高数-矩阵的概念及运算.ppt

2.2 矩阵及其运算,线性代数,矩阵也是是线性代数的重要工具，矩阵理论的应用，最常见也最重要的就是解线性方程组。,本节知识点和教学要求,知识点 矩阵的概念 -矩阵的加减和倍数 矩阵的乘法 -初等变换和矩阵的秩 逆矩阵 -求解可逆矩阵方程 教学要求 熟练掌握矩阵运算的基本法则 熟练运用初等变换，进而能求矩阵的秩 熟练运用初等变换求矩阵的逆 熟练运用初等变换求解可逆矩阵方程,2.2.1 矩阵的概念,引例某商店上半年电视销售情况(单位:百台),求全年电视销售情况？,某商店下半年电视销售情况(单位:百台),简记为,定义,矩阵矩形数表 用大写黑体拉丁字母A,B,C等表示,元素 aij 数学理论中，元素可以是数，也可以是其他对象; 方阵：m=n时, 称n阶方阵或n阶矩阵; 1阶矩阵就是一个数. 向量:1 n阶矩阵行向量, n 1阶矩阵列向量.,矩阵的简记法: (aij)mn 用行向量表示 用列向量表示 这里，Aj为列向量，Bi为行向量。,矩阵的相等,矩阵的元素都一一对应相等时，两个矩阵才相等. 行数和列数不相等的矩阵绝不能相等! 行数和列数相同的矩阵称同型矩阵，即两个矩阵相等的先决条件是两者为同型矩阵。,零矩阵,矩阵O= (aij)mn的mn个元素均为零。,即,转置矩阵AT,显然, n 阶方阵的转置仍然是n 阶方阵. (AT)T =A.,系数矩阵和增广矩阵,例2. 2. 1 三元线性方程组,的 和 分别是,系数矩阵,增广矩阵,n元线性方程组的情况见教材127页。,中国古代算书九章算术中的“方程”,刘徽的九章算术中方程章是这样说的。 “程，课程也。群物总杂, 各列有数，总言其实。令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程.” 这段话的意思可以从方程 章的第一道题看出, 题目是 “今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗; 上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉, 下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何?” ( 秉捆),“置上禾三秉, 中禾二秉,下禾一秉, 实三十九斗于右方; 中、左行列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次, 亦以直除” (直除减去对应的各数，到不能再减为止). 按照这种解法，列出下列算式：,方程章的解法为,用右行上禾秉数3遍乘中行各数，得6, 9, 3, 102 减去右行对应各数，得3, 7, 2, 63，再减一次，得 0, 5, 1, 24，不能再减了 (消去一个未知数上禾每秉的实); 又用3遍乘左行各数,得3, 6, 9, 78 减去右行对应各数，得0, 4, 8, 39. 如下:,接着用中行“中禾不尽者遍乘左行而以直除”，即接着消去左右两行中的中禾每秉的实, 同现代的解一次方程组的加减消元法十分一致. 最后: 左方下禾不尽者，上为法，下为实，实即下禾之实。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。余如中禾秉数而一，即中禾之实。求上禾，亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。余如上禾秉数而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。” 法国的彪特在刘徽之后约一千三百年的算术一书中开始用不甚完整 (没有认识负数) 的加减消元法解联立一次方程组。 前面解题过程中的方框即可视为矩阵, 可见矩阵并以矩阵解一次方程组是我国古代数学家首创.,) 定义,2.2.2 矩阵的加减和倍数 1、矩阵的加法,设有两个 矩阵 那末矩阵 与 的和记作 ，规定为,只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.,例如 (即引例),说明,(交换性),(结合性),(零矩阵的单位性),2) 矩阵加法的运算规律,(保持转置性),(5)负矩阵的存在性和矩阵的减法,称为矩阵A的负矩阵。,这就是矩阵的减法,例2.2.1,设某公司的职工按男女区分统计如下,从矩阵 A B 中可了解该机械公司的职工总数情况：男性技术人员、生产工人、其他职工分别为150 、 400 、 15 人，而女性职工分别为 35 、 300 、 35 人,我们分别用矩阵 A 和 B 来列出总公司和分公司的职工人数情况，然后汇总统计用矩阵 A B 表示，即,例2.2.4 设,容易看出,有,1) 定义,2、矩阵的倍数 (即数与矩阵相乘),矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.,（设 为 矩阵， 为数）,2) 数乘矩阵的运算规律,(对加法的分配性),(保持转置性),(结合性),引例1,计算过程可表示如下:,2.2.3 矩阵的乘法,一个小学生买了12支铅笔,每支0.3元; 练习本15本,每本0.2元; 蓝墨水一瓶,价0.8元.共花去多少钱?,这是一行矩阵与一列矩阵的乘法.,能用矩阵表示计算过程吗?是否更简约?,引例 2,上例,若还有一个小学生买了8支铅笔; 练习本10本; 蓝墨水2瓶, 各样物品价格相同. 两人各自共花去多少钱?,当我们处理大量数据的时候，就需要矩阵了,引例3 某商店上半年电视经营情况,某商店上半年电视销售情况(单位:百台),简记为,(单位:千元/台),这个结果的意义是什么?,(数量矩阵价格矩阵),(单位：十万元),并把此乘积记作,设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积 是一个 矩阵 ，其中,1. 矩阵的乘法,定义,设,例2.2.6,例2.2.5,故,解,例2.2.7 设A, B分别是n1和1n矩阵, 且,计算AB和BA.,解,例如,不存在.,注意 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.,矩阵乘积的认识 定义4 设A是一个mn矩阵, B是一个ns矩阵,则A的第i个行向量与B的第j个列向量之乘积为一个数，这个数就是AB的第i行第j列的元素, 且,定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式， 叫做方阵 的行列式，记作 或,运算性质,定理2.2.1,方阵的行列式,即同阶方阵乘积的行列式等于各自行列式的乘积。,因为,所以如果有,2. 矩阵的乘法和线性方程组的关系,就有,即,一般的线性方程组,可以非常简单地表示为矩阵方程,这里,（其中 为数）;,若A是 阶矩阵，则 为A的 次幂，即 并且,3. 矩阵乘法的性质（运算律）,例 设,则,从此例还可以看到: 两个非零的矩阵, 其乘积可能等于零. 因此在矩阵等式中, 不能用消去律.,注意 矩阵不满足交换律，即：,则有,但也有例外，比如设,这属于特例，称之为“可交换矩阵”。,4. 单位矩阵如同数和乘法中的 1,单位矩阵是一个方阵,并且除左上角到右下角的对角线(称为主对角线)上的元素均为1以外,其他元素全都为0, 即,这里, A是mn阶矩阵, 上式任何矩阵左乘或右乘一个单位矩阵,其积仍为该矩阵.,可验证,解法1,例2.2.8 已知,解法 2,五、小结,矩阵运算,加法,数与矩阵相乘（矩阵的倍数）,矩阵与矩阵相乘（要逐步熟悉）,转置矩阵,方阵的行列式,（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个 矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘 不满足交换律.,（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能 进行加法运算.,注意,作业,思考题,成立的充要条件是什么?,思考题解答,答,故 成立的充要条件为,作 业( 教材第143页),2.2.4 -2.2.6,同学们再见！,九章算术卷八,解,*,例2,由此归纳出,小结,当 时，显然成立.,假设 时成立，则 时，,用数学归纳法证明,所以对于任意的 都有,定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 .,例,、转置矩阵,四、矩阵的其它运算,(已并入前面各项,其它的本书不再深入),转置矩阵的运算性质,3、对称阵与伴随矩阵,定义,设 为 阶方阵，如果满足 ，即 那末 称为对称阵.,对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等.,说明,