高斯过程(正态过程).ppt

高斯随机过程,北京航空航天大学 主讲人：张有光 电话：82314978，F806,第12讲,高斯 数学王子,他的思想深入数学、空间、大自然的奥秘.他推动了数学的进展直到下个世纪。 数学是科学的皇后 17771855 德国,拉普拉斯认为：高斯是世界上最伟大的数学家,主要贡献,数据拟合中最小二乘法 正态分布公式 和高斯曲线 代数基本定理：多项式解的存在性 对数论、复变函数、椭圆函数、超几何级数、统计数学等各个领域都有卓越的贡献 第一个成功地运用复数和复平面几何,算术探究奠定了近代数论的基础 一般曲面论开创了近代微分几何；最先领悟到存在非欧几何的数学家 现代数学分析学大师，无穷极数的一般研究，引入了高斯级数的概念，对级数的收敛性第一次作了系统的研究，从而开创了关于级数收敛性研究的新时代，开辟了通往19世纪中叶分析学的严密化道路。,在数学中：以高斯命名的有,高斯公式、高斯曲率、高斯分布、高斯方程、高斯曲线、高斯平面、高斯记号、高斯概率、高斯变换、高斯分解、高斯和、高斯素数、高斯级数、高斯系数、高斯准则、高斯原理、高斯消元法、高斯映射、高斯测度、高斯二次型、高斯多项式、高斯不等式、高斯随机过程、高斯随机变量等等.,主要内容,高斯随机过程定义 多维高斯随机变量 高斯随机过程性质,1、高斯随机过程定义,随机过程 ，在 中的 任意n个时刻 (n是正整数)上的n维 随机矢量 的联合分布 密度函数是高斯的：,2、高斯过程的重要性,广泛性 中心极限定理：大量独立的，均匀微小的随机变量总和近似地服从高斯分布 例如，无线电设备中的热噪声（前置放大器）、通信信道中噪声信号、大气湍流、宇宙噪声、维纳过程（布朗运动）等等 数学优点 二阶矩、广义平稳与狭义平稳等价，高斯随机过程通过线性系统还是高斯随机过程,二、多维高斯随机变量,一维高斯（正态）分布 二维高斯（正态）分布 n维高斯（正态）分布,1、一维高斯（正态）分布,特别地,2、二维高斯（正态）分布,特别地 r=0,标准化可得：,n维联合分布？,2、二维高斯分布的矩阵形式,2、二维高斯分布的矩阵形式,与一元高斯分布相比，可以推测n元高斯分布的形式,3、 n维高斯联合概率密度,n维高斯随机变量 均值矢量 ，且它的协方差矩阵 是正定矩阵，则概率密度函数为：,【补充】 陈省身“ 好数学”,三角形三个内角之和等于180度,三角形三个外角之和等于360度,为什么？,n边形n个内角之和等于(n-2)180度,n边形n个外角之和等于360度,3、 n维高斯联合概率密度,先看n元完全独立标准高斯随机变量,3、 n 维高斯联合概率密度,3、n维高斯联合概率密度,协方差矩阵C为对称正定的，根据矩阵论定理，存在可逆线性变换，可以对角化，也即：,雅可比：,线性变换,4、n 维高斯分布特征函数,证明：先看标准正态,于是,5、多维高斯随机矢量的边沿分布,子矢量,6、不相关独立,n维高斯随机变量 互不相关，则协方差矩阵为对角矩阵，于是,不相关独立,6、子向量的统计独立性,X为高斯分布的随机矢量，X1和X2为两个子矢量，其协方差矩阵 则X1和X2独立的充要条件,证明：,必要性： 两个随机向量独立，则第一个的分量与所有第二个随机变量的分量独立，也即 充分性：,7、线性变换,等价定义 重要,为联合正态分布的 充分必要条件,正态分布,8、n维高斯随机矢量各阶矩,一阶矩 二阶矩,三、高斯随机过程,1、高斯随机过程定义 2、广义平稳严平稳 3、复高斯随机过程,1、高斯随机过程定义,定义：随机过程 ，在 中的 任意n个时刻 (n是正整数)上的n维 随机矢量 的联合分布 密度是高斯的：,2、广义平稳严平稳,3、复高斯随机过程,如果所给定的随机过程 是复高斯随机过程，则在n个时刻对应的n个复随机变量， 构成2n维联合高斯分布。,4、高斯随机过程的特性,高斯随机过程完全由它的均值和协方差函数决定。 高斯随机过程在不同时刻 的 取值不相关和相互独立等价 高斯过程的广义平稳性意味着严格平稳性 高斯随机过程通过线性系统还是高斯的,举例说明,设X(t)是定义在a,b上的高斯随机过程， 是两个任意的非零实函数，令,证明,联合高斯的。,证明：,都是高斯随机变量,小结,n维正态分布概率密度函数与特征函数，注意归纳方法与演绎方法结