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文档简介
第二篇 重点专题分层练,中高档题得高分,第18练 导数与函数的单调性、极值、最值压轴大题突破练,明晰考情 1.命题角度:讨论函数的单调性、极值、最值以及利用导数求参数范围是高考的热点. 2.题目难度:偏难题.,核心考点突破练,栏目索引,模板答题规范练,考点一 利用导数研究函数的单调性,方法技巧 (1)函数单调性的判定方法:在某个区间(a,b)内,如果f(x)0,那么函数yf(x)在此区间内单调递增;如果f(x)0,那么函数yf(x)在此区间内单调递减. (2)已知函数的单调性求参数的取值范围:若可导函数f(x)在某个区间内单调递增(或递减),则可以得出函数f(x)在这个区间内f(x)0(或f(x)0),从而转化为恒成立问题来解决(注意等号成立的检验). (3)若函数yf(x)在区间(a,b)上不单调,则转化为f(x)0在(a,b)上有解.,核心考点突破练,解答,令h(x)x2ex1,则h(x)(2xx2)ex, 当x(,2)时,h(x)0;当x(2,0)时,h(x)0. 则h(x)在(,2)上单调递增,在(2,0)上单调递减.,即当x(,0)时,f(x)0, 函数f(x)在(,0)上单调递减.,证明,2.已知函数f(x)sin xx,证明:f(x)ex.,证明 原题即证exxsin x0, exxsin xexx1, 令g(x)exx1,则g(x)ex1, 当x0时,有g(x)0,g(x)单调递增; 当x0, f(x)ex.,解答,所以当x(0,k)时,f(x)0, 所以函数f(x)在(0,k)上是减函数,在(k,2)上是增函数;,所以f(x)在(0,2)上是减函数;,综上可知,当0k2时,f(x)在(0,k)上是减函数,,在(k,2)上是增函数;,当k2时,f(x)在(0,2)上是减函数;,考点二 利用函数的单调性求参数范围,方法技巧 (1)已知函数的单调性,求参数的取值范围,应用条件f(x)0(或f(x)0),x(a,b)恒成立,解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解),应注意参数的取值是f(x)不恒等于0的参数的范围. (2)若函数yf(x)在区间(a,b)上不单调,则转化为f(x)0在(a,b)上有解.,解答,若f(x)为R上的单调函数,则f(x)在R上不变号. 结合与条件a0知,ax22ax10在R上恒成立, 即4a24a4a(a1)0, 由此并结合a0知,0a1. 所以a的取值范围为(0,1.,解答,(1)若f(x)在x0处取得极值,确定a的值,并求此时曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程;,因为f(x)在x0处取得极值,所以f(0)0,即a0.,从而f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为,解答,(2)若f(x)在3,)上为减函数,求a的取值范围.,令g(x)3x2(6a)xa,,当xx1时,g(x)0,即f(x)0,故f(x)为减函数; 当x1xx2时,g(x)0,即f(x)0,故f(x)为增函数; 当xx2时,g(x)0,即f(x)0,故f(x)为减函数.,由f(x)在3,)上为减函数知,,解答,当02时,f(x)0,f(x)单调递增; 当1x2时,f(x)0,f(x)单调递减. f(x)的单调递增区间为(0,1),(2,),单调递减区间为(1,2).,解答,(2)是否存在实数a,使函数g(x)f(x)ax在(0,)上单调递增?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.,解 假设存在实数a,使g(x)f(x)ax在(0,)上是增函数,,x22x2a0在(0,)上恒成立,,g(x)0.,考点三 导数与函数的极值、最值,要点重组 (1)可导函数极值点的导数为0,但导数为0的点不一定是极值点,如函数f(x)x3,f(0)0,但x0不是极值点. (2)极值点不是一个点,而是一个数x0,当xx0时,函数取得极值,f(x)在x0处导,f(x0)0是函数f(x)在x0处取得极值的必要不充分条件. (3)一般地,在闭区间a,b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么函数yf(x)在a,b上必有最大值与最小值.函数的最值必在极值点或区间的端点处取得.,解答,7.已知函数f(x)ax2(12a)xln x. (1)当a0时,求函数f(x)的单调递增区间;,解 由函数f(x)ax2(12a)xln x,,a0,x0,,f(x)的单调递增区间为(1,).,解答,解答,8.已知函数f(x)excos xx. (1)求曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程; 解 因为f(x)excos xx, 所以f(x)ex(cos xsin x)1,f(0)0, 又因为f(0)1, 所以曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y1.,解答,解 由(1)可知,f(x)ex(cos xsin x)1, 设h(x)ex(cos xsin x)1, 则h(x)ex(cos xsin xsin xcos x)2exsin x.,即f(x)0.,证明,9.(2018江苏张家港高级中学调研)已知函数f(x)axx2xln a,a1. (1)求证:函数f(x)在(0,)上单调递增; 证明 f(x)axln a2xln a2x(ax1)ln a, 由于a1,故当x(0,)时,ln a0,ax10, 所以f(x)0, 故函数f(x)在(0,)上单调递增.,解答,(2)对任意x1,x21,1,|f(x1)f(x2)|e1恒成立,求实数a的取值范围.,解 由(1)可知,当x(,0)时,f(x)0, 故函数f(x)在(,0)上单调递减. 所以,f(x)在区间1,0上单调递减,在区间0,1上单调递增. 所以f(x)minf(0)1,f(x)maxmaxf(1),f(1),,所以f(1)f(1),于是f(x)maxf(1)a1ln a, 故对任意x1,x21,1,|f(x1)f(x2)|max|f(1)f(0)|aln a, 即aln ae1成立,,所以当a1时,h(a)0,h(a)单调递增. 又aln ae1h(e),所以1ae. 即实数a的取值范围是(1,e.,模板答题规范练,模板体验,(1)求函数f(x)的单调区间; (2)如果函数f(x)的图象不在x轴的下方,求实数a的取值范围.,审题路线图,规范解答评分标准,当a0时,f(x)0,故f(x)在(0,)上单调递减.,综上,当a0时,f(x)的单调递减区间为(0,);,(2)f(x)的图象不在x轴的下方, 即当x0时,f(x)0恒成立,,构建答题模板 第一步 求导:一般先确定函数的定义域,再求导数f(x). 第二步 转化:“判断函数单调性、求极值(最值)”常转化为“判断f(x)的符号”,“切线方程、切线的斜率(或倾斜角)、切点坐标”,常转化为“导数的几何意义”,“恒成立问题”常转化为“求最值”等. 第三步 求解:根据题意求出函数的单调区间、极值、最值等问题. 第四步 反思:单调区间不能用“”连结;范围问题的端点能否取到.,规范演练,解答,1.设函数f(x)xeaxbx,曲线yf(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y(e1)x4. (1)求a,b的值;,解 f(x)的定义域为R. f(x)eaxxeaxb(1x)eaxb.,解得a2,be.,解 由(1)知,f(x)xe2xex, 由f(x)e2x(1xex1)及e2x0知,f(x)与1xex1同号. 令g(x)1xex1,则g(x)1ex1. 所以,当x(,1)时,g(x)0,g(x)在区间(,1)上单调递减; 当x(1,)时,g(x)0,g(x)在区间(1,)上单调递增. 故g(1)1是g(x)在区间(,)上的最小值, 从而g(x)0,x(,), 综上可知,f(x)0,x(,). 故f(x)的单调递增区间为(,).,(2)求f(x)的单调区间.,解答,解答,2.已知函数f(x)ln xa2x2ax(aR).若函数f(x)在区间1,)上是减函数,求实数a的取值范围.,解 函数f(x)ln xa2x2ax的定义域为(0,),,所以f(x)在区间1,)上是增函数,不合题意; 当a0时,令f(x)0(x0),,当a0时,f(x)0(x0),,所以f(x)在区间1,)上是增函数,不合题意; 当a0时,要使函数f(x)在区间1,)上是减函数, 只需f(x)0在区间1,)上恒成立. 因为x0,所以只要2a2x2ax10在区间1,)上恒成立.,解答,(1)当a2时,求曲线yf(x)在点(3,f(3)处的切线方程;,解 由题意得f(x)x2ax, 所以当a2时,f(3)0,f(x)x22x, 所以f(3)3, 因此曲线yf(x)在点(3,f(3)处的切线方程是 y3(x3), 即3xy90.,解答,(2)设函数g(x)f(x)(xa)cos xsin x,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.,解 因为g(x)f(x)(xa)cos xsin x, 所以g(x)f(x)cos x(xa)sin xcos x x(xa)(xa)sin x(xa)(xsin x). 令h(x)xsin x,则h(x)1cos x0, 所以h(x)在R上单调递增. 因为h(0)0,所以当x0时,h(x)0; 当x0,g(x)单调递增; 当x(a,0)时,xa0,g(x)0,g(x)单调递减;,当x(0,)时,xa0,g(x)0,g(x)单调递增. 所以当xa时,g(x)取到极大值,,当x0时,g(x)取到极小值,极小值是g(0)a. 当a0时,g(x)x(xsin x), 当x(,)时,g(x)0,g(x)单调递增; 所以g(x)在(,)上单调递增,g(x)无极大值也无极小值. 当a0时,g(x)(xa)(xsin x), 当x(,0)时,xa0,g(x)单调递增; 当x(0,a)时,xa0,g(x)0,g(x)单调递减;,当x(a,)时,xa0,g(x)0,g(x)单调递增. 所以当x0时,g(x)取到极大值, 极大值是g(0)a; 当xa时,g(x)取到极小值,,综上所述,当a0时,函数g(x)在(,a)和(0,)上单调递增, 在(a,0)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,,当a0时,函数g(x)在(,)上单调递增,无极值; 当a0时,函数g(x)在(,0)
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