高考数学第十章算法初步、复数、推理与证明第四节直接证明与间接证明教案理苏教版.docx

第四节 直接证明与间接证明1直接证明直接证明中最基本的两种证明方法是综合法和分析法(1)综合法：从已知的条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止(2)分析法：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止(3)综合法与分析法的推证过程如下：综合法；分析法.2间接证明反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法小题体验1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件()(3)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”()(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾()答案：(1)(2)(3)(4)2设alg 2lg 5，bex(x0)，则a与b的大小关系为_答案：ab3下列条件：ab0，ab0，a0，b0，a0，b0，其中能使2成立的条件的个数是_解析：要使2成立，则0，即a与b同号，故均能使2成立答案：31用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”“即要证”“就要证”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立2利用反证法证明数学问题时，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的小题纠偏1.2与的大小关系是_解析：假设2，由分析法可得，要证2，只需证2，即证132134，即2.因为4240，所以2成立答案：22(2019南通调研)用反证法证明命题：“若(a1)(b1)(c1)0，则a，b，c中至少有一个大于1”时，要做的假设是“假设a，b，c_”答案：都不大于1题组练透1(2019南通模拟)已知m0，a，bR，求证：2.证明：m0，1m0，要证2，即证(amb)2(1m)(a2mb2)，即证m(a22abb2)0，即证(ab)20，而(ab)20显然成立，故2.2(易错题)已知ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：.证明：要证，即证3，也就是1，只需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需证c2a2acb2，又ABC三内角A，B，C成等差数列，故B60，由余弦定理，得b2c2a22accos 60，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立于是原等式成立谨记通法1利用分析法证明问题的思路分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证2分析法证明问题的适用范围当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法典例引领(2019徐州检测)设a，b是非负实数，求证：a3b3(a2b2)证明：因为a3b3(a2b2)a2()b2()()()5()5，当ab时，从而()5()5，得()()5()50；当ab时，从而()5()5，得()()5()50.所以a3b3(a2b2)由题悟法综合法证明问题的思路(1)分析条件选择方向分析题目的已知条件及已知与结论之间的联系，选择相关的定理、公式等，确定恰当的解题方法(2)转化条件组织过程把已知条件转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化(3)适当调整回顾反思回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取即时应用在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Asin Bsin Bsin Ccos 2B1.(1)求证：a，b，c成等差数列(2)若C，求证5a3b.证明：(1)由已知得sin Asin Bsin Bsin C2sin2B，因为sin B0，所以sin Asin C2sin B，由正弦定理，有ac2b，即a，b，c成等差数列(2)由C，c2ba及余弦定理得(2ba)2a2b2ab，即有5ab3b20，所以，即5a3b.典例引领设a0，b0，且ab.证明：(1)ab2；(2)a2a2与b2b2不可能同时成立证明：由ab，a0，b0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有ab22，即ab2.当且仅当ab时取等号(2)假设a2a2与b2b2同时成立，则由a2a2及a0，得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab1矛盾故a2a2与b2b2不可能同时成立由题悟法反证法证明问题的3步骤(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命题)成立；(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)(3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立(命题成立)即时应用等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.(1)求数列an的通项an与前n项和Sn.(2)设bn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列解：(1)设等差数列an的公差为d.由已知得所以d2，故an2n1，Snn(n)(2)证明：由(1)得bnn，假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，rN*，且互不相等)成等比数列，则bbpbr.即(q)2(p)(r)，所以(q2pr)(2qpr)0，因为p，q，rN*，所以所以2pr，(pr)20，所以pr，与pr矛盾，所以数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列一保高考，全练题型做到高考达标1(2019海门中学检测)用反证法证明命题“若a2b20，则a，b全为0”，其反设为“_”解析：命题“若a2b20，则a，b全为0”，其题设为“a2b20”，结论是“a，b全为0”，用反证法证明该命题时，其反设为“a，b不全为0”答案：a，b不全为02(2018徐州模拟)若P，Q(a0)，则P，Q的大小关系是_解析：因为P22a722a72，Q22a722a72，所以P2Q2，所以PQ.答案：PQ3(2018江阴调研)设a，b是两个实数，给出下列条件：ab2；a2b22.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件的是_(填序号)解析：中，假设a1，b1，则ab2与已知条件ab2矛盾，故假设不成立，所以a，b中至少有一个大于1，正确；中，若a2，b3，则a2b22成立，故不能推出：“a，b中至少有一个大于1”答案：4设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)单调递减，若x1x20，则f(x1)f(x2)_0(填“”“”或“”)解析：由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1x20，可知x1x2，f(x1)f(x2)f(x2)，则f(x1)f(x2)0.答案：5(2019吕四中学检测)若0a1,0b1，且ab，则在ab,2，a2b2和2ab中最大的是_解析：因为0a1,0b1，且ab，所以ab2，a2b22ab，ab(a2b2)a(1a)b(1b)0，所以ab最大答案：ab6如果abab，则a，b应满足的条件是_解析：abab，即()2()0，需满足a0，b0且ab.答案：a0，b0且ab7已知点An(n，an)为函数y图象上的点，Bn(n，bn)为函数yx图象上的点，其中nN*，设cnanbn，则cn与cn1的大小关系为_解析：由条件得cnanbnn，所以cn随n的增大而减小，所以cn1cn.答案：cn1cn8已知x，y，z是互不相等的正数，且xyz1，求证：8.证明：因为x，y，z是互不相等的正数，且xyz1，所以1，1， 1， 又x，y，z为正数，由，得8.9已知等差数列an的前n项和为Sn，a35，S864.(1)求数列an的通项公式；(2)求证：(n2，nN*)解：(1)设等差数列an的公差为d，则解得a11，d2.故所求的通项公式为an2n1.(2)证明：由(1)可知Snn2，要证原不等式成立，只需证，即证(n1)2(n1)2n22(n21)2，只需证(n21)n2(n21)2，即证3n21.而3n21在n2时恒成立，从而不等式(n2，nN*)恒成立10.如图，在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，AB2AD2CD2，E是PB的中点(1)求证：EC平面PAD；(2)求证：平面EAC平面PBC.证明：(1)作线段AB的中点F，连结EF，CF(图略)，则AFCD，AFCD，所以四边形ADCF是平行四边形，则CFAD.又EFAP，且CFEFF，所以平面CFE平面PAD.又EC平面CEF，所以EC平面PAD.(2)因为PC底面ABCD，所以PCAC.因为四边形ABCD是直角梯形，且AB2AD2CD2，所以AC，BC.所以AB2AC2BC2，所以ACBC，因为PCBCC，所以AC平面PBC，因为AC平面EAC，所以平面EAC平面PBC.二上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2019南通调研)已知数列an各项均为正数，且不是常数列(1)若数列an是等差数列，求证：2；(2)若数列an是等比数列，求证：1an,1an1,1an2不可能成等比数列证明：(1)要证2，只需证a1a324a2，数列an是等差数列，a1a32a2，只需证 a2，即证a1a3a2，数列an各项均为正数，a1a3a2成立，2.(2)假设1an,1an1,1an2成等比数列，则(1an1)2(1an)(1an2)，即12an1a1anan2(anan2)，数列an是等比数列，aanan2，2an1anan2，数列an是等差数列，数列an是常数列，这与已知相矛盾，故假设不成立，1an,1an1,1an2不可能成等比数列2若无穷数列an满足：只要apaq(p，qN*)，必有ap1aq1，则称an具有性质P.(1)若an具有性质P，且a11，a22，a43，a52，a6a7a821，求a3；(2)若无穷数列bn是等差数列，无穷数列cn是公比为正数的等比数列，b1c51，b5c181，anbncn，判断an是否具有性质P，并说明理由；(3)设bn是无穷数列，已知an1bnsin an(nN*)，求证：“对任意a1，an都具有性质P”的充要条件为“bn是常数列”解：(1)因为a5a2，所以a6a3，a7a43，a8a52，于是a6a7a8a332.又因为a6a7a821，所以a316.(2)由题意，得数列bn的公差为20，cn的公比为，所以bn120(n1)20n19，cn81n135n，anbncn20n1935n.a1a582，但a248，a6，a2a6，所以an不具有性质P.(3)证明：充分性：当bn为常数列时，an1b1sin an.对任意给定的a1，若apaq，则b1sin apb1sin aq，即ap1aq1，充分性得证必要性：假设bn不是常数列，则存在kN*，使得b1b2bkb，而