2020版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第4节二次函数与幂函数教学案理新人教版.docx

第四节二次函数与幂函数考纲传真1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数yx，yx2，yx3，yx，y的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题1二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)；顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)，顶点坐标为(h，k)；零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为f(x)的零点(2)二次函数的图象与性质函数yax2bxc(a0)yax2bxc(a0)图象定义域R值域单调性在上减，在上增在上增，在上减对称性函数的图象关于直线x对称2.幂函数(1)定义：形如yx(R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数(2)五种常见幂函数的图象与性质函数特征 性质yxyx2yx3yxyx1图象定义域RRRx|x0x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(，0)减，(0，)增增增(，0)和(0，)减公共点(1,1)常用结论1幂函数yx在第一象限的两个重要结论(1)恒过点(1,1)；(2)当x(0,1)时，越大，函数值越小；当x(1，)时，越大，函数值越大2研究二次函数yax2bxc(a0)在区间m，n(mn)上的单调性与值域时，分类讨论与m或n的大小3二次函数图象对称轴的判断方法(1)对于二次函数yf(x)对定义域内所有x，都有f(x1)f(x2)，那么函数yf(x)的图象关于x对称(2)对于二次函数yf(x)对定义域内所有x，都有f(ax)f(ax)成立的充要条件是函数yf(x)的图象关于直线xa对称(a为常数)基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)二次函数yax2bxc，xR不可能是偶函数()(2)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是.()(3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)()(4)当0时，幂函数yx在(0，)上是增函数()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)已知幂函数f(x)kx的图象过点，则k等于()A.B1C. D2Cf(x)kx是幂函数，k1，又f，k1.3.如图是yxa；yxb；yxc在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为()Aabc BabcCbca DacbD结合幂函数的图象可知bca.4(教材改编)已知函数yx2ax6在内是增函数，则a的取值范围为()Aa5 Ba5Ca5 Da5C由题意可得，即a5.5(教材改编)函数g(x)x22x(x0,3)的值域是_1,3g(x)x22x(x1)21，x0,3，当x1时，g(x)ming(1)1，又g(0)0，g(3)963，g(x)max3，即g(x)的值域为1,3幂函数的图象及性质1幂函数yf(x)的图象经过点(3，)，则f(x)是()A偶函数，且在(0，)上是增函数B偶函数，且在(0，)上是减函数C奇函数，且在(0，)上是减函数D非奇非偶函数，且在(0，)上是增函数D设幂函数f(x)x，则f(3)3，解得，则f(x)x，是非奇非偶函数，且在(0，)上是增函数2.幂函数yxm24m(mZ)的图象如图所示，则m的值为()A0B1C2 D3C由图象可知yxm24m是偶函数，且m24m0，0m4，又mZ，m1,2,3，经检验m2符合题意3若(a1) (32a) ，则实数a的取值范围是_易知函数yx的定义域为0，)，在定义域内为增函数，所以解之得1a.规律方法(1)求解与幂函数图象有关的问题，应根据幂函数在第一象限内的函数图象特征，结合其奇偶性、单调性等性质研究.(2)利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较.求二次函数的解析式【例1】(1)已知二次函数f(x)x2bxc满足f(0)3，对xR，都有f(1x)f(1x)成立，则f(x)的解析式为_(2)若函数f(x)(xa)(bx2a)(a，bR)是偶函数，且它的值域为(，4，则该函数的解析式f(x)_.(1)f(x)x22x3(2)2x24(1)f(0)3，c3.又f(1x)f(1x)，f(x)的图象关于直线x1对称，1，b2.f(x)x22x3.(2)f(x)(xa)(bx2a)bx2(2aab)x2a2，又f(x)为偶函数，且值域为(，4，f(x)2x24.规律方法求二次函数解析式的方法 已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式解法一(利用一般式)：设f(x)ax2bxc(a0)由题意得解得所求二次函数为f(x)4x24x7.法二(利用顶点式)：设f(x)a(xm)2n.f(2)f(1)，函数图象的对称轴为x.m.又根据题意函数有最大值8，n8.yf(x)a28.f(2)1，a281，解得a4，f(x)4284x24x7.法三(利用零点式)：由已知f(x)10的两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a1.又函数的最大值是8，即8，解得a4，所求函数的解析式为f(x)4x24x7.二次函数的图象与性质考法1二次函数的单调性【例2】函数f(x)ax2(a3)x1在区间1，)上是递减的，则实数a的取值范围是()A3,0) B(，3C2,0 D3,0D当a0时，f(x)3x1在1，)上递减，满足题意当a0时，f(x)的对称轴为x，由f(x)在1，)上递减知解得3a0.综上，a的取值范围为3,0母题探究若函数f(x)ax2(a3)x1的单调减区间是1，)，则a_.3由题意知f(x)必为二次函数且a0，又1，a3.考法2二次函数的最值【例3】求函数f(x)x22ax1在区间1,2上的最大值解f(x)(xa)21a2，f(x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为xa.(1)当a，即a时，f(x)maxf(2)4a5；(2)当a，即a时，f(x)maxf(1)22a.综上，f(x)max考法3二次函数中的恒成立问题【例4】(1)已知函数f(x)ax22x2，若对一切x，f(x)0都成立，则实数a的取值范围为()A. B.C4，) D(4，)(2)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_(1)B(2)(1)因为对一切x，f(x)0都成立，所以当x时，a22，又22，则实数a的取值范围为.(2)因为函数f(x)x2mx1的图象是开口向上的抛物线，要使对于任意xm，m1，都有f(x)0，则有即解得m0.所以实数m的取值范围是.规律方法1.二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min. 已知二次函数f(x)ax2bx1(a，bR)，xR.(1)若函数f(x)的最小值为f(1)0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)xk在区间3，1上恒成立，试求