样本空间随机事件1.ppt

,概率论与数理统计,主讲：秦茂玲 手机Email：,第一章 概率论的基本概念,第一节 随机试验,第二节 随机事件 样本空间,第三节 频率与概率,第四节 等可能概型（古典概型）,第五节 条件概率,小节,第六章 独立性,绪论,第一章 概率论的基本概念,在一定条件下必然发生的现象,向空中抛一物体必然落向地面； 水加热到100必然沸腾； 异性电荷相吸引； 放射性元素发生蜕变；,？,概率论是研究什么的,确定现象,在试验或观察前无法预知出现什么结果,随机现象,抛一枚硬币,结果可能正面(或反面)朝上； 向同一目标射击,各次弹着点都不相同； 某地区的日平均气温； 掷一颗骰子，可能出现的点数；,自 然 界 现 象,例,例,研究和揭示随机现象的统计规律性的数学学科,绪 论,二、 小结,一、 随机试验,第一节 随机试验,第一节 随机试验,定义一： 所谓随机试验是指具有下面三个特点的试验： （1）可以在相同的条件下重复进行。 （2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果。 （3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。 随机试验在本课中简称为试验，常用E表示。,例 ： E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。 E2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面H、反面T出现的情况。 E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。 E4：抛一枚骰子，观察出现的点数。 E5：纪录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数。 E6：在一批灯泡中任意抽取一次，测试它的寿命。 E7：纪录某地一昼夜的最高温度和最低温度。,二、小结,随机现象的特征:,1. 概率论是研究随机现象规律性的一门数学学科.,条件不能完全决定结果.,2. 随机现象是通过随机试验来研究的.,(1) 可以在相同的条件下重复地进行;,(2) 每次试验的可能结果不止一个, 并且能事 先明确试验的所有可能结果;,(3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会 出现.,随 机 试 验,一、样本空间 样本点,三、随机事件间的关系及运算,二、随机事件的概念,四、小结,第二节 样本空间、随机事件,定义 随机试验E的所有可能的结果构成的集合称为E的样本空间，记为S,或。样本空间的元素，称为样本点。 样本点用e或表示，即S=e。,1.讨论一个样本空间中的样本点的数目，有三种可能： 有限个，可数无穷个或不可数无穷个。,一、样本空间 样本点,注释:,例 ：写出E1到E7的样本空间： S1 ：H, T S2 ：HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH,TTT S3 ：0, 1, 2, 3 S4 ：1, 2, 3, 4, 5, 6 S5 ：0, 1, 2, 3, S6 ：t|t0 S7 ：(x,y)| T0xyT1,2. 同一试验 , 若试验目的不同,则对应的样 本空 间也不同.,例如 对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三次”.,若观察正面 H、反面 T 出现的情况 ,则样本空间为,若观察出现正面的次数 , 则样本空间为,说明 1. 试验不同, 对应的样本空间也不同.,说明 3. 建立样本空间,事实上就是建立随机现 象的数学模型. 因此 , 一个样本空间可以 概括许多内容大不相同的实际问题.,例如 只包含两个样本点的样本空间,它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的 模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的模 型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的 模型等.,定义二 随机试验 E 的样本空间 S的子集称为 E 的随机事件, 简称事件. 一般用大写字母A,B,C等表示。 若试验后的结果A,则称事件A发生,否则称A不发生. 例 ：1. “掷得奇数点”，“掷得点数6”，“掷得点数不超过2”等都是随机事件； 2.在“测试灯泡寿命”这一试验中，“灯泡的寿命超过500小时”是一随机事件， ；,二 、随机事件,随机事件分为两类： （1）基本的结果：即最简单的结果，可直接观察到。 （2）复合的结果：由基本的结果组合而成。,定义三 在试验中,可直接观察到的结果称为基本事件。由基本事件构成的事件称为复合事件，简称事件。,特别（1）不可能事件：在试验中不可能出现的事 件，记为。如掷色子“出现6”的事件。 （2）必然事件：在试验中必然出现的事件，记为Sor。如掷色子“出现6”的事件。,几点说明,例如 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数.,可设 A = “点数不大于4”,B = “点数为奇数” 等等.,随机事件可简称为事件, 并以大写英文字母 A, B, C, 来表示事件,(2) 随机试验、样本空间与随机事件的关系,每一个随机试验相应地有一个样本空间, 样 本空间的子集就是随机事件.,随机试验,样本空间,随机事件,随机事件,基本事件,必然事件,不可能事件,复合事件,互为对立事件,将不能再细分的试验基本结果看作样本点而样本点看作集合的元素；全部基本结果构成样本空间;而样本空间看作全集； 将随机事件表示成由样本点组成的集合;或者说，看作全集的子集； 基本事件是由一个样本点组成的单元集 必然事件看作全集,不可能事件看作空集； 将样本点(元素)属于集合表示事件发生,就可以将事件间的关系和运算归结为集合之间的关系和运算.,(3) 随机事件与集合的对应,.概率论基本事件等概念与集合论中元素等的对应关系表：,概率论 集合论 记号 样本点 元素 ei (i) 基本事件 单元素集 ei 样本空间 全集 S, () 随机事件 子集 A 不可能事件 空集 ,目的,1.包含关系 若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为BA或AB。 2 .A等于B 若AB且AB则称事件A与事件B相等，记为AB。,3. 事件 A 与 B 的并(和事件) 事件A与事件B至少有一个发生是一事件，称此事件为事件A与事件B的和事件。记为AB。 用集合表示为: AB=e|eA，或eB,三、事件间的关系及运算：,实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,因此 “产品不合格”是“长度不合格”与“直径不合格”的并.,推广：事件的和可推行至有任意有限和可列个事件的和的情况。,例 袋中有5个白球，三个黑球，从中任取3个球，令A表示“取出的全是白球”，B表示“取出的全是黑球”，C表示“取出的球颜色相同”，则C=AB.,D= A1 A2 A3,若令Ai(i=1,2,3)表示“取出的3个球中恰有i个白球”,D表示“取出的3个球中至少有一个白球”，则,4. 事件 A 与 B 的交 (积事件) 称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为AB或AB，用集合表示为AB=e|eA且eB。,推广：,5、差事件 称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差事件,记为AB,用集合表示为 A-B=e|eA，eB,例 从1,2,3,N这N个数字中，任取一数，取后放回，先后取k个数(1k N),令A=“取出的k个数中最大数不超过M”(1M N), B=“取出的k个数中最大数不超过M-1”，C=“取出的k个数中最大数为M”，则,C=A-B,且BA,6、互不相容（互斥）事件 如果A，B两事件不能同时发生，即AB ，则称事件A与事件B是互不相容事件或互斥事件。,推广 对有限个事件或可列个事件A1，A2，An ，如果对任意ij, Ai Aj,则称A1，A2，An或A1，A2，An 两两互不相容。,7、逆事件 称事件“A不发生”为事件A的逆事件，记为 。 易见A与满足：A= S,且A=。 一般地，若A，B满足：AB= S，AB称为A与B互为对立事件，此时，A为B的逆事件，B为A的逆事件，即A=B,B=。 若A，B互为对立事件，那么在每次试验中，事件A，B必有一个发生且仅有一个发生，显然 =e|eA，A-B=BA=A-AB。,注意：4.的逆不成立，即A、B互不相容，未必有A、B互为对立事件。,例 将n个人任意分配到N个房间(nN),令A表示“恰有n个房间各有一人”，B表示“第一个房间恰有两人”，从而AB=,但B不等于。,在进行事件的运算时，经常要用到下述定律，设A，B，C为事件，则有 （1）交换律：AB=BA，AB=BA （2）结合律：A(BC)=(AB)C=ABC A(BC)=(AB)C=ABC （3）分配律：A(BC)(AB)(AC) A(BC)(AB)(AC)= ABAC （4）德摩根律：,8、 事件运算的性质：,例 设A、B是两事件，证明 (1).B=ABB,且AB与B互不相容； (2). AB=AB ,且A与B互不相容.,证明: (1) ABB=(A)B=SB=B,(AB)(B)=(A)B=.,(2) AB=AABB=A(ABB)=AB,A(B)=(A)B=.,事件的关系、运算和运算法则可概括为 四种关系：包含、相等、对立、互不相容； 四种运算：和、积、差、逆； 四个运算法则：交换律、结合律、分配律、对偶律。,例1: 袋中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8的八张卡片中任取一张，设事件为“抽得一张标号不大于的卡片”，事件为“抽得一张标号为偶数的卡片”，事件为“抽得一张标号为奇数的卡片”。请用样本点的集合表示下列事件:,-,-,() 解: 将,表示集合形式为,所以 , (),;-, -,例2:A,B,C,D四个事件，用运算关系表示： （1）A,B,C,D至少有一个发生； （2）都不发生；（3）都发生； （4）A,B,C,D恰有一个发生； （5）至多一个发生。 解:（1）ABCD或 （2