确定性信号的描述.ppt

第二章 确定性信号的描述,(Deterministic Signal Representation),信号可分为确定信号（deterministic signal）和非确定信号（non- deterministic signal）。确定信号中又有线性信号（linear）和非线性信号（nonlinear），如同态信号（homomorphic signal）、混沌信号(chaotic signal)，等。本章只涉及确定性信号的描述。需要再次强调的是，对信号特征的判定非常重要，因为这涉及到是否选用了正确的信号处理方法以及是否能得出合理的结论的问题。,第一节 信号的时域和变换域描述,(signal representation in time and transform domain),信号的描述主要讨论信号的数学模型。就信号模型而言，可分为概念模型，数学模型和物理模型。应该认为，这里的讨论具有一般性。 一、三类信号模型 (一)信号的概念模型 信号的概念模型认为信号是信息的载体，是物质或能量及其运动，是客观事物的性质或相互作用的表现形式。 (二)信号的数学模型 信号的数学模型认为，信号是一些数学方程（函数）。如果方程（函数）的自变量是时间t, 则认为是时域信号。如 y(t) = a + x(t) + z(t) (2-1) 表示自变量是时间的信号，称为时间移变信号，简称时变信号。信号的时域模型表示的是信号的幅度随时间的变化。图2-1表示时域信号 y(t) = 3 + 2COS(4t+/3) + 3SIN(8t+/6) (2-2) 的幅度随时间的变化。该信号有三种成分：直流分量3（图中未示出），余弦分量2COS(4t+/3)示于图2-1a)，正弦分量3SIN(8t+/6)示于图2-1b)，合成信号y(t)示于图2-1c)。,图2-1 时变信号（64Hz采样）,如果方程的自变量是空间坐标变量r, 则认为是空域信号。如 y(r) = a + x(r) + z(r) (2-3) 表示自变量是空间坐标r的信号，称为空间移变信号。笛卡儿空间坐标可以是一维的、二维的、三维的，这是实际的几何空间。如果自变量r也含时间，则自变量定义在四维物理空间，或称为爱因斯坦空间。 (三)信号的物理模型 信号的物理模型认为，信号是客观物质的性质、相互作用和能量的表现形式。雷鸣和闪电，语言，心脏的电活动，DNA序列都是客观存在的信号。信号能携带和传递信息。 1. 信号的变换域描述 如果方程的自变量是频率f, 则认为是频域信号。如 y(f) = a + x(f) + z(f) (2-4) y(f)表示信号的幅度（或功率）随频率的变化。频域信号一般称为信号的变换域描述。信号的频域描述只是变换域描述之一。信号的定义域称为信号空间。一般的信号空间称为希尔伯特（Hilbert）空间。频域空间又称为傅立叶（Fourier）空间，这是一种特殊的希尔伯特空间。 变换域除了傅立叶空间外，还有其他的常用变换域空间.。如自变量为s(或p)的空间称为拉普拉斯(Laplace)空间，自变量为z的空间称为Z空间。 变换域描述的概念也是相对的。如果给出的信号是在频域定义的，即给出的是信号的频域描述，则其变换域描述就是时域或空域描述。,如果y(f)对应的时域信号为白噪声，则y(f)具有连续值（计算机处理结果也离散化了，离散化以后的幅度分配将在第九章讨论）。如果y(f)对应的时域信号为周期信号，则y(f)具有离散值。图2-2示出的是（2-2）式代表的信号的时域图形描述（图2-2 a）与频域图形描述（图2-2 b）。图中可清楚看出两种频率成分：2Hz和4Hz。由图可知，对于周期信号，频域描述有特别高的数据压缩特性。,图2-2 信号的时域和频域图,注：箭头指出为2.81Hz,这里要指出的是，周期信号的频域表示一定是线状谱。就是白噪声，按傅立叶观点，经过采样、数字化和计算机数字处理后，也是线状谱。谱线间的距离由频域分辨率决定（见第九章）。分辨率之间的频率是不确定的、没有定义的。原始信号中存在于谱线间的频率成分的能量或功率的分配按与相邻谱线的加权距离来决定。 如果y(f)对应的时域信号为非周期、非随机的非线性信号，则y(f)具有宽带特征（见第四章）。图2-3为心电信号的时域及频域描述（功率谱）。图中示出了宽带谱特征。,图2-3 心电信号及其功率谱, 功率谱有宽带特征。,三、信号的连续域和离散域描述 一种观点认为，客观世界本质是离散的，即离散是绝对的，连续是相对的。连续只是离散的一种近似。在低分辨率情况下，离散就变成了连续。这样的现实例子很多，如同样是一头黑发，老年人看起来是一片，青年人看起来是一丝一丝。大到宇宙空间的星体小到基本粒子，都是离散的、可数的。组成物质的分子、原子之间都是有很大的距离的（在原子、分子线度）。场也具有量子性。可见光作为电磁波的一段也是作为光子发射的，每个光子都是有与之能量有关的质量的。在医学信号处理领域，也有不少明显是离散的信号的例子。心跳是一次一次的，因此心跳的间隔，即心动周期（heart period：HP，即R-R间期），也是离散的。HP的特征（时域的、频域的）还有重要的生理和临床意义（见第16章）。,具有基础意义的离散信号的表示法（方程和图形），如delta ()函数、单位跃阶序列、指数序列、周期序列等，可参见信号与系统、信号处理等著作。 计算机只能处理离散的、量化的信息数字序列。处理的结果也是离散的。一个数字序列可用穷举法表示，如 x = x0，x1，x2，x3，x4，xn (2-5) 也可用集合记号表示，如 x = x(n) n = 0，1，2，3，4，N-1 (2-6) 本书多采用（2-6）式的表示方法。如无特别说明，时域量用小写字母表示，如y(t)。频域量用大写表示，如Y(K)。 另一种观点认为，客观世界本质是连续的。也就是说，宇宙是物质的，物质是连续的。离散是对连续的抽样的结果，也只是一种近似。抽样要满足抽样定理，才能完全确定原始信号。理论上讲，或抽象地讲，抽样可在时域完成，也可在频域完成。但是，在计算机数字信号处理领域，很少有连续的频域信号存在，故频域抽样大都只有理论意义。,四、等间隔序列和非等间隔序列 一串数字序列的相邻元素（组成序列的成分）间的距离是任意的。这个距离有时称为抽样间隔（如果这个数字序列是从连续信号抽样而来的话）。有时这个距离是含糊的，如基因序列，是由A、T、C、G四个基本要素组成的。我们在判断不同种生物（如人和小鼠）的对应基因的相似性时，可求它们之间的相关系数（首先要对A、T、C、G进行量化） 元素间距离相等的序列称为等距（或称间隔）序列。元素间距离不相等的序列称为非等距（或称间隔）序列。信号处理理论一大套，都是对等距序列建立的。对于非等距序列是不适用的。面对客观存在的众多的非等距序列，人们要把它们纳入现有信号处理理论框架的办法是驯化它们：首先对原始非等距序列连续化：曲线拟合，然后进行等距化：重采样，得到等距序列。 连续化等距化方法的局限性：有的数据本身是离散化的，如前面提到过的DNA序列，心电信号的R-R间期序列。连续化失去了序列存在的意义和条件，不再是客观存在的事物及其性质。 另一出路是，无视序列元素之间的距离的差异，把它们近似地视为等距的，计算上以其平均距离来解释其生物学（或其他序列的物理的或化学的）意义。这个方法在计算上和保留序列的原有信息方面都是有优越性的。,第二节 信号的正交函数表示法,（Orthogonal Function Presentation for Signal）,信号的正交分解是提取信号特征和进一步对信号进行处理的基本方法。在傅立叶空间进行信号的正交分解是经典信号处理的主要内容。 一、信号的多项式描述 这里重点讨论一维信号的描述。不失一般性我们可将信号视作单变量函数，且将自变量用t表示，即视为一维时变信号。 由数学分析知道，任何连续函数可展开成台劳级数，即任何函数x(t)可用台劳多项式任意逼近： x(t) = a n t n n = 0,1,2, (2-7) 式中, 系数an = f (n)(0)/n!, f (n)(0)表函数f(t)的n阶导数在t=0 点的值，n!表示n的阶乘。,二、信号的正交函数表示法 (一) 正交函数的定义 (二)正交条件（2-8）式的证明 (三) 正交函数的完备性 (四) 信号的正交函数描述 (五) 正交多项式系数an的求法,三、信号的傅立叶级数描述 (一)傅立叶级数的正交性(orthogonarity） (二）信号的傅立叶级数描述 (三) 傅立叶展开式中傅立叶系数的求法,四、帕塞瓦尔定理(Parseval theorem) 五、复傅立叶级数 (一)信号的复傅立叶级数展开 (二)复指数的正交性质 (三)复傅立叶系数cn的求法 (四)复系数帕塞瓦尔定理,第三节 信号的离散化,（Signal Discretization）,信号的数字处理首先要对信号进行测量(取样)，测量的过程就是截断, 离散化及量化的过程。对实际信号取样的细节已在第一章讨论。这里主要讨论按傅立叶模型描述的信号的离散化问题。 一、数字角频率 二、数字频率,【例2-1】有数字信号X(n)=3.5COS(1.5n+0.6)+1.5COS(0.3n+0.1), 高端截止频率fc=10Hz, 求数字频率F；数字角频率0和采样频率fs 。对两分量来说，一周期有多少个点？若采样点N = 4对两分量各有多少个周期？ 解由于01= 1.5， 02= 0.3， 所以，该数字信号满足采样定理。由高频分量确定采样频率f1s： 数字角频率：01 = 2F1 = 1.5 故数字频率: F1 = 1.5/2 = 0.24 由F = f/ fs可得采样频率: fs = fc /F1 = 10/0.24 = 42Hz 由NT = 1/F可得一周期点数: NT = 1/F1 = 1/0.24 = 4.17点 采样周期数: N1Tc= 4/N = 0.96个周期 对低频分量：数字角频率：02 = 2F2 = 0.3 数字频率: F2 = 0.3/2= f2/ fs = 0.0477 信号频率: f2 = 0.3 fs/2 = F2 fs = 2.0Hz 每周期点数: N2T = fs/f2 = 42/2 = 21点 采样周期数: N2Tc = 4/N2 = 4/21 = 0.2周期 注:数字频率越大, 信号频率越高, 每周期样点数少, 采样周期数越多。 若已知数字频率,在确定了采样频率后,就可以确定信号各分量的频率和每周期的采样点数。在确定了截止频率后就可确定各分量的频率和采样频率。 采样时应由高频分量估计采样频率。 在采样点决定后（一般由屏的列数定），高频分量的周期数多而低频周期数分量少。,【例2】已知信号x(t) = SIN( 7t+ 0.3)+2COS(16t+ 0.1)，如果采样频率取10HZ, 求数字信号。该采样频率满足采样定理吗？ 解数字化：t n ，0 或 fF 由 F1 = f1 /fs =(7/2)/10 = 0.35 01 = 2F1 = 2*0.35 = 0.7 F2 = f2 /fs = (16/2)/10 = 0.8 02 =