高中数学第二章平面向量2.2从位移的合成到向量的加法2.2.2向量的减法课件2北师大版必修.ppt

2.2.2 向量的减法,【知识提炼】 1.相反向量及性质,相等,相反,-a,a,-b,-a,0,(-b),零向量,2.向量的减法及几何意义,相反向量,向量b,被减向量a,【即时小测】 1.思考下列问题: (1)任何向量与其相反向量共线吗? 提示:共线.如果该向量为零向量,其相反向量也是零向量,零向量与任何向量共线;如果该向量不是零向量,该向量与其相反向量方向相反,所以共线.,(2)向量的加法运算律适用于向量的减法吗? 提示:适用.向量的减法可以借助于相反向量转化为向量的加法运算,因此适用.,2. = ( ) 【解析】选B.,3.在ABC中, 则 = ( ) A.a-b B.b-a C.a+b D.-a-b 【解析】选D.因为,4.在ABC中,D是BC的中点,设 则d-a=_. 【解析】如图, 答案:c,5.已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O,且 则 =_.(用a,b表示) 【解析】如图, =-a-b. 答案:-a-b,【知识探究】 知识点 向量的减法 观察如图所示内容,回答下列问题: 问题1:向量的相反向量是怎样定义的?有何性质? 问题2:如何进行向量的减法运算?运算法则是什么?,【总结提升】 1.相反向量的意义 (1)在相反向量的基础上,可以通过向量加法定义向量减法. (2)为向量的“移项”提供依据.利用(-a)+a=0在向量等式的两端加上某个向量的相反向量,实现向量的“移项”.例如,由a+b=c+d可得a-c=d-b.,2.对相反向量的三点说明 (1)a与-a互为相反向量. (2)相反向量与方向相反的向量不是同一个概念,相反向量是方向相反的向量,反之不成立. (3)相反向量与相反数是两个不同的概念,相反数是两个数符号相反,绝对值相等;相反向量是方向相反,模长相等的两个向量.,3.对向量减法的理解 (1)实质:向量减法的实质是向量加法的逆运算. (2)应用:利用相反向量的定义,把其中减向量的方向变为与原方向相反,大小不变就可以把减法化为加法.在用三角形法则作两个共起点的向量减法时,只要记住“连接两向量终点,箭头指向被减向量”即可.,4.非零向量a,b的差向量的不等式,(1)当a,b不共线时,如图,作 因为在三角形中两边之和大于第三边,于是 |a-b|b|, 则a-b与a,b同向(如图), 于是|a-b|=|a|-|b|. 若|a|b|,则a-b与a,b反向(如图), 于是|a-b|=|b|-|a|.,(3)当a,b共线且反向时,a-b与a同向,与b反向.于是|a-b|=|a|+ |b|(如图). 可见,对任意两个非零向量,总有下列向量不等式成立: |a|-|b|a-b|a|+|b|.,【题型探究】 类型一 向量减法的几何意义 【典例】1.如图,在梯形ABCD中,ADBC,AC与BD交于O点,则 =_.,2.如图所示,O为ABC内一点, 求作:b+c-a.,【解题探究】1.两个向量作差的前提条件是什么? 提示:前提条件是两向量同起点. 2.题2中三个向量有何共同的特点? 提示:三个向量同起点.,【解析】1. 答案:,2.方法一:以 为邻边作OBDC,连接OD,AD, 则 方法二:作 连接AD,则,【方法技巧】利用向量减法进行几何作图的方法 (1)已知向量a,b,如图所示,作 利用向量减法的三 角形法则可得a-b,利用此方法作图时,把两个向量的起点放在一起,则 这两个向量的差是以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的 向量.,(2)利用相反向量作图,通过向量求和的平行四边形法则作出a-b.如 图所示,作,【拓展延伸】向量加法与减法的几何意义的联系 (1)如图所示,平行四边形ABCD中, 若 (2)类比|a|-|b|a+b|a|+|b|.可知|a|-|b|a-b| |a|+|b|.,【变式训练】如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c.,【解析】方法一:如图,在平面内任取一点O,作 再作 方法二:如图,在平面内任取一点O,作 再作 =c,连接OC,则 =a+b-c.,类型二 用已知向量表示其他向量 【典例】平行四边形中, 用a,b表示向量 【解题探究】如何建立被表示的向量与已知向量间的联系? 提示:由向量加法的平行四边形法则及向量减法的三角形法则可得.,【解析】由平行四边形法则得:,【延伸探究】 1.(变换条件、改变问法)平行四边形中, 当|a|=|b|时, 试判断 的关系. 【解析】由平行四边形法则得: 因为|a|=|b|,所以四边形为菱形,所以 互相垂直.,2.(改变问法)本例条件不变,当a,b满足什么条件时,|a+b|与|a-b|相 等? 【解析】由平行四边形法则知, 因为 AC,BD为平行四边形的两条对角线,所以要使|a+b|=|a-b|,需四边形是 矩形,故当a,b垂直时,|a+b|与|a-b|相等.,【方法技巧】利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意 (1)一个关键 一个关键是确定已知向量与被表示向量的转化渠道. (2)三点注意 注意相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形三向量之间的关系. 注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律. 注意在封闭图形中利用多边形法则.,【补偿训练】设O是ABC内一点,且 若以线段 OA,OB为邻边作平行四边形,第四个顶点为D,再以OC,OD为邻边作平 行四边形,其第四个顶点为H.试用a,b,c表示,【解析】由题意可知四边形OADB为平行四边形, 所以 =a+b, 所以 =c-(a+b)=c-a-b. 又四边形ODHC为平行四边形, 所以 =c+a+b, 所以 =a+b+c-b=a+c.,【延伸探究】 1.(改变问法)本题条件不变,如何用向量a,b,c表示出向量 ? 【解析】由以上可得,2.(变换条件)本题条件改为如图所示,在五边形ABCDE中,若四边形 ACDE是平行四边形,且 试用向量a,b,c表示向 量,【解析】因为四边形ACDE是平行四边形, 所以 所以,类型三 向量加法、减法的综合应用 【典例】如图,已知向量 满足|a|=1,|b|=2,且BAD= 60,求|a-b|.,【解题探究】|a-b|在图形中实际上是什么? 提示:|a-b|在图形中实际上是ABD的一条边长.,【解析】由向量减法的三角形法则可知 =a-b,在ABD中, 因为BAD=60,AD=1,AB=2, 所以ABD为直角三角形, 即ADBD,BD=ADtan60=1 = . 所以|a-b|= .,【延伸探究】本例条件变为“|a|=1,|b|=2,且|a-b|=2”,求|a+b|. 【解析】如图,在平面内任取一点A,作 由题意, 过点B作BEAD于点E, 过点C作CFAB交直线AB于点F. 因为AB=BD=2,所以AE=ED= AD= .,因为CBF=EAB,又在ABE中, 所以BF=BCcosCBF=1 = . 所以CF= 所以AF=AB+BF= 所以在RtAFC中, 即|a+b|= .,【方法技巧】向量加法与减法的综合应用时的注意点 (1)向量减法的实质是向量加法的逆运算,一般利用三角形法则求解. (2)向量减法运算在平行四边形中的应用,要明确a-b的几何意义. (3)向量减法的几何意义往往与向量加法的几何意义结合应用,在应用的过程中要结合矩形、正方形、三角形的边角性质,因此要熟悉相关的图形的性质.,【变式训练】如图,O是平行四边形ABCD的对角线AC,BD的交点, 设,【解题指南】要证明b+c-a= ,可转化为证明b+c= +a,从而利 用向量加法证明;也可以从c-a入手,利用向量减法证明.,【证明】在ABCD中, 因为 又因为 所以,【补偿训练】已知A,B,C是不共线的三点,O是ABC内一点,若 求证:O是ABC的重心.,【证明】因为 方向相反且长度相等的向量. 如图所示,以OB,OC为相邻的两边作平行四边形,则 所以A,O,D三点共线.,在平行四边形OBDC中,设OD与BC交于E,则 所以AE是 ABC的边BC上的中线,且 所以点O是ABC的重心.,易错案例 向量的减法法则的应用 【典例】(2015亳州高一检测)如图所示,已知一点O到平行四边形 ABCD的三个顶点A,B,C的向量分别为r1,r2,r3,则 =_. (用r1,r2,r3表示),【失误案例】,【错解分析】分析上面的解析过程,你知道错在哪里吗? 提示:错误的根本原因在于误用了向量的减法法则.减法口诀:起点相同,连接终点,箭头指向被减向量.即,【自我矫正】 =r3+r1-r2.