高中数学第三章三角恒等变换3.1同角三角函数的基本关系课件2北师大版必修.ppt

3.1 同角三角函数的基本关系,【知识提炼】 同角三角函数的基本关系,sin2+cos2=1,【即时小测】 1.思考下列问题: (1)同角三角函数的基本关系式对任意角都成立吗? 提示:同角三角函数的基本关系式成立的条件是使式子两边都有意义. 所以sin2+cos2=1对于任意角R都成立,而 =tan并不是 对任意角R都成立,这时k+ ,kZ.,(2)在利用平方关系求sin或cos时,其正负号应怎样确定? 提示:其正负号是由角所在的象限决定.,2.已知 则tan= ( ) A.2 B.-2 C. D.- 【解析】选B.因为 所以,3.tan135cos135=_. 【解析】原式= cos135=sin135=sin(180-45) =sin45= . 答案:,4.若sin=- ,tan0,则cos=_. 【解析】因为sin=- ,tan0,所以cos0. 所以 答案:-,5. =_. 【解析】因为 所以 答案:cos,【知识探究】 知识点 同角三角函数基本关系 观察如图所示内容,回答下列问题: 问题1:同角三角函数的基本关系是什么?它们成立的前提条件是什么? 问题2:同角三角函数的基本关系有什么作用?,【总结提升】 1.适用的前提条件 必须在等式两边均有意义的前提下才能使用,如式子tan90= 不成立.,2.对“同角”的理解 同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算 规律,这里,“同角”有两层含义:一是“角相同”,如 与 ,2与 2都是同角,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下).关 系式成立与角的表达形式无关,如,3.应用平方关系的注意点 在应用平方关系求sin或cos时,其正负号是由角所在的象限决定的,不可凭空想象.,4.同角三角函数基本关系的常用等价变形 (1)sin2=1-cos2,cos2=1-sin2. (2)sin=costan,cos= .,【题型探究】 类型一 利用同角基本关系式求值 【典例】1.若tan=2,则 的值为 ( ) A.0 B. C.1 D. 2.已知sin+sin2=1,求3cos2+cos4-2sin+1的值.,【解题探究】1.典例1中如何将所求的式子转化为关于tan的式子? 提示:将分子、分母同时除以cos. 2.典例2中由已知条件得出sin与cos2的关系是什么? 提示:由sin+sin2=1得sin=1-sin2=cos2,即sin=cos2.,【解析】1.选B.分子、分母同时除以cos(cos0)得, 2.由已知条件得sin=1-sin2=cos2,所以3cos2+cos4-2sin+1=3sin+sin2-2sin+1=sin+1-cos2+1=sin+2-sin=2.,【方法技巧】关于sin,cos的齐次式的求值问题 关于sin,cos的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin, cos的式子,且它们的次数之和相同,其求解策略为:可用原式的分子、分母的各项分别除以cosn(nN+),这样可以将原式化为关于tan的表达式,再整体代入tan=m的值,从而完成求值任务.,【变式训练】已知tan= ,且是第三象限角,求sin,cos 的值. 【解析】由 又sin2+cos2=1 由得 cos2+cos2=1,即cos2= . 又是第三象限角,所以,类型二 三角函数式的化简 【典例】1.函数f(x)= ( ) A.在 上是增加的 B.在 上是增加的,在 上是减少的 C.在 上是减少的 D.在 上是减少的,在 上是增加的 2.化简: 其中为第四象限角.,【解题探究】1.典例1中研究函数f(x)的单调性的关键是什么? 提示:将f(x)化简为tanx的形式. 2.典例2中去掉根号的方法是什么? 提示:根据平方关系去掉根号.,【解析】1.选D.在 区间上, 所以其在 上递增,在 上递减. 2.因为是第四象限角,所以cos0,所以,【延伸探究】 1.(变换条件)若将典例题2中的关于角的题设条件改为sintan0,结果如何?,【解析】由于sintan0,则sin,tan异号,所以是第二、三象限角,所以cos0,所以,2.(变换条件)若将典例2中“为第四象限角”的条件去掉,结果怎样? 【解析】,【方法技巧】三角函数式化简的三种常用技巧 (1)化切为弦,即把正切函数都化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化繁为简的目的. (2)对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的. (3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2+cos2=1,以降低函数次数,达到化简的目的.,【补偿训练】1.化简: =_. 【解题指南】把1-2sin10cos10配凑成(cos10-sin10)2即可开方. 【解析】 答案:-1,2.化简:cos4+sin2(1+cos2). 【解析】原式=cos4+sin2cos2+sin2 =cos2(cos2+sin2)+sin2=cos2+sin2=1.,类型三 三角函数式的证明 【典例】1.求证:sin4-cos4=2sin2-1. 2.求证:sin(1+tan)+cos,【解题探究】1.典例1中等式左边如何实现降幂? 提示:因式分解后利用平方关系. 2.典例2中左右两边的差异是什么?如何消除差异? 提示:差异有两点:一是函数名称,二是式子的形式.可通过切化弦来消除差异.,【证明】1.左边=(sin2+cos2)(sin2-cos2) =sin2-cos2=sin2-(1-sin2)=2sin2-1=右边, 所以sin4-cos4=2sin2-1.,2.左边= =右边,原式得证.,【延伸探究】将典例题2中的式子改为“ ”, 如何证明? 【证明】左边= =右边. 所以,【方法技巧】 1.利用同角关系证明三角恒等式常用的途径 (1)由左边推至右边,或由右边推至左边,遵循的是化繁为简的原则. (2)两边夹法,即左边=A,右边=A,则左边=右边,这里的A起着桥梁的作 用. (3)左边-右边=0,或 =1,通过作差或作商,将原式转化为一个等 价的、更便于证明的等式.,2.证明过程中的三个注意 (1)注意化繁为简,化切为弦. (2)注意公式的变式运用.如12sincos=(sincos)2 等. (3)注意为分式运算时,要把握通分的时机,不要随意通分,争取在变式化简时往同分母的方向化简.,【变式训练】求证: 【解题指南】将等号右边式子的分子分母同乘以(tan-sin),利 用tan= 和sin2+cos2=1向等号左边式子进行转化;也可利 用tan= 将等号左、右两边式子进行切化弦,结合sin2+cos2 =1达到两边式子相等的目的.,【证明】右边= =左边.原式得证.,【补偿训练】求证: 【证明】方法一:sin2+cos2=11-cos2=sin2 (1-cos)(1+cos)=sinsin,方法二: 所以,易错案例 已知三角函数值,求三角函数式的值 【典例】(2015西安高一检测)若sinA= ,且A是三角形的一个内 角,则 =_.,【失误案例】,【错解分析】分析上面的解析过程,你知道错在哪里吗? 提示:错误的根本原因是忽略讨论三角函数值的符号,实际上本题由 sinA= 及A是三角形的一个内角.说明A是锐角或钝角,那么cosA就 有正、负之分.,【自我矫正】因为sinA= 0,所以A为锐角或钝角, 当A为锐角时,cosA=