（课标专用）2020届高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算课件.pptx

第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算,高考文数 (课标专用),1.(2019课标全国,7,5分)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则 ( ) A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1 C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1,五年高考,A组 统一命题课标卷题组,答案 D 本题考查了导数的几何意义,常见函数的导数,导数的运算法则,通过对常见函数的 求导考查学生对运算公式的应用能力,体现了数学运算的核心素养. y=aex+ln x+1,y|x=1=ae+1, 2=ae+1,a=e-1.故切点坐标为(1,1), 将切点坐标(1,1)代入y=2x+b, 得1=2+b,b=-1,故选D.,解题关键 正确理解导数的几何意义是解决本题的关键.,2.(2019课标全国,10,5分)曲线y=2sin x+cos x在点(,-1)处的切线方程为 ( ) A.x-y-1=0 B.2x-y-2-1=0 C.2x+y-2+1=0 D.x+y-+1=0,答案 C 本题主要考查导数的几何意义,通过切线方程的求解考查学生的运算求解能力,渗 透的核心素养是数学运算. 由题意可知y=2cos x-sin x,则y|x=-2.所以曲线y=2sin x+cos x在点(,-1)处的切线方程为y+1= -2(x-),即2x+y+1-2=0,故选C.,小题速解 由题意得y=2cos x-sin x,则y|x=-2.计算A、B、C、D选项中直线的斜率,可知只有 C符合.故选C.,3.(2018课标全国,6,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的 切线方程为 ( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x,答案 D 本题主要考查函数的奇偶性及导数的几何意义. f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,a-1=0,得a=1,f(x)=x3+x,f (x)=3x2+1,f (0)=1,则曲线y=f(x) 在点(0,0)处的切线方程为y=x,故选D.,解后反思 求曲线的切线方程需注意的几个问题: (1)应先判断所给点是不是切点,如果不是,需要设出切点坐标. (2)切点既在原函数的图象上,也在切线上,可将切点坐标代入解析式,从而建立方程(组). (3)在切点处的导数值是切线的斜率,这是求切线方程至关重要的条件.,4.(2019课标全国,13,5分)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为 .,答案 y=3x,解析 本题考查导数的几何意义;考查考生的运算求解能力;考查的核心素养是数学运算. y=3(x2+3x+1)ex, 曲线在点(0,0)处的切线斜率k=y|x=0=3, 曲线在点(0,0)处的切线方程为y=3x.,解题关键 掌握导数的运算法则与导数的几何意义是求解的关键.,5.(2018课标全国,13,5分)曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为 .,答案 2x-y-2=0,解析 本题主要考查导数的几何意义. 由y=2ln x得y= .因为k=y|x=1=2,点(1,0)为切点, 所以切线方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.,6.(2017课标全国,14,5分)曲线y=x2+ 在点(1,2)处的切线方程为 .,答案 x-y+1=0,解析 本题考查导数的几何意义. y=x2+ ,y=2x- ,y|x=1=2-1=1,所求切线方程为y-2=x-1,即x-y+1=0.,7.(2016课标全国,16,5分)已知f(x)为偶函数,当x0时, f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的 切线方程是 .,答案 y=2x,解析 解法一:当x0时,-x0),点(1,2)在曲线y=f(x) 上,易知f (1)=2,故曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是y-2=f (1)(x-1),即y=2x. 解法二:因为f(x)为偶函数,所以y=f(x)图象上的点A(1,2)关于y轴的对称点A(-1,2)也在函数y=f(x) 的图象上,且在A,A处的切线斜率互为相反数.又当x0时, f (x)=-e-x-1-1, f (-1)=-2,所以f (1)=2, 则可求得切线方程是y=2x.,易错警示 易因忽略x的取值范围而直接求f(x)=e-x-1-x的导数致错.,评析 本题主要考查利用函数的性质求解析式,同时综合考查了导数的几何意义,属难题.,8.(2015课标,14,5分)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1, f(1)处的切线过点(2,7),则a= .,答案 1,解析 由题意可得f (x)=3ax2+1,f (1)=3a+1. 又f(1)=a+2,f(x)=ax3+x+1的图象在点(1, f(1)处的切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1).又此切线过 点(2,7), 7-(a+2)=(3a+1)(2-1),解得a=1.,注意 曲线y=f(x)“在点P(x0,y0)处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”的区别:前者P(x0,y0)为切 点,而后者P(x0,y0)不一定为切点.,9.(2015课标,16,5分)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a= .,答案 8,解析 解法一:令f(x)=x+ln x,求导得f (x)=1+ ,f (1)=2,又f(1)=1,所以曲线y=x+ln x在点(1,1)处 的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.设直线y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1的切点为P(x0,y0),则 y =2ax0+a+2=2,得a(2x0+1)=0,所以a=0或x0=- ,又a +(a+2)x0+1=2x0-1,即a +ax0+2=0.当a=0 时,显然不满足此方程,所以x0=- ,此时a=8. 解法二:令f(x)=x+ln x,求导得f (x)=1+ ,所以f (1)=2,又f(1)=1,所以曲线y=x+ln x在点(1,1)处的 切线方程为y=2x-1.将y=2x-1代入y=ax2+(a+2)x+1,得ax2+ax+2=0,由题意得=a2-8a=0,得a=8(a=0 舍去).,10.(2018课标全国,21,12分)已知函数f(x)= . (1)求曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程; (2)证明:当a1时, f(x)+e0.,解析 本题考查导数的几何意义、导数的综合应用. (1)f (x)= , f (0)=2. 因此曲线y=f(x)在(0,-1)处的切线方程是2x-y-1=0. (2)证明:当a1时, f(x)+e(x2+x-1+ex+1)e-x. 令g(x)=x2+x-1+ex+1,则g(x)=2x+1+ex+1. 当x-1时,g(x)0,g(x)单调递增. 所以g(x)g(-1)=0.因此f(x)+e0.,方法总结 构造函数证明不等式的策略: (1)转化为f(x)C(C为常数)型,证明f(x)min或临界值大于或等于C. (2)转化为f(x)g(x)型,利用导数判断f(x),g(x)的单调性,进而求出函数f(x)、g(x)的最值或临界 值,用原不等式成立的充分条件证明. (3)转化为f(a)+g(a)f(b)+g(b)型,构造函数h(x)=f(x)+g(x),利用h(x)单调性及a,b的大小证明.,B组 自主命题省(区、市)卷题组 考点一 导数的概念及其几何意义,1.(2016山东,10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相 垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是 ( ) A.y=sin x B.y=ln x C.y=ex D.y=x3,答案 A 设函数y=f(x)图象上两点的横坐标为x1,x2.由题意知只需函数y=f(x)满足f (x1)f (x2)= -1(x1x2)即可.y=f(x)=sin x的导函数为f (x)=cos x, f (0)f ()=-1,故A满足;y=f(x)=ln x的导函数为 f (x)= , f (x1)f (x2)= 0,故B不满足;y=f(x)=ex的导函数为f (x)=ex, f (x1)f (x2)= 0,故C不 满足;y=f(x)=x3的导函数为f (x)=3x2, f (x1)f (x2)=9 0,故D不满足.故选A.,疑难突破 将两点处的切线互相垂直等价转化为这两点处的切线的斜率之积为-1,即相应两 点处的导数之积为-1是解决此题的关键.,评析 本题为创新题,主要考查导数的几何意义及两直线相互垂直的条件,属于难题.,2.(2019江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经 过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是 .,答案 (e,1),解析 本题考查利用导数求曲线的切线方程,考查学生的运算求解能力,考查的核心素养为数 学运算. 设A(x0,y0),由y= ,得k= , 所以在点A处的切线方程为y-ln x0= (x-x0). 因为切线经过点(-e,-1), 所以-1-ln x0= (-e-x0). 所以ln x0= ,令g(x)=ln x- (x0), 则g(x)= + ,则g(x)0, g(x)在(0,+)上为增函数. 又g(e)=0,ln x= 有唯一解x=e.x0=e. 点A的坐标为(e,1).,方法总结 求曲线y=f(x)过点(x1,y1)的切线问题的一般步骤: 设切点为(x0, f(x0); 求k=f (x0); 得出切线的方程为y-f(x0)=f (x0)(x-x0); 由切线经过已知点(x1,y1)求得x0,进而得出切线方程.,3.(2017天津,10,5分)已知aR,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1, f(1)处的切线为l,则l在y轴上 的截距为 .,答案 1,解析 本题主要考查导数的几何意义以及直线方程与截距. 由题意可知f (x)=a- , 所以f (1)=a-1, 因为f(1)=a, 所以切点坐标为(1,a), 所以切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1), 即y=(a-1)x+1. 令x=0,得y=1, 即直线l在y轴上的截距为1.,易错警示 不能正确求解函数的导数导致不能正确求解切线l的斜率.,4.(2018北京,19,13分)设函数f(x)=ax2-(3a+1)x+3a+2ex. (1)若曲线y=f(x)在点(2, f(2)处的切线斜率为0,求a; (2)若f(x)在x=1处取得极小值,求a的取值范围.,解析 (1)因为f(x)=ax2-(3a+1)x+3a+2ex, 所以f (x)=ax2-(a+1)x+1ex. 所以f (2)=(2a-1)e2. 由题设知f (2)=0, 即(2a-1)e2=0, 解得a= . (2)由(1)得f (x)=ax2-(a+1)x+1ex=(ax-1)(x-1)ex. 若a1,则当x 时, f (x)0.所以f(x)在x=1处取得极小值. 若a1,则当x(0,1)时,ax-1x-10.所以1不是f(x)的极小值点. 综上可知,a的取值范围是(1,+).,方法总结 函数极值问题的常见类型及解题策略: (1)已知导函数图象判断函数极值的情况.先找导数为0的点,再判断导数为0的点的左、右两侧 的导数符号. (2)已知函数求极值.求f (x)求方程f (x)=0的根列表检验f (x)在f (x)=0的根的两侧的符号 得出结论. (3)已知极值求参数.若函数f(x)在点(x0,y0)处取得极值,则f (x0)=0,且f(x)在该点左、右两侧的导 数值符号相反.,考点二 导数的运算 1.(2018天津,10,5分)已知函数f(x)=exln x, f (x)为f(x)的导函数,则f (1)的值为 .,答案 e,解析 本题主要考查导数的计算. f(x)=exln x, f (x)=ex , f (1)=e1(ln 1+1)=e.,2.(2016天津,10,5分)已知函数f(x)=(2x+1)ex, f (x)为f(x)的导函数,则f (0)的值为 .,答案 3,解析 f (x)=2ex+(2x+1)ex=(2x+3)ex, f (0)=3.,1.(2015天津,11,5分)已知函数f(x)=axln x,x(0,+),其中a为实数, f (x)为f(x)的导函数.若f (1)= 3,则a的值为 .,C组 教师专用题组,答案 3,解析 f (x)=aln x+a,f (1)=aln 1+a=3,解得a=3.,2.(2012课标全国,13,5分)曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为 .,答案 y=4x-3,解析 y=3ln x+1+x =3ln x+4, 所以切线的斜率为k=y|x=1=4, 所以切线方程为y-1=4(x-1), 即y=4x-3.,3.(2015山东,20,13分)设函数f(x)=(x+a)ln x,g(x)= .已知曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线与直 线2x-y=0平行. (1)求a的值; (2)是否存在自然数k,使得方程f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根?如果存在,求出k;如果不存 在,请说明理由; (3)设函数m(x)=minf(x),g(x)(minp,q表示p,q中的较小值),求m(x)的最大值.,解析 (1)由题意知,曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线斜率为2, 所以f (1)=2, 又f (x)=ln x+ +1, 所以a=1. (2)k=1时,方程f(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的根. 设h(x)=f(x)-g(x)=(x+1)ln x- , 当x(0,1时,h(x)1-1=0, 所以存在x0(1,2), 使得h(x0)=0. 因为h(x)=ln x+ +1+ , 所以当x(1,2)时,h(x)1- 0, 当x(2,+)时,h(x)0,考点一 导数的概念及其几何意义,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,1.(2019安徽宣城八校联考期末,6)若曲线y=aln x+x2(a0)的切线的倾斜角的取值范围是 , 则a= ( ) A. B. C. D.,答案 B 因为y=aln x+x2(a0),所以y= +2x2 ,因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是 ,所以斜率k ,因此 =2 ,所以a= .故选B.,2.(2018江西重点中学盟校第一次联考,3)函数y=x3的图象在原点处的切线方程为 ( ) A.y=x B.x=0 C.y=0 D.不存在,答案 C 函数y=x3的导数为y=3x2,则函数y=x3的图象在原点处的切线斜率为0,所以在原点处 的切线方程为y-0=0(x-0),即y=0,故选C.,3.(2019安徽江南十校3月综合素质检测,5)曲线f(x)= 在点P(1, f(1)处的切线l的方程为 ( ) A.x+y-2=0 B.2x+y-3=0 C.3x+y+2=0 D.3x+y-4=0,答案 D 因为f(x)= , 所以f (x)= , 所以f (1)=-3,又f(1)=1, 所以所求切线方程为y-1=-3(x-1),即3x+y-4=0.,4.(2017湖北百所重点高中联考,4)已知函数f(x+1)= ,则曲线y=f(x)在点(1, f(1)处切线的斜 率为 ( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2,答案 A f(x+1)= ,故f(x)= ,即f(x)=2- ,对f(x)求导得f (x)= ,则f (1)=1,故所求 切线的斜率为1,故选A.,5.(2019广东佛山教学质量检测(一),7)若曲线y=ex在x=0处的切线也是曲线y=ln x+b的切线,则b = ( ) A.-1 B.1 C.2 D.e,答案 C y=ex的导数为y=ex,则曲线y=ex在x=0处的切线斜率k=1, 则曲线y=ex在x=0处的切线方程为y-1=x,即y=x+1.y=ln x+b的导数为y= ,设切点为(m,n),则 = 1,解得m=1,则n=2,即有2=ln 1+b,解得b=2.故选C.,6.(2019河北唐山二模,8)已知函数f(x)= 为奇函数,则曲线f(x)在x=2处的切线斜率 等于 ( ) A.6 B.-2 C.-6 D.-8,答案 B 设x0,则-x0,则f (x)=-2x+2,则 f (2)=-2.故选B.,一题多解 当x0时, f (x)=2x+2,则f (-2)=-2,由于f(x)为奇函数,所以其图象关于原点对称,所 以f (2)=f (-2)=-2,得曲线f(x)在x=2处的切线斜率为-2,故选B.,7.(2019河南名校联盟尖子生第六次联合调研,8)已知函数f(x)满足f =x3+x2,则曲线y=f(x)在点 (-1, f(-1)处的切线的斜率为 ( ) A.8 B.16 C.-8 D.-16,答案 B f =x3+x2,f(x)=8x3+4x2,f (x)=24x2+8x,f (-1)=16.,8.(2019江西吉安一中、九江一中、新余一中等八所重点中学4月联考,14)已知曲线y= + 在x=1处的切线l与直线2x+3y=0垂直,则实数a的值为 .,答案,解析 y=- + ,当x=1时,y=-1+ .由于切线l与直线2x+3y=0垂直,所以 =-1,解得 a= .,9.(2018百校联盟TOP20三月联考,13)函数g(x)=ln x图象上一点P到直线y=x的最短距离为 .,答案,解析 设与直线y=x平行且与曲线g(x)=ln x相切的直线的切点坐标为(x0,ln x0),因为g(x)=(ln x) = ,则1= ,x0=1,则切点坐标为(1,0),最短距离为(1,0)到直线y=x的距离,即为 = ,故 答案为 .,考点二 导数的运算 1.(2019福建福州一模,7)已知函数f(x)=xsin x, f (x)为f(x)的导函数,则函数f (x)的部分图象大致 为 ( ),答案 A 由题意知f (x)=sin x+xcos x,为奇函数,图象关于原点对称,排除C,D, 设g(x)=f (x),则g(x)=2cos x-xsin x,则g(0)=20,排除B,故选A.,2.(2017山西名校联考,3)若函数f(x)的导函数的图象关于y轴对称,则f(x)的解析式可能为 ( ) A.f(x)=3cos x B.f(x)=x3+x2 C.f(x)=1+sin 2x D.f(x)=ex+x,答案 C A选项中, f (x)=-3sin x,其图象不关于y轴对称,排除A选项;B选项中, f (x)=3x2+2x,其 图象的对称轴为x=- ,排除B选项;C选项中, f (x)=2cos 2x,其图象关于y轴对称;D选项中, f (x)= ex+1,其图象不关于y轴对称.,3.(2018河南南阳期末,5)已知各项均为正数的等比数列an,a3a5=2,若f(x)=x(x-a1)(x-a2)(x-a7), 则f (0)= ( ) A.8 B.-8 C.128 D.-128,答案 B 令f(x)=xg(x),其中g(x)=(x-a1)(x-a2)(x-a7), 则f (x)=g(x)+xg(x), 因为an是等比数列, 所以f (0)=g(0)=-a1a2a3a7=- , 又因为a3a5= =2及an各项均为正数, 所以a4= ,故f (0)=-8 .故选B.,4.(2018安徽黄山一模,14)已知f(x)= x3+3xf (0),则f (1)= .,答案 1,解析 由题意可得f (x)=x2+3f (0), 令x=0,可得f (0)=02+3f (0),f (0)=0, 则f(x)= x3,f (x)=x2,f (1)=1.,5.(2019天津十二区县重点学校联考(一),10)已知函数f(x)=(x2-a)ln x, f (x)是函数f(x)的导函数, 若f (1)=-2,则a的值为 .,答案 3,解析 f(x)=(x2-a)ln x,f (x)=2xln x+ ,f (1)=1-a=-2,解得a=3.,B组 20172019年高考模拟专题综合题组 (时间:25分钟 分值:45分) 一、选择题(每题5分,共40分),1.(2019湖南郴州第三次质量检测,8)已知函数f(x)的导函数为f (x),且满足f(x)=cos x-xf ,若 曲线y=f(x)在x=0处的切线为l,则下列直线中与直线l垂直的是 ( ) A.2x-y-1=0 B.2x+y+1=0 C.x-2y-2=0 D.x+2y+1=0,答案 B f (x)=-sin x-f ,令x= ,则f =- ,即f(x)=cos x+ x, f(0)=1, f (0)= ,所以l的方 程为y= x+1,所以直线2x+y+1=0与直线l垂直.选B.,解后反思 求解析式类似f(x)=f (x0)g(x)+h(x)(x0为常数)的导函数的关键是明确f (x0)是常数,其 导数值为0.,2.(2019湖北部分重点中学第二次联考,8)已知函数f(x)=xcos x+(a-1)x2+ax+a,若函数y=f(x)-a是 奇函数,则曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程是 ( ) A.x-y+1=0 B.2x-y+1=0 C.2x+y-1=0 D.x-2y+2=0,答案 B 由题意设g(x)=f(x)-a=xcos x+(a-1)x2+ax, 函数g(x)为奇函数,g(x)+g(-x)=xcos x+(a-1)x2+ax+-xcos x+(a-1)x2-ax=2(a-1)x2=0,a=1, f(x)=xcos x+x+1,f (x)=cos x-xsin x+1, f (0)=2,又f(0)=1,所求切线方程为y-1=2(x-0),即2x-y+1=0.故选B.,3.(2019江西南昌一模,9)已知f(x)在R上连续可导, f (x)为其导函数,且f(x)=ex+e-x-f (1)x(ex-e-x),则 f (2)+f (-2)-f (0)f (1)= ( ) A.4e2+4e-2 B.4e2-4e-2 C.0 D.4e2,答案 C f(-x)=e-x+ex-f (1)(-x)(e-x-ex)=f(x), 所以函数f(x)是偶函数,两边对x求导得-f (-x)=f (x). 即f (-x)=-f (x),则f (x)是R上的奇函数, 则f (0)=0, f (-2)=-f (2),即f (2)+f (-2)=0, 则f (2)+f (-2)-f (0)f (1)=0, 故选C.,4.(2019湖北武汉4月调研,12)设曲线C:y=3x4-2x3-9x2+4,在曲线C上一点M(1,-4)处的切线记为l, 则切线l与曲线C的公共点个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案 C y=12x3-6x2-18x,则y|x=1=1213-612-181=-12, 曲线y=3x4-2x3-9x2+4在点M(1,-4)处的切线方程为y+4=-12(x-1),即12x+y-8=0.联立 解得 或 或 故切线与曲线C还有其他的公共点(-2,32), , 切线l与曲线C的公共点个数为3.故选C.,5.(2019广东东莞期末调研,10)已知直线y=kx+1与曲线y=ln x相切,则k= ( ) A. B. C.e D.e2,答案 A 设切点坐标为(x0,y0). 由y=ln x得y= , 则 整理得ln =2,解得k= .,6.(2019安徽淮南二模,11)设直线l1,l2分别是函数f(x)= 图象上点P1,P2处的切线.l1与 l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则A,B两点之间的距离