n-2+22+21) -(n-1) +(n-2)+2+1 =1+( 2n-2)+ n(n-1)/2 = 2n + n(n-1)/2 1,当n=1时，a1=2+0-1=1,故，an= 2n + n(n-1)/2 - 1,已知,a1=a， an+1=an+f(n),其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项. 若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; 若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和; 若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; 若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。,备 注：,（1）当f(n)为常数,即： （其中q是不为0的数）, 此时,数列为等比数列，an=a1qn-1. （2）当f(n)为n的函数时,用累乘法. 由 得n1 时， ，,5.叠乘法,对于型如：an+1=f(n)an 类的通项公式，当f(1)f(2)f(n)的值可以求得时，宜采用此方法。,(也称累乘法、累积法）,本题是关于an和an+1的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到an与an+1的更为明显的关系式，从而求出.,（1）若c=1时，数列an为等差数列; （2）若d=0时，数列an为等比数列; （3）若c1且d0时，数列an为线性递推数列， 其通项可通过构造辅助数列来求.方法1：待定系数法 设an+1+m=c( an+m),得an+1=c an+(c-1)m, 与题设an+1=c an+d,比较系数得: (c-1)m=d, 所以有：m=d/(c-1) 因此数列 构成以 为首项，以c为公比的等比数列，,6.辅助数列法,这种方法类似于换元法, 主要用于形如an+1=c an+d(c0,a1=a)的已知递推关系式求通项公式。,（构造法或待定系数法）,.,方法四：归纳、猜想、证明. 先计算出a1,a2,a3; 再猜想出通项an; 最后用数学归纳法证明.,方法三：迭代法 由 递推式,直接迭代得,例已知数列an中，a1=3,an+1=2an+3,求数列的通项公式,解法1：由an+1=2an+3得 an+1+3=2（an+3） 所以an+3是以a1+3为首项，以2为公比的等比数列，所以:an+3=（ a1+3） 2n-1 故an=62n-1-3,解法2：因为an+1=2an+3，所以n1时， an=2an-1+3，两式相减，得：an+1 - an=2(an-an-1). 故an-an-1是以a2-a1=6为首项，以2为公比的等比数列. an-an-1=(a2-a1)2n-1=62n-1, an=(an-an-1)+ (an-1-an-2)+ +(a2-a1)+a1 =6(2n-1-1)+3= 3(2n-1-1),例.已知,求数列an的通项公式.,例. 已知数列an中，a1=1, an+1+3an+1an-an=0, 求数列an的通项公式.,7.逐差法,形如an+1+an=f(n)的数列. （1）若an+1+an=d （d为常数），则数列 an为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论; （2）若f(n)为n的函数（非常数）