全国版高考数学第八章平面解析几何8.1直线的倾斜角与斜率直线的方程课件理.pptx

第八章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、 直线的方程,【知识梳理】 1.直线的倾斜角 (1)定义:,相交,x轴,平行,重合,0,(2)范围:直线的倾斜角的取值范围是:_.,0,),2.直线的斜率,tan,3.两直线的平行、垂直与其斜率的关系,k1=k2,k1k2=-1,4.直线方程的五种形式,y-y1=k(x-x1),y=kx+b,Ax+By+C=0,(A2+B20),【特别提醒】 1.过P1(x1,y1),P2(x2,y2)的特殊直线方程 (1)若x1=x2,且y1y2时,直线垂直于x轴,方程为x=x1. (2)若x1x2,且y1=y2时,直线垂直于y轴,方程为y=y1. (3)若x1=x2=0,且y1y2时,直线即为y轴,方程为x=0. (4)若x1x2,且y1=y2=0时,直线即为x轴,方程为y=0.,2.直线系方程 (1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0 (mR且mC). (2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0 (mR).,(3)定点直线系:y-y0=k(x-x0)(x0,y0)为定点,k为参数) (4)交点直线系:A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(过直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0交点的直线,不含直线A2x+B2y+C2=0),【小题快练】 链接教材 练一练 1.(必修2P100练习T3改编)直线l:xsin30+ ycos150+1=0的斜率是 ( ) 【解析】选A.设直线l的斜率为k,则k=,2.(必修2P99练习T1(1)改编)已知直线l经过点P(-2,5), 且斜率为 .则直线l的方程为 ( ) A.3x+4y-14=0 B.3x-4y+14=0 C.4x+3y-14=0 D.4x-3y+14=0 【解析】选A.由点斜式得y-5=- (x+2),即3x+4y-14=0.,感悟考题 试一试 3.(2016哈尔滨模拟)已知ab0,bc0,则直线ax+by=c通过 ( ) A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限,【解析】选B.直线ax+by=c化为 因为ab0,bc0, 所以 所以直线通过第一、二、四象限.,4.(2016黄冈模拟)已知直线l1:x+2ay-1=0,与l2: (2a-1)x-ay-1=0平行,则a的值是 ( ) A.0或1 B.1或 C.0或 D.,【解析】选C.当a=0时,两直线的斜率都不存在, 它们的方程分别是x=1,x=-1,显然两直线是平行的. 当a0时,两直线的斜率都存在,故它们的斜率相等, 由 解得a= 综上,a=0或,考向一 直线的倾斜角与斜率 【典例1】(1)直线2xcos-y-3=0 的倾斜 角的变化范围是 ( ),(2)(2016广州模拟)若直线l过点P(-1,2),且与以 A(-2,-3),B(3,0)为端点的线段相交,则直线l的斜率 的取值范围是_.,【解题导引】(1)先由直线方程求出直线的斜率,再求直线倾斜角的范围. (2)先确定直线PA,PB的斜率,再数形结合求解.,【规范解答】(1)选B.直线2xcos-y-3=0的斜率 k=2cos. 由于 所以 因此k=2cos1, .,设直线的倾斜角为,则0, tan1, . 所以 即倾斜角的变化范围是,(2)如图,设PA与PB的倾斜角分别为,易求得直线 PA的斜率是k1=5,直线PB的斜率是k2=,当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时,它的倾斜角 由增至90,斜率的取值范围为5,+); 当直线l由PC变化到PB的位置时,它的倾斜角由90增 至,斜率的变化范围是 故斜率的取值范围是 5,+). 答案: 5,+),【一题多解】解答本题,还有如下解法: 设直线l的斜率为k, 则直线l的方程为y-2=k(x+1), 即kx-y+k+2=0.,因为A,B两点在直线的两侧或其中一点在直线l上, 所以(-2k+3+k+2)(3k-0+k+2)0, 即(k-5)(4k+2)0,所以k5或k 即直线l的斜率k的取值范围是 5,+). 答案: 5,+),【母题变式】1.本例题(2)中的条件不变,适合条件的直线的倾斜角是否有最小值与最大值? 【解析】当直线l由PA位置逆时针变化到PB位置的过程中倾斜角逐渐增大,且在PA位置取得最小值,在PB位置取得最大值.,2.若将本例题(2)中点P的坐标改为P(-3,2),则直线l的斜率的取值范围是什么?,【解析】因为P(-3,2),A(-2,-3),B(3,0),则 借助图形可知,直线l的斜率的取值范围为,【规律方法】 1.求倾斜角的取值范围的一般步骤 (1)求出斜率k=tan的取值范围. (2)利用正切函数在0,)上的图象,确定倾斜角的取值范围.,2.倾斜角与斜率的关系 当 且由0增大到 时,k由0增大到+. 当 时,k也是关于的单调函数,当在此区 间内由 增大到()时,k由-趋近于 0(k0).,3.斜率的求法 (1)定义法:若已知直线的倾斜角或的某种三角函 数值,一般根据k=tan求斜率. (2)公式法:若已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2),一般 根据斜率公式k= (x1x2)求斜率. 易错提醒:求倾斜角时要注意斜率是否存在.,【变式训练】1.(2016安阳模拟)设点P是曲线y= 上的任意一点,P点处切线倾斜角的取值 范围是 ( ),【解析】选C.因为y= 故切线斜率k 切线倾斜角的取值范围是,2.若直线l的斜率为k,倾斜角为,且 则k的取值范围是_. 【解析】当 时,k=tan 当 时,k=tan 0). 综上k 答案:,【加固训练】 1.直线xsin2-ycos2=0的倾斜角的大小是 ( ) 【解析】选D.因为直线xsin2-ycos2=0的斜率k= =tan2,所以直线的倾斜角为2.,2.已知直线l经过A(2,1),B(1,m2)两点,则直线l的倾斜角的取值范围为_.,【解析】因为直线l经过A(2,1),B(1,m2)两点, 所以kAB= =1-m2. 又因为mR,所以kAB(-,1, 其倾斜角的取值范围为 答案:,3.(2016贵阳模拟)若直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是_.,【解析】设直线l的斜率为k, 则直线方程为y-2=k(x-1), 在x轴上的截距为 令-3 答案:(-,-1),考向二 两条直线的位置关系 【典例2】(1)若直线l1:ax+2y-6=0与直线l2:x+(a-1)y +a2-1=0平行,则a=_.,(2)如图所示,直线l1的倾斜角1=30,直线l1与l2垂直, 则直线l1的斜率k1=_,直线l2的斜率k2=_.,【解题导引】(1)由两直线的斜率相等,在y轴上的截距不等即可求解. (2)由倾斜角与斜率的关系即可求出l1的斜率,再由垂直关系即可求出l2的斜率.,【规范解答】(1)直线l1:ax+2y-6=0的斜率为 在y轴上的截距为3.又因为直线l1与直线l2平行,所以直 线l2:x+(a-1)y+a2-1=0的斜率存在且等于 在y轴 上的截距为-(a+1).由两直线平行得, 且3-a-1,解得a=2或a=-1. 答案:2或-1,(2)因为1=30,则直线l1的斜率 k1=tan1=tan30= 又因为直线l1与l2垂直, 所以k1k2=-1,k2= 答案:,【一题多解】本题还可以用如下的方法解决: 由图可知,2=1+90=120,则直线l1的斜率 k1=tan1=tan30= 直线l2的斜率 k2=tan2=tan120= 答案:,【规律方法】由一般式确定两直线位置关系的方法,【变式训练】已知ABC的三个顶点为A(-3,0), B(2,1),C(-2,3),求: (1)BC所在直线的方程. (2)BC边的垂直平分线DE的方程. (3)过点A与BC平行的直线的方程.,【解析】(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(-2,3)两点, 由两点式得BC所在直线的方程为 即x+2y-4=0. (2)BC边所在直线的斜率k1= 则BC的垂直平分线DE的斜率k2=2, 由点斜式得直线DE的方程为y-2=2x,即2x-y+2=0.,(3)BC边所在直线的斜率k1= 则过点A与BC平行的直线的方程为y-0= (x+3), 整理得:x+2y+3=0.,【加固训练】 1.如果直线(m+2)x+(m2+3m+2)y=m+2与y轴平行,则m= ( ) A.-1或-2 B.-1 C.-1或2 D.-2,【解析】选B.因为直线与y轴平行, 所以m2+3m+2=0,解得m=-1或-2. 当m=-1时,直线方程为x=1; 当m=-2时,方程(m+2)x+(m2+3m+2)y=m+2不表示直线, 舍去. 综上知m=-1.,2.已知直线l的倾斜角为135,直线l1经过点A(3,2), B(a,-1),且l1与l垂直,直线l2:2x+by+1=0与直线l1平行,则a+b等于 ( ) A.-4 B.-2 C.0 D.2,【解析】选B.因为直线l的倾斜角为135,直线l1经过 点A(3,2),B(a,-1),且l1与l垂直, 所以 =1,所以a=0, 又直线l2:2x+by+1=0与直线l1平行,所以 =1, 所以b=-2,因此a+b=-2.,考向三 直线的方程 【考情快递】,【考题例析】 命题方向1:求直线方程 【典例3】(1)(2016贵阳模拟)经过点(-4,0),倾斜角 的正弦值为 的直线的方程为_. (2)(2016泸州模拟)过点P(-2,3)且在两坐标轴上的 截距相等的直线l的方程为_.,【解题导引】(1)先求出直线的斜率,再利用点斜式即可求出直线的方程.(2)对于截距相等可分为:截距都为零与截距都不为零两种情况讨论求解.,【规范解答】(1)由题意知,直线的斜率存在, 设倾斜角为,则sin= (0,), 从而cos= 则k=tan= 故所求直线的方程为y= (x+4),即x3y+4=0. 答案:x+3y+4=0或x-3y+4=0,(2)当截距不为0时,设所求直线方程为 即x+y-a=0. 因为点P(-2,3)在直线l上, 所以-2+3-a=0, 所以a=1,所求直线l的方程为x+y-1=0.,当截距为0时,设所求直线方程为y=kx, 则有3=-2k,即k= 此时直线l的方程为y= 即3x+2y=0. 综上,直线l的方程为x+y-1=0或3x+2y=0. 答案:x+y-1=0或3x+2y=0,命题方向2:与直线方程有关的最值问题 【典例4】(2016武汉模拟)过点P(4,1)作直线l分别交x,y轴正半轴于A,B两点. (1)当AOB面积最小时,求直线l的方程. (2)当|OA|+|OB|取最小值时,求直线l的方程.,【解题导引】由于直线过定点,且与x,y轴正半轴交于两点,所以直线在两坐标轴上的截距均为正数,因此可设直线方程的截距式,进而解决问题.,【规范解答】设直线l: (a0,b0), 因为直线l经过点P(4,1), 所以,所以ab16,当且仅当a=8,b=2时等号成立, 所以当a=8,b=2时,AOB的面积最小,此时直线l的 方程为 即x+4y-8=0.,(2)因为 a0,b0, 所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b) 当且仅当a=6,b=3时等号成立, 所以当|OA|+|OB|取最小值时,直线l的方程为x+2y-6=0.,【技法感悟】 1.给定条件求直线方程的思路 (1)考虑问题的特殊情况,如斜率不存在的情况,截距等于零的情况. (2)在一般情况下准确选定直线方程的形式,用待定系数法求出直线方程.,(3)重视直线方程一般形式的应用,因为它具有广泛的适用性. 2.与直线有关的最值问题的解题思路 (1)借助直线方程,用y表示x或用x表示y. (2)将问题转化成关于x(或y)的函数. (3)利用函数的单调性或基本不等式求最值.,【题组通关】 1.(2016银川模拟)过点A(2,3)且垂直于直线2x+y-5 =0的直线方程为 ( ) A.x-2y+4=0 B.2x+y-7=0 C.x-2y+3=0 D.x-2y+5=0,【解析】选A.由点斜式得所求直线方程为y-3= (x-2),即x-2y+4=0.,2.(2016唐山模拟)直线x-2y+b=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,那么b的取值范围是( ) A.-2,2 B.(-,-22,+) C.-2,0)(0,2 D.(-,+),【解析】选C.令x=0,得y= 令y=0,得x=-b, 所以所求三角形面积为 且b0, 1,所以b24, 所以b的取值范围是-2,0)(0,2.,3.(2016泰安模拟)过点M(-3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程为_.,【解析】(1)当直线过原点时,直