2020版高考数学计数原理、概率、随机变量及分布列第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案理新人教A版.docx

第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理基础知识整合1分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn 种不同的方法2分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础，并贯穿其始终(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于其中一类(2)分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间的方法“相互独立，分步完成”1快递员去某小区送快递，该小区共有四个出入口，每个出入口均可进出，则该快递员进出该小区的方案种数为()A6 B8 C16 D14答案C解析方案种数为4416种，故选C.2将3张不同的奥运会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是()A2160 B720 C240 D120答案B解析分步来完成此事第1张有10种分法；第2张有9种分法；第3张有8种分法共有1098720种分法3(2018九江模拟)已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()A40 B16 C13 D10答案C解析分两类情况讨论：第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面根据分类加法计数原理知，共可以确定8513个不同的平面4(2019长沙模拟)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()A12种 B18种 C24种 D36种答案A解析第一步先排第一列，有A6(种)，再排第二列，当第一列确定时，第二列有两种方法，如图所示，所以不同的排列方法共有6212(种)5从0,1,2,3,4这5个数字中任取3个组成三位数，其中奇数的个数是_答案18解析从1,3中取一个排个位，故排个位有2种方法；排百位不能是0，可以从另外3个数中取一个，有3种方法；排十位有3种方法故所求奇数的个数为23318.6. (2019宁波模拟)如图，矩形的对角线把矩形分成A，B，C，D四部分，现用5种不同颜色给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，则共有_种不同的涂色方法答案260解析区域A有5种涂色方法；区域B有4种涂色方法；区域C的涂色方法可分2类：若C与A涂同色，区域D有4种涂色方法；若C与A涂不同色，此时区域C有3种涂色方法，区域D也有3种涂色方法所以共有5445433260种涂色方法核心考向突破考向一分类加法计数原理例1(1)(2019广西桂林模拟)如图，某货场有两堆集装箱，一堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每次只能取其中一堆最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是()A6 B10 C12 D24答案B解析将图中左边的集装箱从上往下分别记为1,2,3，右边的集装箱从上往下分别记为4,5.分两种情况讨论：若先取1，则有12345,12453,12435,14523,14235,14253，共6种取法；若先取4，则有45123,41235,41523,41253，共4种取法，故共有6410种取法(2)(2019河北保定模拟)甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A，B，C三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的安排方法种数为()A8 B7 C6 D5答案B解析根据题意，分两种情况讨论：乙和甲一起去A社区，此时将丙、丁二人安排到B，C社区即可，有A2种情况，乙不去A社区，则乙必须去C社区，若丙、丁都去B社区，有1种情况，若丙、丁中有1人去B社区，则先在丙、丁中选出1人，安排到B社区，剩下1人安排到A或C社区，有224种情况，则不同的安排方法种数有2147种故选B.(3)(2018沈阳模拟)现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数为_答案12解析若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法，这时，共有C36种方法；若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，这时，共有326种方法综上可得，不同的考试安排方案共有6612种触类旁通使用分类加法计数原理时应注意的三方面(1)各类方法之间相互独立，每种方法都能完成这件事，且方法总数是各类方法数相加得到的(2)分类时，首先要在问题的条件之下确定一个分类标准，然后在确定的分类标准下进行分类.(3)完成这件事的任何一种方法必属于某一类，且分别属于不同类的方法都是不同的.即时训练1.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()A4种 B10种 C18种 D20种答案B解析依题意，就所剩余的一本画册进行分类计数：第一类，剩余的是一本画册，此时满足题意的赠送方法共有4种；第二类，剩余的是一本集邮册，此时满足题意的赠送方法共有C6(种)因此，满足题意的赠送方法共有4610种2将A，B，C，D，E这5名同学从左至右排成一排，则A与B相邻且A与C之间恰好有一名同学的排法有()A18 B20 C21 D22答案B解析当A，C之间为B时，看成一个整体进行排列，共有AA12种，当A，C之间不是B时，先在A，C之间插入D，E中的任意一个，然后B在A之前或之后，再将这四个人看成一个整体，与剩余一个进行排列，共有CAA8种，所以共有20种不同的排法3某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有()A16种 B36种 C42种 D60种答案D解析投资到两个城市，有CA36种方案；投资到三个城市，有A24种方案，由分类加法计数原理可得，该外商不同的投资方案有362460种故选D.考向二分步乘法计数原理例2(1)(2016全国卷)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A24 B18 C12 D9答案B解析分两步，第一步，从EF，有6条可以选择的最短路径；第二步，从FG，有3条可以选择的最短路径由分步乘法计数原理可知有6318条可以选择的最短路径故选B.(2)(2019苏州模拟)从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数字中任取2个不同的数字分别作为一个对数的底数和真数，则所产生的不同对数值的个数为()A56 B54 C53 D52答案D解析在8个数字中任取2个不同的数字共可产生8756个对数值，在这56个对数值中，log24log39，log42log93，log23log49，log32log94，则满足条件的对数值共有56452个(3)现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人都可以值多天或不值班，但相邻两天不能同一个人值班，则此值班表共有_种不同的排法答案1280解析完成一件事是安排值班表，因而需一天一天地排，用分步计数原理，分步进行：第一天有5种不同排法，第二天不能与第一天已排的人相同，所以有4种不同排法，依次类推，第三、四、五天都有4种不同排法，所以共有544441280种不同的排法触类旁通使用分步乘法计数原理应注意的问题(1)各个步骤之间相互依存，且方法总数是各个步骤的方法数相乘(2)分步时首先要在问题的条件之下确定一个分步标准，然后在确定的分步标准下进行分步.即时训练4.(2019成都模拟)两对夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外两个小孩要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法种数是()A12 B24 C36 D48答案B解析首尾要排两位爸爸有A2种排法；两个小孩排在一起，再与两位妈妈排列有AA12种排法，根据分步乘法计数原理共有21224种排法故选B.5从6个人中选4个人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市至少有一人游览，每人只游览一个城市，且这6个人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有_种答案240解析分步完成此事，第一步选1人去巴黎有4种方法，第二步选1人去伦敦有5种方法，第三步选1人去悉尼有4种方法，第四步选1人去莫斯科有3种方法，由分步乘法计数原理可知：共有4543240种6(2019南通模拟)从1到9的正整数中任意抽取2个数相加，所得的和为奇数的不同情形种数是_答案20解析根据题意，从1到9的正整数中任意抽取2个数相加，若所得的和为奇数，则取出的2个数必为1个奇数、1个偶数分两步：先在1,3,5,7,9中取出1个奇数，有5种取法，再在2,4,6,8中取出1个偶数，有4种取法则1个奇数、1个偶数的取法有5420(种)，即所得的和为奇数的不同情形种数是20.考向三两个计数原理的综合应用角度1与数字有关的问题 例3(1)(2019山东模拟)用0,1，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A243 B252 C261 D279答案B解析由分步乘法计数原理知：用0,1，9十个数字组成三位数(可有重复数字)的个数为91010900，组成没有重复数字的三位数的个数为998648，则组成有重复数字的三位数的个数为900648252.故选B.(2)(2018浙江高考)从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成_个没有重复数字的四位数(用数字作答)答案1260解析若不取0，则排列数为CCA，若取0，则排列数为CCAA，因此一共有CCACCAA1260个没有重复数字的四位数角度2与几何有关的问题例4(1)从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有()A8种 B12种 C16种 D20种答案B解析正方体共有3组对面互不相邻与正方体的每组对面相邻的面有4个，所以有3412(种)选法(2)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是 ()A60 B48 C36 D24答案B解析长方体的6个表面构成的“平行线面组”个数为6636，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”个数为6212，故符合条件的“平行线面组”的个数是361248.角度3与涂色、种植有关的问题例5(1)用5种不同颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则不同的涂色方法种数为()A120 B160 C180 D240答案C解析根据题意，因为规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，B有4种涂法，D有3种涂法，C有3种涂法，所以共有5433180种不同的涂色方法故选C.(2)(2019四川泸州模拟)如图，将一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有3种不同的花供选种，要求在同一块中种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为()A12 B24 C18 D6答案C解析四块地种2种不同的花共有CA6种不同的种植方法，四块地种3种不同的花共有2A12种不同的种植方法，所以共有61218种不同的种植方法，故选C.触类旁通利用两个计数原理解题时的三个注意点(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法(2)分类时，标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律.即时训练7.如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是()A48 B18 C24 D36答案D解析分类讨论：第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有21224个；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个所以正方体中“正交线面对”共有241236个8(2019广西南宁模拟)用4种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，同一条棱的两个顶点涂不同的颜色，则符合条件的所有涂法共有()A24种 B48种 C64种