河南省顶级名校2019届高三数学质量测评试题理（含解析）.docx

河南省顶级名校2019届高三年级质量测评试卷理科数学一、选择题（共12题,每题5分,共60分,每道题有且只有一个选项是正确的）1.已知集合，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：首先求得集合A和集合B，然后结合交集的定义求解交集即可求得最终结果.详解：求解指数不等式可得：，求解绝对值不等式可得：，结合交集的定义可得：.本题选择C选项.点睛：本题主要考查集合的表示方法，交集的定义及其运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.已知复数在复平面内对应的点在第二象限，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由题意得到关于m的不等式组，求解不等式组确定m的范围，然后结合题意即可求得最终结果.详解：由题意可得：，即且，故，则：，由复数的性质.本题选择C选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的综合运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.下列命题中正确命题的个数是（ ）命题“函数的最小值不为”是假命题；“”是“”的必要不充分条件;若为假命题，则， 均为假命题;若命题： ， ，则： ， ；A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用均值不等式判断的正误，利用逆否命题同真同假判断的正误，利用为假命题可知p，q至少有一个假命题判断的正误，利用特称命题的否定为全称命题判断的正误.【详解】对于，设t，t3，yt在3，+）上单调递增，yt的最小值为，函数y（xR）的最小值不为2，是真命题，故错误；对于，因为“” 是“” 的必要不充分条件，根据逆否命题同真同假，可知正确；对于，若为假命题，则， 至少有一个为假命题，故错误；对于，若命题： ， ，则： ， 是真命题，故选：B【点睛】本题利用命题真假的判断考查了简易逻辑与函数、基本不等式的应用问题，属于中档题4.已知双曲线的一条渐近线与直线的夹角为，若以双曲线的实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为，则双曲线的标准方程为A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为双曲线的一条渐近线与直线的夹角为，所以双曲线的渐近线方程为，所以因为以双曲线的实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为，所以，即由，解得，所以双曲线的标准方程为故选A5.记为数列的前项和“任意正整数，均有”是“为递增数列”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：“an0”“数列Sn是递增数列”，“数列Sn是递增数列”不能推出“an0”，由此知“an0”是“数列Sn是递增数列”的充分不必要条件详解：“an0”“数列Sn是递增数列”，所以“an0”是“数列Sn是递增数列”的充分条件.如数列为-1,0,1,2,3,4，显然数列Sn是递增数列，但是不一定大于零，还有可能小于等于零，所以“数列Sn是递增数列”不能推出“an0”，“an0”是“数列Sn是递增数列”的不必要条件“an0”是“数列Sn是递增数列”的充分不必要条件故答案为：A点睛：说明一个命题是真命题，必须证明才严谨.要说明一个命题是一个假命题，只要举一个反例即可.6.函数的部分图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：分析函数的奇偶性，以及是函数值的符号，利用排除法即可得到答案.详解：由题意，函数满足，所以函数为奇函数，图象关于轴对称，排除；又由当时，函数，排除，故选A.7.已知圆与直线相切于点，点同时从点出发，沿着直线向右、沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当运动到如图所示的点时，点也停止运动，连接（如图），则阴影部分面积的大小关系是（ ）A. B. C. D. 先，再，最后【答案】A【解析】分析：由题意分别求得扇形的面积和三角形的面积，然后结合几何关系即可确定的大小关系.详解：直线与圆O相切，则OAAP，因为弧AQ的长与线段AP的长相等，故，即，.本题选择A选项.点睛：本题主要考查扇形面积的计算，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.设，则的大小关系为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意得；由于，令，则，区间上单调递减，即，因此，故，所以，可得；由于，令，则，区间上单调递增，即，故。综上可得选B9.我国古代九章算术将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童.右图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍童的表面积为A. B. 40 C. D. 【答案】D【解析】分析：根据三视图，还原几何体的直观图可得，该几何体的表面由两个全等的矩形，与四个全等的等腰梯形组成，根据三视图所给数据，求出矩形与梯形的面积，求和即可.详解：由三视图可知，该刍童的直观图是如图所示的六面体，图中正方体棱长为， 分别是所在正方体棱的四等分点，其表面由两个全等的矩形，与四个全等的等腰梯形组成，矩形面积为，梯形的上下底分别为，梯形的高为，梯形面积为，所以该刍童的表面积为 ，故选D. 点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.10.已知为正常数，,若存在，满足，则实数的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据题意分析出函数关于直线 对称，再利用对称性求出的表达式，再求的范围.【详解】设，则其关于直线对称的曲线为 所以函数的图象关于直线 对称，且在上为增函数因为，所以 又因为 ，所以故选D.【点睛】本题考查函数的对称性判断、三角恒等变换，属于中档题.函数对称性的判断方法：（1）若函数在定义域上，满足，则函数关于直线对称；（2）若函数在定义域上，满足，则函数关于点(中心对称；11.设函数,，,若存在实数,使得集合中恰好有个元素,则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由集合AB中恰好有5个元素，即椭圆内包括函数f（x）图象的5个最值点；可得（，1）在椭圆之外，而（）必满足椭圆上或者内，代入求解可得的取值范围【详解】解：由题意，集合AB中恰好有5个元素，即椭圆内包括函数f（x）图象的5个最值点；顶点（，1）在椭圆上，而顶点（）必满足在椭圆内，把顶点的坐标代入，可得，解得：，由T，解得：故选：A【点睛】本题考查了三角函数的图象与应用问题，也考查了椭圆的方程与应用问题，是中档题12.已知抛物线，过抛物线上一点作两条直线分别与抛物线相交于，两点，连接，若直线，与坐标轴都不垂直，且它们的斜率满足，点，则直线的斜率为A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意，因为点在抛物线上，所以，故直线的方程为，与抛物线方程联立消去x，得，其解为和，则，同理可得，则由题意，得，化简得, ，直线的斜率为，故选D二、填空题（共4题,每题5分,共20分）13.非零向量满足：,则与夹角的大小为_【答案】135或者【解析】【分析】根据题意，设，则，结合题意分析可得OAB为等腰直角三角形，结合向量夹角的定义分析可得答案【详解】解：根据题意，设，则，若|，即|，且，则OAB为等腰直角三角形，则与的夹角为18045135，故答案为：135【点睛】本题考查向量数量积的计算，关键是掌握向量数量积的计算公式14.已知，其中，为自然对数的底数，则在的展开式中的系数是_【答案】80【解析】【分析】根据定积分的运算，求得n的值，利用二项式定理的展开式展开，分析，即可求得答案.【详解】记，图像关于中心对称，由exdxexe1，5，则（x2）5（x）25（x）5（x）4（2）1（x）3（2）2（x）2（2）3（x）1（2）4（x）0（2）5，则展开式中x2，则出现在（x）4（2）1及（x）2（2）3，（2）x3（）1160，（2）3x2（）080，在的展开式中x2的系数80，故答案为：80【点睛】本题考查定积分的运算，二项式定理的应用，考查转化思想，属于中档题15.已知的内角对的边分别为，当内角最大时，的面积等于_【答案】【解析】【分析】已知等式利用正弦定理化简，得到关系式，利用余弦定理表示出cosC，把得出关系式整理后代入，利用基本不等式求出cosC的最小值即可求出三角形的面积【详解】解：已知等式利用正弦定理化简得：ab2c，两边平方得：（ab）24c2，即a2+2ab+2b24c2，4a2+4b24c23a2+2b22ab，即a2+b2c2，cosC（2）（22）（22），当且仅当，即时取等号，此时a，则cosC的最小值为，此时C最大，此时sinC，则ABC的面积S故答案为：【点睛】本题主要考查正弦、余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键，综合性较强，有一定的难度16.已知三棱锥的底面是边长为3的正三角形，且，.则三棱锥的体积为_【答案】【解析】【分析】将三棱锥翻转一下，由斜线长相等，射影长相等可得B在平面PAC内的射影H为直角三角形PAC的外心，故H为PAC斜边AP的中点，且PH平面PAC，即HP为三棱锥的高，从而可求三棱锥PABC的体积【详解】解：将三棱锥翻转一下，如图，由斜线长相等，射影长相等可得B在平面PAC内的射影H为直角三角形PAC的外心，故H为PAC斜边AP的中点，且BH平面PAC，即HB为三棱锥的高，由勾股定理得BH，该三棱锥PABC的体积为34故答案为：【点睛】本题考查三棱锥PABC的体积，考查学生分析解决问题的能力，将三棱锥翻转一下是关键三、解答题（共6题,需要写明必要的文字说明、计算过程）17.已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，.（）求和的通项公式；（）求数列的前n项和.【答案】（）. .（）.【解析】试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程求出等差数列首项和公差及等比数列的公比，写出等差数列和等比孰劣的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要求计算要准确.试题解析：（）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知，得，而，所以.又因为，解得.所以，.由，可得.由，可得，联立，解得，由此可得.所以，的通项公式为，的通项公式为.（）解：设数列的前项和为，由，有，上述两式相减，得.得.所以，数列的前项和为.【考点】等差数列、等比数列、数列求和【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法和分组求和法等，本题考查错位相减法求和.18.某种常见疾病可分为、两种类型.为了解该疾病类型与地域、初次患该疾病的年龄（以下简称初次患病年龄）的关系，在甲、乙两个地区随机抽取100名患者调查其疾病类型及初次患病年龄，得到如下数据：（1）从型疾病患者中随机抽取1人，估计其初次患病年龄小于40岁的概率；（2）记“初次患病年龄在的患者为“低龄患者”，初次患病年龄在的患者为“高龄患者”，根据表中数据，解决以下问题：将以下两个列联表补充完整，并判断“地域”“初次患病年龄”这两个变量中哪个变量与该疾病的类型有关联的可能性更大.（直接写出结论，不必说明理由）（ii）记（i）中与该疾病的类型有关联的可能性更大的变量为，问：是否有99.9%的把握认为“该疾病的类型与有关？”附：【答案】（1）；（2）见解析【解析】试题分析：（1）依题意，从型疾病患者中随机抽取人，利用古典概型及概率的计算公式，即可求解其初次患病年龄小于岁的概率；（2）（i）根据题设中的数据，填写表一、表二，即可作出相应的判断；（ii）根据表二的数据，利用的计算公式，求解的值，根据附表，即可判读有 的把握认为该疾病类型与初次患病年龄有关.试题解析：（1）依题意，从型疾病患者中随机抽取1人，其初次患病年龄小于40岁的概率估计值为.（2）（i）填写结果如下：表一： 疾病类型患者所在地域 型型合计甲地233760乙地172340合计4060100表二： 疾病类型初次患病年龄 型型合计低龄251540高龄154560合计4060100由表中数据可以判断，“初次患病年龄”与该疾病类型有关联的可能性更大.（ii）根据表二的数据可得：，.则.由于，故有99.9%的把握认为该疾病类型与初次患病年龄有关19.如图，四边形为梯形， 点在线段上，满足,且，现将沿翻折到位置，使得（）证明：;（）求直线与面所成角的正弦值【答案】（）见解析.（）.【解析】分析：（）先证明，即证.( )利用空间向量法求直线与面所成角的正弦值详解：（）连，所以所以BD=因为 又 从而 所以 （） 由，如图建系，则设平面的法向量为，由，可取 ， 20.已知椭圆的左、右焦点分别为、，圆经过椭圆的两个焦点和两个顶点，点在椭圆上，且，.（）求椭圆的方程和点的坐标；（）过点的直线与圆相交于、两点，过点与垂直的直线与椭圆相交于另一点，求的面积的取值范围.【答案】()椭圆的方程为， 点P的坐标为.().【解析】分析：（I）由题意计算可得， ， 则椭圆的方程为， 结合几何性质可得点P的坐标为. （II）由题意可知直线l2的斜率存在，设l2的方程为，与椭圆方程联立可得， 由弦长公式可得； 结合几何关系和勾股定理可得， 则面积函数， 换元求解函数的值域可得ABC的面积的取值范围是详解：（I）设，可知圆经过椭圆焦点和上下顶点，得，由题意知，得， 由，得， 所以椭圆的方程为， 点P的坐标为. （II）由过点P的直线l2与椭圆相交于两点，知直线l2的斜率存在，设l2的方程为，由题意可知，联立椭圆方程，得， 设，则，得，所以； 由直线l1与l2垂直，可设l1的方程为，即圆心到l1的距离，又圆的半径，所以， 由即，得， ， 设，则，当且仅当即时，取“”，所以ABC的面积的取值范围是 点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式21.已知函数.（1）当时，求证：；（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）若，证明.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.【解析】分析：（1）先利用导数求函数，再证明. （2）把不等式恒成立转化为0，再利用导数求即得a的取值范围. (3)利用第（2）问的结论和分析法证明.详解：（1）当时，当时，；当时，故在上单调递减，在上单调递增，. （2），令，则.当时，在上，单调递增，即，在上为增函数，当时满足条件. 当时，令，解得，在上，单调递减，当时，有，即 在上为减函数，不合题意. 综上，实数的取值范围为. （3）由（2）得，当，时，即=，欲证不等式，只需证明，只需证明，只需证 ，设，则.当时，恒成立，且， 恒