2020版高考数学一轮复习第七章不等式第4讲基本不等式教案理（含解析）新人教A版.docx

第4讲基本不等式基础知识整合1重要不等式a2b22ab(a，bR)(当且仅当ab时等号成立)2基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a0，b0；(2)等号成立的条件：当且仅当ab时等号成立；(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数3利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x，y(0，)，且xyP(定值)，那么当xy时，xy有最小值2.(简记：“积定和最小”)(2)如果x，y(0，)，且xyS(定值)，那么当xy时，xy有最大值.(简记：“和定积最大”)常用的几个重要不等式(1)ab2(a0，b0)；(2)ab2(a，bR)；(3)2(a，bR)；(4)2(a，b同号)以上不等式等号成立的条件均为ab.1已知a，bR，且ab1，则ab的最大值为()A.1 B. C. D.答案B解析a，bR，1ab2，ab，当且仅当ab时等号成立故选B.2(2019山西模拟)已知a0，b0，ab2，则y的最小值是()A. B.4 C. D.5答案C解析y(ab).故选C.3.(6a3)的最大值为()A.9 B. C.3 D.答案B解析当a6或a3时，0；当6a2)的最小值为6，则正数m的值为_答案4解析x2，m0，yx222222，当且仅当x2时取等号，又函数yx(x2)的最小值为6，226，解得m4.5(2019大连模拟)函数y2x(x0)的最大值为_答案4解析x0，(2x)24，即y2x4(当且仅当2x，即x1时等号成立)6(2018天津高考)已知a，bR，且a3b60，则2a的最小值为_答案解析由a3b60可得a3b6，又2a222(当且仅当a3，b1时取等号)，2a的最小值为.核心考向突破考向一利用基本不等式求最值角度利用配凑法求最值例1(1)已知0x1，则x(33x)取得最大值时x的值为()A. B. C. D.答案B解析0x0，则函数yx的最小值为_答案0解析yx2220，当且仅当x，即x时等号成立所以函数的最小值为0.触类旁通 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形.即时训练1.已知x，y都是非负实数，且xy2，则的最小值为_答案解析x，y都是非负实数，且xy2，x2y48，82，即，当且仅当x2，y0时取等号，则.角度利用常数代换法求最值例2(1)(2019绵阳诊断)若，则y的取值范围为()A6，) B10，)C12，) D16，)答案D解析，sin2，cos2(0,1)，y(sin2cos2)1010216，当且仅当，即时等号成立故选D.(2)(2017山东高考)若直线1(a0，b0)过点(1,2)，则2ab的最小值为_答案8解析直线1(a0，b0)过点(1,2)，1，2ab(2ab)442 8，当且仅当，即a2，b4时，等号成立故2ab的最小值为8.触类旁通 常数代换法求最值的步骤常数代换法适用于求解条件最值问题应用此种方法求解最值的基本步骤为：即时训练2.(2019正定模拟)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是_答案5解析由x3y5xy，可得1，所以3x4y(3x4y)2 5，当且仅当x1，y时取等号，故3x4y的最小值是5.角度利用消元法求最值例3(1)(2019江西上饶联考)已知正数a，b，c满足2abc0，则的最大值为()A8 B2 C D答案C解析因为a，b，c都是正数，且满足2abc0，所以b2ac，所以，当且仅当c2a0时等号成立故选C.(2)已知正数x，y满足x22xy30，则2xy的最小值是_答案3解析由x22xy30，得yx，则2xy2xx23，当且仅当x1时，等号成立，所以2xy的最小值为3.触类旁通 通过消元法利用基本不等式求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解即时训练3.(2019安徽阜阳模拟)若直线1(a0，b0)过点(1,1)，则ab的最小值为_答案6解析因为直线1(a0，b0)过点(1,1)，所以1，所以b0，所以a1，所以ab(a1)2426，当且仅当a3时等号成立，所以ab的最小值是6.考向二求参数值或取值范围例4(1)(2019山西模拟)已知不等式(xy)9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A2 B4 C6 D8答案B解析(xy)1aa1a2(1)2，当且仅当a，即ax2y2时“”成立(xy)9，(xy)的最小值为(1)29.a4.故选B.(2)(2019珠海模拟)已知x0，y0，x3yxy9，则x3y的最小值为()A2 B4 C6 D8答案C解析解法一：由已知得xy9(x3y)，即3xy273(x3y)2，当且仅当x3y，即x3，y1时取等号，令x3yt，则t0，且t212t1080，解得t6，即x3y6.解法二：x3y9xy2，()2290，(3)()0，00，b0且不等式0恒成立，则实数k的最小值等于()A0 B4 C4 D2答案C解析由0得k，又24(ab时取等号)，所以4，因此要使k恒成立，应有k4，即实数k的最小值等于4.故选C.5(2019上海模拟)设x，y均为正实数，且1，则xy的最小值为()A4 B4 C9 D16答案D解析1可化为xy8xy，x，y均为正实数，xy8xy82(当且仅当xy时等号成立)，即xy280，解得4，即xy16，故xy的最小值为16.故选D.考向三基本不等式的实际应用例5(2019西安模拟)某商人投资81万元建一间工作室，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把工作室出租，每年收入租金30万元(1)若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：年平均利润最大时，以46万元出售该工作室；纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室问该商人会选择哪种方案？解(1)设第n年获取利润为y万元n年付出的装修费构成一个首项为1，公差为2的等差数列，n年付出的装修费之和为n12n2，又投资81万元，n年共收入租金30n万元，利润y30nn281(nN*)令y0，即30nn2810，n230n810，解得3n0，则的最小值为_答案4解析a44b42a22b24a2b2(当且仅当a22b2时“”成立)，4ab，由于ab0，4ab24，故当且仅当时，的最小值为4.答题启示利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立，特别是当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每