2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题分析及答案

2007年全国硕士入学统考数学(二)试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）当时，与等价的无穷小量是(A). (B) (C) . (D) . 【分析】 因此选（）（2）函数在上的第一类间断点是(A)0. (B) 1 (C) . (D). A 【分析】 的第一类间断点。选（A）。（3）如图,连续函数在区间3, 2，2，3上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间2，0，0，2的图形分别是直径为2的上、下半圆周。设，则下列结论正确的是（A） (B) (C) (D) C 【分析】注意，大、小半圆的面积分别为与。按定积分的几何意义知，当时，当时。 因为为奇函数为偶函数。 因此 选（C） （4）设函数在x=0处连续，下列命题错误的是(A) 若存在，则(B) 若存在，则 (C) 若存在，则存在(D) 若存在，则存. D 【分析】 设，则存在，但不存在因此（D）是错误的。选（D）。 (5) 曲线渐进线的条数为 (A) . (B) . (C) . (D) . 【分析】 只有间断点由于故为垂直渐进线.又 故时有水平渐进线又 故时有渐进线因此选(D).（6）设函数在（0，+）上具有二阶的导数，且令，则下列结论正确的是 (A) 若则必收敛。 (B) 若则必发散。(C) 若则必收敛。 (D) 若则必发散。 D 【分析】 由单调上升。只有以下三种情况：（1）在（0，），在,又时（2）对所有且（3）对，则或。如， ，又如， 但不正确由（1），（2）（C）不正确，而（D）正确。因此，选（D）。（7）二元函数在点(0,0)处可微的一个充分条件是(A) . (B) . (C) (D) . C 【分析】 按可微性定义，在(0,0)可微其中A，B是与无关的常数。题中（C）即A=B=0的情形。因此由（C）在(0,0)可微，因此选（C）。（8）设函数连续,则二次积分等于(A) (B) (C) . (D) B 【分析】 这是交换积分顺序的问题。先将二次积分表成由累次积分限确定区域D如图所示。记的反函数是，则改换积分顺序得由此知（C），（D）不正确现在的关键是求出的反函数：因此. 选（B）. （9）设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是(A) (B) (C) . (D) 【分析】因为所以向量组线性相关，故选（），至于（）、（）、（）的线性相关性可以用的方法来处理。例如由于，故知线性相关。（10）设矩阵则与(A) 合同，且相似 (B)合同但不相似 (C)不和同，但相似. (D)既不合同，也不相似 B 【分析】 根据迹相等是两矩阵相似的必要条件，易见和肯定不相似。由此可以排除（）与（）。而合同的充要条件是有相同的正、负惯性指数。为此可以用特征值来加以判断。由，矩阵的特征值为，3，0。故二次型的正惯性指数，负惯性指数，而二次型的正惯性指数也为，负惯性指数，所以A、B合同。故应选（B）。二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（11） 【分析】 （12） 曲线上对应于的点处的法线斜率为 【分析】 先求切线斜率于是因此法线斜率为 .（13） 设函数,则 【分析】 用归纳法求解.易归纳证得因此（14） 二阶常系数非齐次线性方程的通解为y【分析】 特征方程的根为非齐次项不是特征根，非齐次方程有特解代入方程得因此，通解为（15） 设是二元可微函数,则 【分析】 由多元复合函数求导法则得（16） 设矩阵，则的秩为【分析】因为可以知秩三 、解答题：1724小题，共86分。请将解答写在答题纸指定的位置，解答应写出文字说明、证明的过程或演算的步骤。 （17）（本题满分11分） 设是区间上的单调、可导函数,且满足,其中是的反函数,求.【分析与求解】对题设等式两边求导得注意于是在原式中令得由条件(18) （本题满分10分） 设D是位于曲线下方、轴上方的无界区域.（）求区域D绕轴旋转一周所成旋转体的体积;（）当为何值时，最小?并求此最小值,【分析与求解】()() (19) （本题满分11分） 求微分方程满足初始条件的特解.【分析与求解】令得.改写成这是一阶线性方程,两边乘得由初值由 (20) （本题满分10分）已知函数具有二阶导数,且,函数由方程所确定.设,求.【分析与求解】由方程求导得在求导得现由 (21) （本题满分11分） 设函数在上连续,在内具有二阶导数且存在相等的最大值,证明:存在,使得.【分析与证明】下，要证存在已知只须由题设再证（1） 由题设若取若不妨设则（2）由对分别在用罗尔定理使得再对用罗尔定理使得即 (22) （本题满分11分）设二元函数计算二重积分,其中.【分析与求解解】 D如图（1）所示,它关于轴对称,又对均为偶函数其中是D的第一象限部分.由于被积函数分块表示，将分成(如图(2): ，且于是 而 因此 (23) （本题满分11分）设线性方程组与方程有公共的解,求的值及所有的公共解【解】 将与联立，加减消元有如果则从而方程组的通解为即是方程组与的公共解。如果则从而方程组的通解为即是方程组与的公共解。(24)（本题满分11分） 设三阶实对称矩阵A的特征值是A的属于 的一个特征向量.记,其中E为3阶单位矩阵.() 验证是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值的特征向量;() 求矩阵B.【解】 （）由知那么所以是矩阵B属于特征值的特征向量。类似地，若有因此，矩阵B的特征值为由