2020版高考数学第十一章计数原理、概率、随机变量及分布列第3讲二项式定理教案理新人教A版.docx

第3讲二项式定理基础知识整合1二项式定理的内容(1)(ab)nCanCan1b1CanrbrCbn(nN*)(2)第r1项，Tr1Canrbr.(3)第r1项的二项式系数为C(r0,1，n)2二项式系数的性质(1)0kn时，C与C的关系是相等(2)二项式系数先增后减中间项最大且n为偶数时第1项的二项式系数最大，最大为，当n为奇数时第1或1项的二项式系数最大，最大为.(3)各二项式系数和：CCCC2n，CCC2n1，CCC2n1.1注意(ab)n与(ba)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题2解题时，要注意区别二项式系数和项的系数的不同、项数和项的不同3切实理解“常数项”“有理项(字母指数为整数)”“系数最大的项”等概念1(2018全国卷)5的展开式中x4的系数为()A10 B20 C40 D80答案C解析由题可得Tr1C(x2)5rrC2rx103r.令103r4，则r2，所以C2rC2240.故选C.2若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a2a4的值为()A9 B8 C7 D6答案B解析令x1，则a0a1a2a3a40，令x1，则a0a1a2a3a416，两式相加得a0a2a48.3(xy)(xy)5的展开式中x2y4的系数为()A10 B5 C5 D10答案B解析(xy)5的展开式的通项公式为Tr1Cx5ryr，令5r1，得r4，令5r2，得r3，(xy)(xy)5的展开式中x2y4的系数为C1(1)C5.故选B.4设(5x)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，MN240，则展开式中x3的系数为()A500 B500 C150 D150答案C解析N2n，令x1，则M(51)n4n(2n)2.(2n)22n240,2n16，n4.展开式中第r1项Tr1C(5x)4r()r(1)rC54rx.令43，即r2，此时C52(1)2150.5(2019绍兴模拟)若5的展开式中x5的系数是80，则实数a_.答案2解析6(2019南昌模拟)(1xx2)6的展开式中的常数项为_答案5解析6的通项公式为Tr1Cx62r(1)r，所以(1xx2)6的常数项为Cx62r(1)r(当r3时)与Cx62r(1)r(当r4时)之和，所以常数项为C(1)3C(1)420155.核心考向突破考向一求展开式中的特定项或特定系数例1(1)18的展开式中含x15的项的系数为()A153 B153 C17 D17答案C解析(2)(2019山东枣庄模拟)若(x2a)10的展开式中x6的系数为30，则a等于()A. B. C1 D2答案D解析10展开式的通项公式为Tr1Cx10rrCx102r，令102r4，解得r3，所以x4项的系数为C；令102r6，解得r2，所以x6项的系数为C，所以(x2a)10的展开式中x6的系数为CaC30，解得a2.故选D.(3)(2018浙江高考)二项式8的展开式的常数项是_答案7解析二项式8的展开式的通项公式为Tr1C()8rrCx，令0得r2，故所求的常数项为C7.触类旁通即时训练1.(2019广州调研)9的展开式中x3的系数为()A B C. D.答案A解析二项展开式的通项Tr1Cx9rrrCx92r，令92r3，得r3，展开式中x3的系数为3C.故选A.2(2019河南信阳模拟)(x21)5的展开式的常数项是()A5 B10 C32 D42答案D解析由于5的通项为C5r(2)rC(2)rx，故(x21)5的展开式的常数项是C(2)C(2)542.故选D.3已知9的展开式中x3的系数为，则a_.答案4解析9的展开式的通项公式为Tr1C9rr(1)ra9r2Cxr9.令3，得r8，则(1)8a24C，解得a4.考向二二项式系数与各项的系数问题角度1二项式展开式中系数的和例2(1)(2019金华模拟)已知n的展开式的各项系数和为243，则展开式中x7的系数为()A5 B40 C20 D10答案B解析由n的展开式的各项系数和为243，得3n 243，即n5，n5，则Tr1C(x3)5rr2rCx154r，令154r7，得r2，展开式中x7的系数为22C40.故选B.(2)已知(12x)7a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5a6x6a7x7，则a1a2a3a4a5a6_，a0a1a2a3a4a5a6a7_，a2a4a6_.答案12621871092解析令x0，得a01.令x1，得1a0a1a2a7.又a7C(2)7(2)7，a1a2a61a0a7126.令x1，得a0a1a2a3a4a5a6a7372187.，得a0a2a4a61093，a2a4a61092.触类旁通求二项式系数和的常用方法是赋值法(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，bR)的式子，求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可；对形如(axby)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可即时训练4.(2019黄冈质检)若(1xx2)6a0a1xa2x2a12x12，则a2a4a12()A284 B356 C364 D378答案C解析令x0，则a01；令x1，则a0a1a2a1236；令x1，则a0a1a2a121.两式左右分别相加，得2(a0a2a12)361730，所以a0a2a12365，又a01，所以a2a4a12364.5(2019郑州一测)在n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为321，则x2的系数为_答案90解析令x1，则n4n，所以n的展开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以2n32，解得n5.二项展开式的通项Tr1Cx5rrC3rxr，令5r2，得r2，所以x2的系数为C3290.角度2二项式系数的最值问题 例3(1)(2019广东广州模拟)已知二项式n的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含项的系数是()A84 B14 C14 D84答案A解析由二项式n的展开式中所有二项式系数的和是128，得2n128，即n7，n7，则Tr1C(2x2)7rr(1)r27rCx143r.令143r1，得r5.展开式中含项的系数是4C84.故选A.(2)(2019安徽马鞍山模拟)二项式n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为()A3 B5 C6 D7答案D解析根据n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n20，n的展开式的通项为Tr1C(x)20rr()20rCx，要使x的指数是整数，需r是3的倍数，r0,3,6,9,12,15,18，x的指数是整数的项共有7项故选D.触类旁通求二项式系数最大项(1)如果n是偶数，那么中间一项(第项)的二项式系数最大即时训练6.已知(1x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A212 B211 C210 D29答案D解析因为展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，所以CC，解得n10，所以根据二项式系数和的相关公式可知，奇数项的二项式系数和为2n129.7若n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是()A180 B120 C90 D45答案A解析只有第6项的二项式系数最大，可知n10，于是展开式通项为Tr1C()10rr2rCx，令50，得r2，所以常数项为22C180.故选A.角度3项的系数的最值问题例4(1)(2019承德模拟)若(12x)6的展开式中第二项大于它的相邻两项，则x的取值范围是()A.x B.xC.x D.x答案A解析即x.(2)若n的展开式中第6项系数最大，则不含x的项为()A210 B10 C462 D252答案A解析第6项系数最大，且项的系数为二项式系数，n的值可能是9,10,11.设常数项为Tr1Cx3(nr)x2rCx3n5r，则3n5r0，其中n9,10,11，rN，n10，r6，故不含x的项为T7C210.触类旁通求展开式系数最大项如求(abx)n(a，bR)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，An1，且第k项系数最大，应用从而解出k来，即得即时训练8.(2019宜昌高三测试)已知(x3x2)n的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项解考向三二项式定理的应用例5(1)(2019潍坊模拟)设aZ，且0a13，若512018a能被13整除，则a()A0 B1 C11 D12答案D解析由于51521，(521)2018C522018C522017C5211，又由于13整除52，所以只需13整除1a，0a13，aZ，所以a12.(2)0.9910的第一位小数为n1，第二位小数为n2，第三位小数为n3，则n1，n2，n3分别为()A9,0,4 B9,4,0 C9,2,0 D9,0,2答案A解析0.9910(10.01)10C110(0.01)0C19(0.01)1C18(0.01)210.10.00450.9045.触类旁通二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1x)n1nx.即时训练9.190C902C903C(1)k90kC9010C除以88的余数是()A1 B1 C87 D87答案B解析190C902C903C(1)k90kC9010C(190)108910(881)108810C889C881.前10项均能被88整除，余数是1.101.028的近似值是_(精确到小数点后三位)答案1.172解析1.028(10.02)8CC0.02C0.022C0.0231.172.1(2019江苏模拟)(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为()A10 B20 C30 D60答案C解析由二项展开式通项易知Tr1C(x2x)5ryr，令r2，则T3C(x2x)3y2，对于二项式(x2x)3，由Tt1C(x2)3txtCx6t，令t1，所以x5y2的系数为CC30.故选C.2在12的展开式中x5的系数为_答案264解析1212的展开式的通项公式为Tr1C(2)12rr，若要出现x5项，则需r0，则T1(2)12，x5的系数为22C4C264.答题启示二项式定理研究两项和的展开式，对于三项式问题，一般是通过合并、拆分或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解对点训练1(x2x1)10展开式中x3的系数为()A210 B210 C30 D30