2020版高考数学第六章不等式、推理与证明第五节合情推理与演绎推理学案文（含解析）新人教A版.docx

第五节合情推理与演绎推理2019考纲考题考情1合情推理(1)归纳推理定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理。(2)类比推理定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理。特点：是由特殊到特殊的推理。2演绎推理(1)演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。(2)“三段论”是演绎推理的一般模式大前提已知的一般原理。小前提所研究的特殊情况。结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断。1合情推理包括归纳推理和类比推理，其结论是猜想，不一定正确，若要确定其正确性，则需要证明。2在进行类比推理时，要从本质上去类比，只从一点表面现象去类比，就会犯机械类比的错误。3应用三段论解决问题时，要明确什么是大前提、小前提，如果前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的。若大前提或小前提错误，尽管推理形式是正确的，但所得结论是错误的。一、走进教材1(选修12P35A组T4改编)对于任意正整数n,2n与n2的大小关系为()A当n2时，2nn2B当n3时，2nn2C当n4时，2nn2D当n5时，2nn2解析当n2时，2nn2；当n3时，2nn2；当n6时，2nn2；归纳判断，当n5时，2nn2。故选D。答案D2(选修12P35A组T6改编)在等差数列an中，若a100，则有a1a2ana1a2a19n(n19，且nN*)成立。类比上述性质，在等比数列bn中，若b91，则存在的等式为_。解析根据类比推理的特点可知：等比数列和等差数列类比，在等差数列中是和，在等比数列中是积，故有b1b2bnb1b2b17n(n17，且nN*)。答案b1b2bnb1b2b17n(nb0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是1。那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0，y0)在双曲线1(a0，b0)外，过P0作双曲线的两条切线，切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是_。解析(1)由题意得，二维空间中，二维测度的导数为一维测度；三维空间中，三维测度的导数为二维测度。由此归纳，在四维空间中，四维测度的导数为三维测度，故W2r4。故选A。(2)由椭圆与双曲线类比可得，切点弦P1P2所在的直线方程为1。答案(1)A(2)11进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想。其中找到合适的类比对象是解题的关键。2类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等。【变式训练】(2019桂林模拟)我国古代数学名著九章算术的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”它体现了一种无限与有限的转化过程。比如在表达式1中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1x求得x。类比上述过程，则_。解析由题意可得x(x0)，整理得(x1)(x2 018)0(x0)，解得x2 018，即2 018。答案2 018考点三演绎推理【例3】(1)有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，若f(x0)0，则xx0是函数f(x)的极值点，因为f(x)x3在x0处的导数值为0，所以x0是f(x)x3的极值点，以上推理()A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D结论正确(2)(2019湖南模拟)天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支。十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推。已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立80年时为_年()A丙酉B戊申 C己申D己酉解析(1)大前提是“对于可导函数f(x)，若f(x0)0，则xx0是函数f(x)的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f(x)，如果f(x0)0，且满足在x0附近左右两侧导函数值异号，那么xx0才是函数f(x)的极值点，所以大前提错误。故选A。(2)天干以10循环，地支以12循环，从1949年到2029年经过80年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为首项，80108，则2029年的天干为己；801268，则2029年的地支为酉。故选D。答案(1)A(2)D演绎推理的推证规则1演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略。2在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成。【变式训练】(1)用“三段论”推理：任何实数的绝对值大于0，因为a是实数，所以a的绝对值大于0。你认为这个推理()A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D是正确的(2)在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和。那么这四名同学按阅读量从大到小排序依次为_。解析(1)实数0的绝对值等于0，不大于0，大前提错误。(2)因为甲、丙阅读量之和等于乙、丁阅读量之和，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，所以乙的阅读量大于丙的阅读量，甲的阅读量大于丁的阅读量，因为丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和，所以这四名同学按阅读量从大到小排序依次为甲、丁、乙、丙。答案(1)A(2)甲、丁、乙、丙1(配合例1使用)(1)给出以下数对序列：(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)记第i行的第j个数对为aij，如a43(3,2)，则anm()A(m，nm1) B(m1，nm)C(m1，nm1) D(m，nm)(2)观察下列式子：1,121,12321,1234321，由以上可推测出一个一般性结论：对于nN*，则12n21_。解析(1)由前4行的特点，归纳可得：若anm(a，b)，则am，bnm1，所以anm(m，nm1)。(2)由112,121422,12321932,12343211642，归纳猜想可得12n21n2。答案(1)A(2)n22(配合例2使用)如图，在ABC中，O为其内切圆圆心，过O的直线将三角形面积分为相等的两部分，且该直线与AC，BC分别相交于点F，E，则四边形ABEF与CEF的周长相等。试将此结论类比到空间，写出一个与其相关的命题，并证明该命题的正确性。解如图，截面AEF经过四面体ABCD的内切球(与四个面都相切的球)的球心O，且与BC，DC分别交于点E，F，若截面将四面体分为体积相等的两部分，则四棱锥ABEFD与三棱锥AEFC的表面积相等。下面证明该结论的正确性：设内切球半径为R，则VABEFD(SABDSABESADFS四边形BEFD)RVAEFC(SAECSACFSECF)R，即SABDSABESADFS四边形BEFDSAECSACFSECF，两边同加SAEF可得结论。3(配合例3使用)数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an1Sn(nN*)。证明：(1)数列是等比数列；(2)Sn14an。证明(1)因为an1Sn1Sn，an1Sn，所以(n2