2020版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第3讲导数与函数的极值、最值教案理（含解析）新人教A版.docx

第3讲导数与函数的极值、最值基础知识整合1导数与函数的极值(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，且f(a)0，而且在xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值；(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，且f(b)0，而且在xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值2导数与函数的最值(1)函数f(x)在a，b上有最值的条件如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值(2)求yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤求函数yf(x)在(a，b)内的极值将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值1对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件2若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点3极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值1函数f(x)x36x28x的极值点是()Ax1Bx2Cx2和x1Dx1和x2答案D解析f(x)4x212x84(x2)(x1)，则结合列表可得函数f(x)的极值点为x1和x2.故选D.2(2019黑龙江模拟)设函数f(x)xex，则()Ax1为f(x)的极大值点Bx1为f(x)的极小值点Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值点答案D解析f(x)exxex(1x)ex.令f(x)0，则x1.当x1时，f(x)1时，f(x)0，所以x1为f(x)的极小值点3(2019岳阳模拟)函数f(x)ln xx在区间(0，e上的最大值为()A1eB1 CeD0答案B解析因为f(x)1，当x(0,1)时，f(x)0；当x(1，e时，f(x)0Bm1Dm1答案B解析yexm，则exm0必有根，mex0.5已知f(x)2x36x2m(m为常数)在2,2上有最大值3，那么此函数在2,2上的最小值是()A37B29C5D以上都不对答案A解析f(x)6x212x6x(x2)，f(x)在(2,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，x0为极大值点，也为最大值点，f(0)m3，m3.f(2)37，f(2)5.最小值是37.故选A.6(2019宁夏中卫市模拟)如图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图象，给出下列命题：3是函数yf(x)的极小值点；1是函数yf(x)的极小值点；yf(x)在x0处的切线的斜率小于零；yf(x)在区间(3,1)上单调递增则正确命题的序号是()AB CD答案A解析由图可知x3时，f(x)0，3是f(x)的极小值点，正确；又x(3，1)时f(x)0，f(x)在区间(3,1)上单调递增，故不正确，正确函数yf(x)在x0处的导数大于0，yf(x)在x0处的切线的斜率大于0.不正确故选A.核心考向突破考向一导数与函数的极值角度知图判断函数极值情况例1(2019贵阳模拟)已知函数y的图象如图所示(其中f(x)是定义域为R的函数f(x)的导函数)，则以下说法错误的是()Af(1)f(1)0B当x1时，函数f(x)取得极大值C方程xf(x)0与f(x)0均有三个实数根D当x1时，函数f(x)取得极小值答案C解析由图象可知f(1)f(1)0，A说法正确当x1时，0；当1x0，此时f(x)0，故当x1时，函数f(x)取得极大值，B说法正确当0x1时，0，此时f(x)1时，0，此时f(x)0，故当x1时，函数f(x)取得极小值，D说法正确故选C.角度已知函数解析式求极值例2(1)已知函数f(x)x3px2qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为()A，0B0， C.，0D0，答案C解析由题意知，f(x)3x22pxq，由f(1)0，f(1)0，得解得p2，q1，f(x)x32x2x，由f(x)3x24x10，得x或x1，易得当x时，f(x)取极大值，当x1时，f(x)取极小值0.(2)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)(ex1)(x1)k(k1,2)，则()A当k1时，f(x)在x1处取到极小值B当k1时，f(x)在x1处取到极大值C当k2时，f(x)在x1处取到极小值D当k2时，f(x)在x1处取到极大值答案C解析因为f(x)(x1)k1ex(x1k)k，当k1时，f(1)0，故1不是函数f(x)的极值点，当k2时，在1左边f(x)0，函数f(x)单调递增，故f(x)在x1处取到极小值故选C.角度已知函数的极值求参数范围例3(1)函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，则a，b的值为()Aa3，b3，或a4，b11Ba4，b1，或a4，b11Ca1，b5D以上都不正确答案D解析f(x)3x22axb，依题意，有即解得或当a3且b3时，f(x)3x26x30，函数f(x)无极值点，故符合题意的只有故选D.(2)(2019沈阳模拟)设函数f(x)ln xax2bx，若x1是f(x)的极大值点，则a的取值范围为_答案a1解析f(x)的定义域为(0，)，f(x)axb，由f(1)0，得b1a，f(x)axa1.若a0，当0x0，f(x)单调递增；当x1时，f(x)0，f(x)单调递减，所以x1是f(x)的极大值点若a1，解得1a1.触类旁通函数极值问题的常见类型及解题策略(1)已知导函数图象判断函数极值的情况先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号(2)已知函数求极值.求f(x)求方程f(x)0的根列表检验f(x)在f(x)0的根的附近两侧的符号下结论.(3)已知极值求参数.若函数f(x)在点(x0，y0)处取得极值，则f(x0)0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.即时训练1.(2019福建莆田月考)若x1是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极大值为()A1B2e3 C5e3D1答案C解析f(x)(x2(2a)xa1)ex1，由f(1)0得a1.由f(x)(x2x2)ex10得x2或1.又当x0，当2x1时，f(x)0，f(x)的极大值为f(2)5e3.故选C.2(2018江门模拟)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)答案D解析由图可得函数y(1x)f(x)的零点为2,1,2，则当x0，此时在(，2)上f(x)0，在(2,1)上f(x)1时，1x0，此时在(1,2)上f(x)0.所以f(x)在(，2)上为增函数，在(2,2)上为减函数，在(2，)上为增函数，因此f(x)有极大值f(2)，极小值f(2)故选D.3若函数f(x)(12a)x2ln x(a0)在区间内有极大值，则a的取值范围是()A.B(1，)C(1,2)D(2，)答案C解析f(x)ax(12a)(x0)，由题意知1，解得1a0时，求函数f(x)在1,2上的最小值解(1)f(x)a(x0)，当a0时，f(x)a0，即函数f(x)的单调增区间为(0，)当a0时，令f(x)a0，可得x.当0x0；当x时，f(x)0，故函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)当1，即a1时，函数f(x)在区间1,2上是减函数，f(x)的最小值是f(2)ln 22a.当2，即0a时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，f(x)的最小值是f(1)a.当12，即a1时，函数f(x)在上是增函数，在上是减函数又f(2)f(1)ln 2a，当aln 2时，最小值是f(1)a；当ln 2a1时，最小值为f(2)ln 22a.综上可知，当0aln 2时，函数f(x)的最小值是a；当aln 2时，函数f(x)的最小值是ln 22a.触类旁通利用导数求函数最值的方法当函数在一个区间内只有唯一的极小(大)值时，这个极小(大)值就是最小(大)值；当函数在一个区间内的极值有多个时，就要把这些极值和区间的端点值进行比较，比较大小的基本方法之一就是作差法即时训练4.(2019山东师大附中模拟)已知函数f(x)(xa)ex(aR)(1)当a2时，求函数f(x)在x0处的切线方程；(2)求f(x)在区间1,2上的最小值解f(x)(x1a)ex.(1)当a2时，f(x)(x1)ex.f(0)2，f(0)1，所求切线方程为y2x，即xy20.(2)令f(x)0得xa1.若a11，则a2.当x1,2时，f(x)0，则f(x)在1,2上单调递增f(x)minf(1)(1a)e；若a12，则a3.当x1,2时，f(x)0，则f(x)在1,2上单调递减f(x)minf(2)(2a)e2；若1a12，则2a3.f(x)，f(x)随x的变化情况如表：f(x)的减区间为(1，a1)，增区间为(a1,2)，f(x)minf(a1)ea1.综上可知当a2时，f(x)min(1a)e；当a3时，f(x)min(2a)e2；当2a时，求函数f(x)在b，)上的最小值解f(x).(1)因为x是函数yf(x)的一个极值点，所以f0，因此aa10，解得a.经检验，当a时，x是yf(x)的一个极值点，故所求a的值为.(2)由(1)可知，f(x)，令f(x)0，得x1，x2.f(x)与f(x)随x的变化情况如下：所以，f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是.当b时，f(x)在上单调递减，在上单调递增所以f(x)在b，)上的最小值为f；当b时，f(x)在b，)上单调递增，所以f(x)在b，)上的最小值为f(b).触类旁通(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论.(3)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象得到函数的最值.即时训练5.(2019山西三区八校模拟)已知函数f(x)ln xax2bx(其中a，b为常数，且a0)在x1处取得极值(1)当a1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0，e上的最大值为1，求a的值解(1)因为f(x)ln xax2bx，所以f(x)的定义域为(0，)，f(x)2axb，因为函数f(x)ln xax2bx在x1处取得极值，所以f(1)12ab0，又a1，所以b3，则f(x)，令f(x)0，得x1，x21.f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：所以f(x)的单调递增区间为，(1，)，单调递减区间为.(2)由(1)知f(x)，令f(x)0，得x11，x2，因为f(x)在x1处取得极值，所以x2x11，当0时，x20，当1时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，1，e上单调递增，所以