2019届高考数学大一轮复习第五章平面向量5.3平面向量的数量积课件理北师大版201805104152.ppt

5.3 平面向量的数量积,第五章 平面向量,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.向量的夹角 已知两个非零向量a和b，作 则 就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是 .,知识梳理,AOB,0，,2.平面向量的数量积,|a|b|cos ,|a|cos ,|b|cos ,|b|cos ,3.平面向量数量积的性质 设a，b都是非零向量，e是单位向量，为a与b(或e)的夹角.则 (1)eaae|a|cos . (2)ab . (3)当a与b同向时，ab|a|b|； 当a与b反向时，ab|a|b|. 特别地，aa 或|a| . (4)cos . (5)|ab| .,ab0,|a|b|,|a|2,4.平面向量数量积满足的运算律 (1)ab ； (2)(a)b (为实数)； (3)(ab)c .,ba,(ab),a(b),acbc,5.平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab ，由此得到 (1)若a(x，y)，则|a|2 或|a| . (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB| . (3)设两个非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab . (4)若a，b都是非零向量，是a与b的夹角，则cos .,x1x2y1y2,x2y2,x1x2y1y20,1.两个向量a，b的夹角为锐角ab0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角ab0且a，b不共线. 2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(ab)(ab)a2b2. (2)(ab)2a22abb2. (3)(ab)2a22abb2.,【知识拓展】,题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)向量在另一个向量方向上的射影为数量，而不是向量.( ) (2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( ) (3)由ab0可得a0或b0.( ) (4)(ab)ca(bc).( ) (5)两个向量的夹角的范围是 .( ) (6)若ab0，则a和b的夹角为锐角；若ab0，则a和b的夹角为钝角.( ),基础自测,1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编 2.已知向量a(2,1)，b(1，k)，a(2ab)0，则k_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,12,解析 2ab(4,2)(1，k)(5,2k)， 由a(2ab)0，得(2,1)(5,2k)0， 102k0，解得k12.,3.已知|a|5，|b|4，a与b的夹角120，则向量b在向量a方向上的射影为_.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,解析 由数量积的定义知，b在a方向上的射影为 |b|cos 4cos 1202.,2,题组三 易错自纠 4.设向量a(1,2)，b(m,1)，如果向量a2b与2ab平行，那么a与b 的数量积为_.,答案,1,2,3,4,5,6,解析,解析 a2b(12m,4)，2ab(2m,3)，,5.已知点A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，则向量 方向上 的射影为_.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,6.已知ABC的三边长均为1， 则abbc ac_.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,解析 a，bb，ca，c120，|a|b|c|1，,题型分类 深度剖析,解析,答案,题型一 平面向量数量积的运算,自主演练,故选C.,2.如图，已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则 的值为,解析,答案,解析 由条件可知,因为ABC是边长为1的等边三角形，,平面向量数量积的三种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cosa，b. (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2. (3)利用数量积的几何意义求解.,命题点1 求向量的模 典例 (1)(2017湘中名校联考)平面向量a与b的夹角为45，a(1,1)，|b|2，则|3ab|等于,题型二 平面向量数量积的应用,多维探究,答案,解析,故选D.,(2)(2017衡水调研)已知在直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则 的最小值为_.,答案,解析,5,解析 建立平面直角坐标系如图所示，则A(2,0)，设P(0，y)，C(0，b)，,命题点2 求向量的夹角 典例 (1)(2017山西四校联考)已知向量a，b满足(2ab)(ab)6，且 |a|2，|b|1，则a与b的夹角为_.,答案,解析,解析 (2ab)(ab)6，2a2abb26， 又|a|2，|b|1，ab1，,(2)平面向量a(1,2)，b(4,2)，cmab(mR)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m等于 A.2 B.1 C.1 D.2,答案,解析,解析 因为a(1,2)，b(4,2)， 所以cmab(m,2m)(4,2)(m4,2m2).,(1)求解平面向量模的方法 写出有关向量的坐标，利用公式|a| 即可. 当利用向量的线性运算和向量的数量积公式进行求解，|a| . (2)求平面向量的夹角的方法 定义法：cos ，注意的取值范围为0，. 坐标法：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则cos . 解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解.,跟踪训练 (1)(2017全国)已知向量a，b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2b|_.,答案,解析,解析 方法一,方法二 (数形结合法) 由|a|2b|2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，,(2)(2017山东)已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若 e2与e1e2 的夹角为60，则实数的值是_.,答案,解析,解析 由题意知|e1|e2|1，e1e20，,典例 (2017广州海珠区摸底)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(cos(AB)，sin(AB)，n(cos B，sin B)，且mn (1)求sin A的值；,题型三 平面向量与三角函数,师生共研,解答,因为0A，,解得c1.,解答,平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解. (2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.,跟踪训练 在平面直角坐标系xOy中，已知向量m ，n(sin x，cos x)，x (1)若mn，求tan x的值；,所以sin xcos x，所以tan x1.,(2)若m与n的夹角为 ，求x的值.,解答,典例 已知直线y2x上一点P的横坐标为a，直线外有两个点A(1,1)，B(3,3).求使向量 夹角为钝角的充要条件.,利用数量积求向量夹角,现场纠错,纠错心得,现场纠错,错解展示,错解展示：,现场纠错,解 错解中，cos 0包含了，,纠错心得 利用数量积的符号判断两向量夹角的范围时，不要忽视两向量共线的情况.,课时作业,1.(2017全国)设非零向量a，b满足|ab|ab|，则 A.ab B.|a|b| C.ab D.|a|b|,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,解析,解析 方法一 |ab|ab|， |ab|2|ab|2. a2b22aba2b22ab. ab0.ab. 故选A. 方法二 利用向量加法的平行四边形法则.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,从而四边形ABCD为矩形，即ABAD，故ab. 故选A.,2.(2017河北唐山一模)已知向量a，b满足a(ab)2，且|a|1，|b|2，则a与b的夹角为,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由a(ab)2，得a2ab2， 即|a|2|a|b|cosa，b12cosa，b2.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 ab，2m20，m1，则2ab(0,5)， ab(3,1)，a(ab)13215，,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又因为AB和AC为三角形的两条边，它们的长不可能为0， 所以AB与AC垂直，所以ABC为直角三角形.以A为原点， 以AC所在直线为x轴，以AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.(2017驻马店质检)若O为ABC所在平面内任一点，且满足 则ABC的形状为 A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形,所以ABC是等腰三角形，故选C.,7.(2017全国)已知向量a(1,2)，b(m,1).若向量ab与a垂直，则m_.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7,解析 a(1,2)，b(m,1)， ab(1m,21)(m1,3). 又ab与a垂直，(ab)a0， 即(m1)(1)320， 解得m7.,8.(2018银川质检)已知向量a，b的夹角为 |b|2，则 a(a2b)_.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6,解析 a(a2b)a22ab,解析 由2a(2ab)b(b2a)，得4a2b2，,9.(2017河南百校联盟联考)已知非零向量a，b满足：2a(2ab) b(b2a)，|a |3|a|，则a与b的夹角为_.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,90,则ab0，即ab，a与b的夹角为90.,10.(2017巢湖质检)已知a(，2)，b(3，2)，如果a与b的夹角为锐角， 则的取值范围是_.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 a与b的夹角为锐角，则ab0且a与b不共线，,11.(2018贵阳质检)已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61. (1)求a与b的夹角；,解 因为(2a3b)(2ab)61， 所以4|a|24ab3|b|261. 又|a|4，|b|3，所以644ab2761， 所以ab6，,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求|ab|；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 |ab|2(ab)2|a|22ab|b|2 422(6)3213，,(3)若 求ABC的面积.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12.(2017江苏)已知向量a(cos x，sin x)，b(3， )，x0，. (1)若ab，求x的值；,若cos x0，则sin x0，与sin2xcos2x1矛盾， 故cos x0.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)记f(x)ab，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,技能提升练,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,DOF为等边三角形，ODF60，,14.(2017广东七校联考)在等腰直角ABC中，ABC90，ABBC 2，M，N为AC边上的两个动点(M，N不与A，C重合)，且满足 的取值范围为_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 不妨设点M靠近点A，点N靠近点C，以等腰直角三角形ABC的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示， 则B(0,0)，A(0,2)，C(2,0)， 线段AC的方程为xy20(0x2). 设M(a,2a)，N(a1,1a)(由题意可知0a1)，,0a1，,15.(2018湖北黄冈二模)已知平面向量a，b，c满足|a|b|1， a(a2b)，(c2a)(cb)0，则|c|的最大值与最小值的和为,拓展冲刺练,答案,解析,