数字滤波器的基本结构1.ppt

第5章 数字滤波器的基本结构,在许多信息处理过程中，如对信号的过滤、检测、预测等，都要广泛地用到滤波器，数字滤波器是数字信号处理中使用的最广泛的一种线性系统环节，它是数字信号处理的重要基础。在以下三章里，我们将用前面所学到基本方法来讨论数字滤波器，分析它的特点、结构、以及主要的设计方法。,一般时域离散系统或网络可以用差分方程、单位脉冲响应以及系统函数进行描述。如果系统输入输出服从N阶差分方程,5.1 数字滤波器结构的表示方法,其系统函数H(z)为,给定一个差分方程，不同的算法有很多种，例如：,观察上式，数字信号处理中有三种基本算法，即乘法、加法和单位延迟，三种基本运算用框图法和信号流图表示如下图所示。,三种基本运算的流图表示,例如：已知系统差分方程 ，其系统结构框图和信号流图如图5.1.1和图5.1.2所示。,信号流图关于节点的几个基本概念：,（1）输入节点：或源节点，x(n)所处的节点，如图5.1.2中的1节点； （2）输出节点：或阱节点，y(n)所处的节点，如图5.1.2中的8节点； （3）分支节点：一个输入，一个或一个以上输出的节点，如图5.1.2中的4、5、6、7节点； （4）和点：或相加器（节点)，有两个或两个以上输入的节点，如图5.1.2中的2、3节点。 在系统的信号流图中，支路不标传输系数时，就认为其传输系数为1；任何输出支路等于所有输入支路的信号之和。,数字滤波器有无限长单位脉冲响应(IIR)和有限长单位脉冲响应(FIR)数字滤波器两种。 FIR滤波器中一般不存在输出对输入的反馈支路，因此差分方程用下式描述：,其单位脉冲响应h(n)是有限长的，,另一类IIR滤波器结构存在输出对输入的反馈支路，也就是说，信号流图中存在环路。这类网络的单位脉冲响应是无限长的。 例如一个简单的一阶IIR网络差分方程为 y(n)=ay(n-1)+x(n) 其单位脉冲响应h(n)=anu(n)。这两类不同的网络结构各有不同的特点，下面分类叙述。,bk不全为0,无限长单位冲激响应滤波器有以下几个特点： （1）单位冲激响应h(n)是无限长的； （2）系统函数H(z)在有限z平面（ ）上有极点存在； （3）结构上存在着输出到输入的反馈，也就是结构上是递归型的。,5.2 IIR滤波器的结构,5.2.1 直接型,对N阶差分方程重写如下：,第一个网络实现零点，即实现x(n)加权延时:,第二个网络实现极点，即实现y(n)加权延时:,可见，第二网络是输出延时，即反馈网络。 *共需（M+N）个存储延时单元。,特点：,例5.2.1 IIR数字滤波器的系统函数H(z)为,画出该滤波器的直接型结构。 解 由H(z)写出差分方程如下：,例5.2.1 结构图,直接型结构的系统函数H(z)也可以看成是两个独立的系统函数的乘积。对于一个线性移不变系统，若交换其级联子系统的次序，系统函数是不变的，也就是总的输入输出关系不改变。这样我们就得到另外一种结构如图5.2.2所示，它的两个级联子网络，第一个实现系统函数的极点，第二个实现系统函数的零点。,5.2.2直接型（典范型、正准型）,对以上两式进行Z变换： 因此,改变级联次序后，将中间的两条完全相同的延时链合并。这样延时单元可以节省一倍，即N阶滤波器只需要N级延时单元。这种结构称为正准型结构或直接II型结构。,5.2.3 级联型,系统函数H(z)中分子分母均为多项式，且多项式的系数一般为实数，现将分子分母多项式分别进行因式分解，得到,(5.3.1),其中，pk为实零点，ck为实极点；qk，qk*表示复共轭零点，ek ，ek*表示复共轭极点，M=M1+2M2，N=N1+2N2,将每一对共轭零点（极点）合并起来构成一个实系数的二阶因子,将实根因子按两个一对，也合并构成实系数的二阶因子；如果还剩单个的实根因子，可以将其看成是二次项系数等于零的二阶因子。这样就可以把H(z)表示成多个实系数的二阶数字网络Hk(z)的连乘积形式：,级联的节数视具体情况而定，当M=N时，共有 节,如果有奇数个实零点，则有一个 ，同样，如果有奇数个实极点，则有一个系数 。每一个二阶子系统Hk(z)被称为二阶基本节。,(a)直接型一阶网络结构；(b)直接型二阶网络结构,级联结构的特点是调整系数 就能单独调整滤波器第k对零点，而不影响其它零、极点；同样，调整系数 就能单独调整滤波器第k对极点，而不影响其它零、极点。所以这种结构，便于准确实现滤波器零、极点，因而便于调整滤波器频率响应性能。,各二阶基本节的排列次序有 种,当M=N时，二阶因子配对方式有 种,例5.2.2 设系统函数H(z)如下式：,试画出其级联型网络结构。 解： 将H(z)分子分母进行因式分解，得到,5.2.4 并联型,如果将级联形式的H(z)，展开部分分式形式，得到IIR并联型结构。,；,其中，,均为实数，,与,复共轭,当MN时，不包含,项；M=N时，该项为G0。,当M=N时，将两个一阶实极点合为一项，将共轭极点化成实系数二阶多项式， 可表为,当N为奇数时，包含一个一阶节，即,并联结构的一节基本节和二阶基本节结构,并联结构,图5.2.5 三阶IIR滤波器的并联结构,例5.2.3 画出例题5.2.2中的H(z)的并联型结构。 解 ：将例5.2.2中H(z)展成部分分式形式：,将每一部分用直接型结构实现，其并联型网络结构如右图所示。,并联型的特点：,通过调整系数 ， 可单独调整一对极点位置，但不能单独调整零点位置,各并联基本节的误差互相不影响，故运算误差最小,可同时对输入信号进行运算，故运算速度最高,转置定理：,原网络中所有支路方向倒转，并将输入x(n)和输出y(n)相互交换，则其系统函数H(z)不改变。,直接型结构,直接型结构的转置,直接型结构的转置,画成输入在左、输出在右的习惯形式,例：设IIR数字滤波器差分方程为： 试用四种基本结构实现此差分方程。,解：对差分方程两边取z变换，得系统函数：,得直接型结构：,典范型结构：,将H(z)因式分解：,得级联型结构：,将H(z)部分分式分解：,得并联型结构：,直接I型和直接II型实现起来具有简单直观的特点。需要(M+N)个加法器和(M+N)个乘法器，直接II型比直接I型节省M个延时单元，在M=N的情况下，需要N个延时单元。 直接(I,II)型在实现原理上是类似的，都是直接一次构成。共同的缺点是，系数ai bi对滤波器性能的控制关系不直接，调整不方便。更严重的是当阶数N较高时，直接型结构的极点位置灵敏度太大，对字长效应太明显，因而容易出现不稳定现象并产生较大误差。因此一般来说，采用另两种结构将具有更大的优越性。,IIR滤波器的几种结构形式的性能,级联型：每一个基本节只关系到滤波器的某一对极点和一对零点，便于准确实现滤波器的零、极点，也便于性能调整。 级联结构可以由许多不同的搭配方式，在实际工作中，由于运算字长效应的影响，不同排列所得到的误差和性能也不一样。 并联型：可以单独调整极点位置，但不能直接控制零点。在运算误差方面，并联型各基本节的误差互不影响，所以比级联型总的说，误差要稍小一些。 因此当要求有准确的传输零点时，采用级联型最合适，其他情况下这两种结构性能差不多，或许采用并联型稍好一点。,例 已知系统的传输函数为,画出直接II型，级联型和并联型结构流图。,解：将原式写成z-1的有理分式，可得,由此，可画出直接II型结构的流图，如下图所示,将上式写成级联的形式得,则得到级联结构的流图,再将H(z)部分分式分解得,则得到并联结构的流图,5.3 FIR数字滤波器的基本结构,1）系统的单位抽样响应 h(n)有限长,FIR数字滤波器的特点：,2）系统函数H(z)在 处收敛，有限z平面只有零点，全部极点在 z = 0 处（因果系统）,3）无输出到输入的反馈，一般为非递归型结构,系统函数：,z=0处 是N-1阶极点,有N-1个零点分布于z平面,5.3.1 直接型,系统的差分方程为：,按照H(z)或者差分方程直接画出结构图如图5.4.1所示。这种结构称为直接型网络结构或者称为卷积型结构。,图5.3.1 FIR直接型结构,5.3.2 级联型,将H(z)进行因式分解，并将共轭成对的零点放在一起，形成一个系数为实数的二阶形式，这样级联型网络结构就是由一阶或二阶因子构成的级联结构，其中每一个因式都用直接型实现。,注：N/2表示取N/2的整数部分，如,*N为偶数时，N-1为奇数，这时因为有奇数个根， 所以,中有一个为零。,这种结构的每一节控制一对零点，因而在需要控制传输零点时可以采用。但它所需要的系数比直接型的多，运算时所需的乘法运算也比直接型多。,图5.3.2 FIR级联型结构,48,例 设FIR网络系统函数H(z)如下式： H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3 画出H(z)的直接型结构和级联型结构。,解 将H(z)进行因式分解，得到： H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2) 其级联型结构和直接型结构如图所示。,级联型结构,直接型结构,5.3.3 频率采样型结构,频率域等间隔采样，相应的时域信号会以采样点数为周期进行周期性延拓，如果在频率域采样点数N大于等于原序列的长度M，则不会引起信号失真，此时原序列的z变换H(z)与频域采样值H(k)满足下面关系式：,设FIR滤皮器单位脉冲响应h(n)长度为M，系统函数H(z)=ZTh(n)，上式中H(k)用下式表示：,要求频率域采样点数NM。上式提供了一种称为频率采样的FIR网络结构。将(5.4.1)式写成下式：,式中,Hc(z)是一个梳状滤波网络，其零点为,图5.3.3 梳状滤波器,第二部分是一组并联的一阶网络： 其中每一个一阶网络都是一个谐振器，构成一个谐振器柜： 这个一阶网络在单位圆上有一个极点：,56,因此网络对频率为 的响应将是，所以，网络是一个谐振频率为 的无耗谐振器。这些并联谐振器的极点正好各自抵消一个梳状滤波器的零点，从而使在这个频率点上的响应等于 。,由这样两部分级联起来后，就得到下图所示的总结构。这个结构的特点是它的系数 直接就是滤波器在 处的响应。因此控制滤波器的响应是很直接的。,FIR滤波器频率采样结构,(1)在频率采样点k，H(ejk)=H(k)，只要调整H(k)(即一阶网络Hk(z)中乘法器的系数H(k)，就可以有效地调整频响特性，使实际调整方便。 (2)只要h(n)长度N相同，对于任何频响形状，其梳状滤波器部分和N个一阶网络部分结构完全相同，只是各支路增益H(k)不同。这样，相同部分便于标准化、模块化。,优点：,缺点： (1)系统稳定是靠位于单位圆上的N个零极点对消来保证的。有限字长效应可能导致零极点不能完全对消，导致系统不稳定 (2)结构中，H(k)和 一般为复数，要求乘法器完成复数乘法运算，这对硬件实现是不方便的。 为了克服上述缺点，对频率采样结构作以下修正。,首先将单位圆上的零极点向单位圆内收缩一点，收缩到半径为r的圆上，取r1且r1。此时H(z)为,其中 是修正点上的采样值，但由于修正半径 ，因此 。即,因此,抽样点改到r1的圆上,另外，为了使系数为实数，可以将谐振器的共轭根合并，这些共轭根在圆周上是对称的。即 同时，如果 是实数的话，它的DFT也是周期共轭对称的。,谐振器各个根的位置 （a）N为偶数（b）N为奇数,因此，可以将第 及第 个谐振器合并为一个二阶网络：,显然，二阶网络Hk(z)的系数都为实数，其结构如下图所示。,式中：,(5.4.4),这个二端网络是一个有限Q值的谐振器。谐振频率为 。,除了共轭复根外，尚有实根。当N为偶数时，有一对实根，它们分别为 ，因此尚有两个对应的一阶网络： 其结构如下图所示。 当N为奇数时，只有一个实根 ，因此相对应只有一个一阶网络 。,这样就可以得到改进后的总结构。N为偶数时,N为奇数时,N为偶数时，其总结构如上图所示，在谐振器柜中，两端两个是一阶的，其余中间的都是二阶的。 但是当N为奇数时，最后一个一阶网络 就不必要了。 这种结构我们可以看到，既有递归部分谐振器柜，也有非递归部分梳状滤波器,一般看，频率采样的结构比较复杂，所需的存储器及乘法器也比较多。但是在以下几种情况下，使用频率采样结构却可以带来一定的好处。 如果多数采样值 为零，例如在窄带低通滤波器的情况下，这时谐振器柜中只剩下少数几个所需要的谐振器，因而可以比直接法少用乘法器，但存储器还是要比直接法用得多一些。,在有些情况下，信号处理需要同时使用很多并列的滤波器。例如在信号频谱分析中，要求同时将信号的各种频率分量分别滤出来，这些并列的滤波器可以采用频率采样结构。并且可以公用一个梳状滤波器及谐振器柜，只要将各谐振器的输出适当加权组合就能组成各所需滤波器，这样的结构就有很大的经济性。,频率采样的结构还有一个本身的特点，就是它的每个部分都具有很高的规范性。只要改变二阶谐振节中的系数 及一阶节中的 就可以构成不同的滤波器，而不用改变整个结构以及其它各系数，因此做时分复用时有一定好处。,5.3.4 快速卷积结构,根据圆周卷积和线性卷积的关系可知，只要将两个有限长序列补上一定的零值点，就可以用圆周卷积来代替两个序列的线性卷积。由于时域的圆周卷积，等效到频域内离散傅立叶变换的乘积，如果,利用圆周定理，采用FFT实现有限长序列x(n)和h(n)的线性卷积，则可得到FIR滤波器的快速卷积结构，如图5.3.7所示，当N1、N2很长时，它比直接计算线性卷积要快的多。,图5.3.7 FIR滤波器的快速积结构,5.4 格型滤波器的基本机构,格型结构滤波器可以用于IIR滤波器，也可以用于FIR滤波器。它的模块化结构便于实现高速并行处理，一个M阶格型滤波器可以产生从1阶到M阶的M个横向滤波器的输出特性，它对有限长的舍入误差不敏感，且适合于递推运算。由于这些优点，使得这种结构在现代谱估计、语音信号处理、线性预测及自适应滤波等方面得到广泛的应用。 格型滤波器根据零极点的特点可分为：全零点（FIR）格型滤波器、全极点（IIR）格型滤波器和零极点（IIR）格型滤波器。,5.4.1 全零点（FIR）格型滤波器,一个M阶的FIR滤波器的系统函数可写成如下形式： 其中， 表示M阶FIR滤波器的第i个系数， 并假设 的首项系数 。,图5.4.1所示的是一个一般的M阶全零点格型滤波器结构，该结构的信号流图只有直通支路，没有反馈支路，每个网络单元有两个输入端和两个输出端，第一个网络单元的两个输入端为整个系统的输入信号x(n)，而最后一个格型单元上面的输出作为整个格型网络的输出。,图5.4.1 全零点格型滤波器网结构,它可以看成由M个如图5.4.2所示的格型网络单元级联而成。 下面推到由 的系数 求出格型结构网络系数 的逆推公式。图5.4.2基本格型单元的输入、输出关系： 且,图5.4.2 全零点格型结构基本元,设 、 分别表示由输入端x(n)至第m个基本单元上、下输出端 、 对应的系统函数，即 对基本格型结构输入、输出关系两边进行z变换得：,上式分别除以 和 ，并整理有 可用矩阵表示为 由低阶到高阶系 统函数的递推公式 由高阶到低阶系统 函数的递推公式,与 间的递推关系,因为 所以 即 通过递推可推出,将上式带入递推公式中，得 和滤波器系统