向量的分解与向量的坐标运算.ppt

柯桥中学高三数学组 何利民,第五编 平面向量,5.2 向量的分解与向量的坐标运算,基础自测 1.（2008辽宁文，5）已知四边形ABCD的顶点A（0，2）、B（-1，-2）、C（3，1）, 且 = 2 则顶点D的坐标为（ ） A. B. C.(3,2) D.(1,3),A,补充、已知A（-1，-1），B（11，3）,P为AB上的一点且AP2PB，求P坐标,2.已知a=(4,2),b=(x,3),且ab，则x等于（ ） A.9 B.6 C.5 D.3,B,3.已知两点A（4，1），B（7，-3），则与 同向 的单位向量是 （ ） A. B. C. D.,A,C,4.（2008安徽理，3）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若 =（2，4）， =（1，3），则 等于 （ ） A.（-2，-4） B.（-3，-5） C.（3，5） D.（2，4）,B,补充：已知点A（1,0）、B（0,2）、C（-1, - 2），则以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为_,（0，-4）或（2，4）或（-2，0）.,5.已知向量a=（8, x），b=(x,1)，其中x0，若(a- 2b)(2a+b)，则x的值为 .,4,7、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两 点A(3,1)，B(-1,3)，若点C满足 其中 ,且 ，则点C的轨迹方程为（ ）,D,题型一 平面向量基本定理 【例1】,题型分类 深度剖析,如图所示，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同两点M、N，若 则m+n的值为 .,2,练习：若O是 内一点， ，则O是的（ ） A内心 B外心 C垂心 D重心,题型二 向量的坐标运算 【例2】,已知向量 与 的对应关系用 表示,(3)证明：对于任意向量 及常数m，n 恒有 成立.,(1)设 求向量 及 的坐标 (2)求使 （p，q为常数） 的向量 的坐标。,题型三 平行向量的坐标运算 【例3】,设两个向量,和,，其中,为实数,，则,的取值范围是（ ）,.(-6，1 .-1，6,若,.-6,1 .4,8,（07浙江高考）,方法与技巧 1.坐标的引入使向量的运算完全代数化，成了数形结合的载体，也加强了向量与解析几何的联系. 2.中点坐标公式：P1（x1,y1）,P2(x2,y2),则P1P2中点P的坐标为 在ABC中，若A（x1，y1），B（x2，y2）， C（x3，y3），则ABC的重心G的坐标为,思想方法 感悟提高,失误与防范 1.要区分点的坐标与向量的坐标的区别，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量的坐标中同样有方向与大小的信息. 2.在处理分点问题比如碰到条件“若P是线段AB的分点，且|PA|=2|PB|”时，P可能是AB的内分点，也可能是AB的外分点，即可能的结论有： 或 3.数学上的向量是自由向量，向量x=(a,b)经过平移后得到的向量的坐标仍是（a,b）.,一、选择题 1.（2009湖北文，1）若向量a=(1,1),b=(-1,1), c=(4,2),则c= （ ） A.3a+b B.3a-b C.-a+3b D.a+3b 解析 设c=xa+yb,则(4,2)=x(1,1)+y(-1,1), 4=x-y, x=3. 2=x+y. y=-1.,定时检测,B,故c=3a-b.,2.若a=(2cos ,1),b=(sin ,1), 且ab，则tan 等于 （ ） A.2 B. C.-2 D. 解析 ab，2cos 1=sin .tan =2.,A,3.已知向量a=(1,2),b=(0,1),设u=a+kb,v=2a-b，若 uv，则实数k的值为 （ ） A.-1 B. C. D.1 解析 u=（1，2）+k（0，1）=（1，2+k）， v=（2，4）-（0，1）=（2，3），又uv， 13=2（2+k），得k= .,B,4.（2009重庆文，4）已知向量a=(1,1),b=(2,x).若a+b与4b-2a平行，则实数x的值是 （ ） A.-2 B.0 C.1 D.2 解析 a+b=(3,1+x),4b-2a=(6,4x-2),a+b与4b-2a平行，则4x-2=2(1+x),x=2.,D,5.已知向量 =（1，-3）， =（2，-1）， =（m+1，m-2），若点A、B、C能构成三角形，则实数m应满足的条件是 （ ） A.m-2 B.m C.m1 D.m-1 解析 若点A、B、C不能构成三角形，则只能共线. (2，-1)-（1，-3）=(1，2)， （m+1，m-2）-（1，-3）=（m，m+1）. 假设A、B、C三点共线， 则1(m+1)-2m=0,即m=1. 若A、B、C三点能构成三角形，则m1.,C,6.已知O为原点，A、B是两定点， =a， =b，且点P关于点A的对称点为Q，点Q关于点B的对称点为R，则 等于 （ ） A.a-b B.2（a-b） C.2（b-a） D.b-a 解析 设 =a=（x1，y1）， =b=（x2，y2）， 则A（x1，y1），B（x2，y2）. 设P（x，y），则由中点坐标公式可得 Q（2x1-x,2y1-y）,R(2x2-2x1+x,2y2-2y1+y). (2x2-2x1,2y2-2y1) =2(x2,y2)-2(x1,y1),即 =2（b-a）.,C,二、填空题 7.（2009广东理，10）若平面向量a，b满足|a+b|=1,a+b平行于x轴，b=(2，-1),则a= . 解析 |a+b|=1,a+b平行于x轴，故a+b=(1,0)或（-1，0）,a=(1,0)-(2,-1)=(-1,1)或a(-1,0) -（2，-1）=（-3，1）. 8.已知向量a=(2x+1,4),b=(2-x,3)，若ab，则实数x的值等于 . 解析 由ab得3(2x+1)=4(2-x),解得x= .,(-1,1),或（-3，1）,9.已知向量集合M=a|a=（1，2）+ （3，4）， R,N=b|b=（-2，-2）+（4，5）, R， 则MN= . 解析 由(1,2)+ 1(3,4)=(-2,-2)+ 2(4,5), MN=(-2,-2).,(-2,-2),三、解答题 10.已知A(1,-2),B（2，1），C（3，2），D（-2， 3），以 ， 为一组基底来表示 . 解 =(1，3)， =(2，4)， =(-3，5)， =（-4，2）， =（-5，1）， （-3，5）+（-4，2）+（-5，1）=（-12，8).,根据平面向量基本定理，必存在唯一实数对m,n 使得 （-12，8）=m（1，3）+n（2，4）. -12=m+2n, 8=3m+4n, ,得m=32，n=-22.,11.已知A(-2，4),B（3，-1）,C（-3，-4）.设 =a， =b， =c，且 =3c， =-2b， （1）求：3a+b-3c； （2）求满足a=mb+nc的实数m,n. 解 由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). (1)3a+b-3c =3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2)mb+nc=(-6m+n,-3m+8n), -6m+n=5 m=-1 -3m+8n=-5, n=-1.,解得,12.在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边， 已知向量m=（a，b），向量n=（cos A，cos B）， 向量p= ，若mn,p2=9, 求证：ABC为等边三角形. 证明 mn，acos B=bcos A.