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文档简介

2.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法运算及其几何意义,.掌握向量加法的定义,会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量; .掌握向量的加法的交换律和结合律,并会用它们进行向量计算; .通过对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的学习,增强学生的识图能力,为今后培养用数形结合的方法解题奠定基础,1.向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么?,2.用有向线段表示向量,向量的大小和方向是如何反映的?什么叫零向量和单位向量?,由于大陆和台湾没有直航,因此王先生春节回老家探亲,乘飞机要先从台北到香港,再从香港到上海,则飞机的位移是多少?,A,B,C,1.位移,2.力的合成,数的加法启发我们,从运算的角度看, 可以认为 是 的和,F可以认为是 的和,即位移、力 的合成可以看作向量的加法.,向量加法的几何运算法则,思考1:如图,某人从点A到点B,再从点B按原方向到点C,则两次位移的和可用哪个向量表示?由此可得什么结论?,思考2:如图,某人从点A到点B,再从点B按反方向到点C,则两次位移的和可用哪个向量表示?由此可得什么结论?,A,B,思考3:如图,某人从点A到点B,再从点B改变方向到点C,则两次位移的和可用哪个向量表示?由此可得什么结论?,思考4:上述分析表明,两个向量可以相加,并且两个向 量的和还是一个向量.一般地,求两个向量和的运算,叫 做向量的加法.上述求两个向量和的方法,称为向量加法 的三角形法则.对于下列两个向量 ,如何用三角形 法则求其和向量?,思考5:图1表示橡皮条在两个力F1和F2的作用下,沿MC方向伸长了EO;图2表示橡皮条在一个力F的作用下,沿相同方向伸长了相同长度.从力学的观点分析,力F与F1、F2之间的关系如何?,M,C,E,O,图1,M,E,O,图2,思考6:人在河中游泳,人的游速为 水流速为 ,那么人在水中的实际速度 与 、 之间的关系如何?,思考7:上述求两个向量和的方法,称为向量加法的平 行四边形法则.对于下列两个向量 ,如何用平行四 边形法则求其和向量?,B,A,O,C,思考8:用三角形法则和平行四边形法则求作两个向量的和向量,其作图特点分别如何?,三角形法则:首尾相接连端点; 平行四边形法则:起点相同连对角.,例1.已知向量, 求作向量,作法1:在平面内取一点O,作,作法2:在平面内取一点O,作 以 OA、 OB为邻边做平行四边形OACB,连接OC,则,O,A,B,b,a,O,A,B,C,思考1:零向量 与任一向量 可以相加吗?,规定:,思考2:若向量 为相反向量,则 等于什么?反之 成立吗?,为相反向量,向量加法的代数运算性质,思考3:若向量 同向,则向量 的方向如何?若向 量 反向,则向量 的方向如何?,的方向与长度大的向量同向,同向,思考4:考察下列各图, 的大小关系如何? 的大小关系如何?,A,B,C,当且仅当 同向时取等号;,当且仅当 反向时取等号.,思考5:实数的加法运算满足交换律,即对任意 R, 都有 那么向量的加法也满足交换律吗?如何检 验?,B,C,A,O,思考6:实数的加法运算满足结合律,即对任意a,b,cR,都有(ab)c=a(bc).那么向量的加法也满足结合律吗?如何检验?,C,B,A,O,例2 长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输.如下图所示,一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h的速度向垂直对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保留两个有效数字); (2)求船实际航行速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示,精确到度).,解:(1)如图所示, 表示船速, 表

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