河南省名校联考2019届高三数学联考试题（四）文（含解析）.docx

20182019学年高三名校联考（四）数学（文科）考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求得，然后求两个集合的交集.【详解】依题意，故，故选B.【点睛】本小题主要考查补集、交集的概念和运算，属于基础题.2.若复数满足，则（ ）A. 1B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】化简为的形式，再求.【详解】依题意，故，故选C.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题. 求解与复数概念相关问题的技巧：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即的形式，再根据题意求解.3.如图给出的是某小区居民一段时间内访问网站的比例图，则下列选项中不超过的为（ ）A. 腾讯与百度的访问量所占比例之和B. 网易与搜狗的访问量所占比例之和C. 淘宝与论坛的访问量所占比例之和D. 新浪与小说的访问量所占比例之和【答案】B【解析】【分析】根据图表，分析出两个网站访问量不超过的选项.【详解】由于网易与搜狗的访问量所占比例之和为，不超过，故选B.【点睛】本小题主要考查图表分析，考查分析处理数据的能力，属于基础题.4.若函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求得切点坐标，然后利用导数求得斜率，由此求得切线方程.【详解】依题意，由点斜式得，即切线方程为，故选A.【点睛】本小题主要考查切线方程的求法，考查导数的运算，属于基础题.5.将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，所得函数的单调递减区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求得变换后函数的解析，然后求得函数的单调减区间.【详解】图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，变为，由，解得，故选D.【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数单调减区间的求法，属于基础题.6.若双曲线：的两条渐近线分别与直线：交于，两点，且（为坐标原点）的面积为4，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求得渐近线的方程，令求得交点的坐标，利用三角形的面积建立方程，求得的值，进而求得离心率.【详解】双曲线的渐近线方程为，令，解得，不妨设，所以，所以，所以，故选B.【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查两条直线交点的坐标，考查三角形的面积公式和双曲线离心率的求法，属于中档题.7.函数的零点个数为（ ）A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】B【解析】【分析】令，转化为两个函数图像的交点个数来求零点个数.【详解】令得，画出的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有两个交点，也即有两个零点，故选B.【点睛】本小题主要考查函数零点个数的分析方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.8.已知抛物线：与圆：交于，四点.若轴，且线段恰为圆的一条直径，则点的横坐标为（ ）A. B. 3C. D. 6【答案】A【解析】【分析】求出圆心和半径，根据 轴和线段恰为圆的一条直径得到的坐标，代入抛物线方程求得的值，设出点的坐标，利用是圆的直径，所对圆周角为直角，即，由此求得点的横坐标.【详解】圆：可化为，故圆心为，半径为，由于 轴和线段恰为圆的一条直径，故.将点坐标代入抛物线方程得，故，抛物线方程为.设，由于是圆的直径，所对圆周角为直角，即,也即，所以，化简得，解得，故点横坐标为.故选A.【点睛】本小题主要考查圆和抛物线的位置关系，考查抛物线的对称性，考查抛物线方程的求法，考查圆的几何性质，考查圆一般方程化为标准方程，考查圆的直径所对的圆周为直角，考查向量的数量积运算，运算量较大，属于中档题.9.陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的帝京景物略一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据三视图可知，该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成，由此计算出陀螺的表面积.【详解】最上面圆锥的母线长为，底面周长为，侧面积为，下面圆锥的母线长为，底面周长为，侧面积为，没被挡住的部分面积为，中间圆柱的侧面积为.故表面积为，故选C.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查三视图还原为原图，考查几何体表面积的计算，属于基础题.10.若，则实数，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先判断出大于，而小于，得到最小为.然后利用对数的运算和性质，比较两个数的大小.【详解】，而，故是最小的.由于，即，即，故选D.【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小，考查对数函数的性质，考查比较大小的方法，属于中档题.11.运行如图所示的程序框图，若输出的的值为1011，则判断框中可以填（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用程序框图的功能，进行模拟计算即可【详解】程序的功能是计算S1sin+3sin+5sin+13+57+9+，则10111+505213+57+9+则第1011个奇数为2101112021不成立，第1012个奇数为2101212023成立，故条件为i2022？，故选：C【点睛】本题主要考查程序框图的应用，利用程序框图的功能是解决本题的关键，属于基础题.12.在正方体中，点平面，点是线段的中点，若，则当的面积取得最小值时，（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】取的中点，连接，证明点在直线上，当时，三角形的面积取得最小值，进而求得的值.【详解】取的中点，连接，设.作出图像如下图所示.易得，所以平面，所以.易得，所以平面，所以.故平面，所以在直线上，可使得.由于，所以最短时三角形的面积取得最小值，此时点在点的位置.设正方体棱长为，故.，所以，所以，故 ，故选D.【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查三角形面积的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，难度较大，属于难题.本题解题关键点在于找到点所在的位置，主要通过证明线面垂直来找到.二、填空题.13.若向量，且，则实数_【答案】【解析】【分析】由向量垂直与向量数量积的关系可得，若，得，解x的值即可【详解】由，得 且，得 ，解得.故答案为：【点睛】本题考查了向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量垂直与向量数量积的关系，属于基础题14.若，满足约束条件，则的最大值为_【答案】2【解析】【分析】画出可行域，通过向下平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值，且最大值为.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.15.叶子标本模型是一类常见的图形.绘制叶子标本模型的过程一般分为两步：首先取正方形的两个顶点，分别以，为圆心，线段的长度为半径作圆，得到图（1）所示图形，再将正方形外部的圆弧隐藏可以得到图（2）所示的叶子标本模型.若往正方形中任意投掷一点，则该点落在叶子上（图（2）中阴影区域）的概率为_【答案】【解析】【分析】阴影部分的面积等于两个四分之一圆的面积减去正方形的面积，利用几何概型概率计算公式求得所求概率.【详解】设正方形边长为，阴影部分的面积等于两个四分之一圆的面积减去正方形的面积，即阴影部分面积为，故所求概率为.【点睛】本小题主要考查曲边图形面积的求法，考查几何概型概率计算公式，属于基础题.16.已知的内角，的对边分别为，且满足.若，则当取得最小值时，的外接圆的半径为_【答案】【解析】【分析】根据正弦定理求得的关系，利用余弦定理和基本不等式求得的最小值，根据正弦定理求得三角形外接圆的半径.【详解】由正弦定理得，由余弦定理得 ，即当时，取得最小值为，此时，设外接圆半径为，由正弦定理得，解得.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理进行边角互化，考查利用基本不等式求最小值，考查利用正弦定理求外接圆的半径，考查利用同角三角函数的基本关系式求三角函数值，考查运算求解，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.三、解答题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知等差数列的前项和为，且，.（）证明：是等差数列；（）设，求数列的前项和.【答案】（）详见解析；（）.【解析】【分析】（）设等差数列的公差为， ，由，得，求出，利用定义法即可判断；（II）由得，由数列的乘公比错位相减法求和即可.【详解】设等差数列的公差为，则，解得.所以，解得，所以.所以.所以.因为当时，,当时，,故是首项为，公差为的等差数列.（II）由可知，故.故. 两式相减可得 .故.【点睛】本题考查了利用定义法证明数列是等差数列，也考查了利用乘公比错位相减法求数列和，考查了学生的计算能力，属于中档题.18.如图，在四棱锥中，.（）求证：；（）若，点为的中点，求平面切割三棱锥得到的上下两个几何体的体积之比.【答案】（）见证明（）【解析】【分析】（）取的中点，连接，.利用等腰三角形证得，由此证得平面，从而证得.（）取的中点，连接，利用线线平行得到点，共面.计算出的长，证明平面， 根据，计算出所求的体积比.【详解】（）取的中点，连接，.，.，.，平面，平面，平面.平面，.（）取的中点，连接，易知，故点，共面.过作于.设，故，解得.又，平面.，. ，.【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查四点共面的证明，考查几何体体积的计算，考查空间想象能力，属于中档题.19.2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考如何做一个文明的乘客.全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范.社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图.（1）求得分在上的频率；（2）求社区居民问卷调查的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（3）由于部分居民认为此项学习不具有必要性，社区委员会对社区居民的学习态度作调查，所得结果统计如下：（表中数据单位：人）认为此项学习十分必要认为此项学习不必要50岁以上40060050岁及50岁以下800200根据上述数据，计算是否有的把握认为居民的学习态度与年龄相关.附：，其中.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）0.3（2）70.5分 （3）见解析【解析】【分析】（1）根据频率之和为求得上的频率.（2）利用中点值乘以频率，然后相加，求得平均分的估计值.（3）计算出的值，由此判断出有的把握认为居民的学习态度与年龄相关.【详解】（1）依题意，所求频率.（2）由（1）可知各组的中间值及对应的频率如下表：中间值455565758595频率0.10.150.20.30.150.1 ，即问卷调查的平均得分的估计值为70.5分.（3）依题意，.因为，故有的把握认为居民的学习态度与年龄相关.【点睛】本小题主要考查频率分布直方图，考查频率分布直方图估计平均数，考查列联表独立性检验，属于中档题.20.已知椭圆：，点，.（）若直线与椭圆交于，两点，且为线段的中点，求直线的斜率；（）若直线：与椭圆交于，两点，求的面积的最大值.【答案】（）-1；（）【解析】【分析】（I）因为在椭圆上，设，且为线段的中点，得，由点差法即可计算直线的斜率；（II）联立，得，由可得，,由弦长公式可得点到直线的距离由计算即可.【详解】（I）设，故，将两式相减，可得，即因为为线段的中点，所以得即故直线的斜率（II）联立可得，由可得，解得.设由根与系数的关系可得 又点到直线的距离 当且仅当，即时取等号.故的面积的最大值为.【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离，也考查了点差法在弦中点的应用，计算能力和均值不等式，属于中档题.21.已知函数.（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）设，求证：.【答案】（1）（2）见证明【解析】【分析】（1）由于函数在上单调递增，故令导函数恒大于零，分离常数得到，利用导数求得的最小值，由此求得的取值范围.（2）令，则.将原不等式等价转化为，构造函数，利用导数证得，由此证得不等式成立.【详解】（1）由题可知.令，即，当时有.令，则.所以当时，所以在上单调递增.所以，即，故实数的取值范围为.（2）令，则.故 .构造函数，则.所以在上单调递增，所以，所以当时，故.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数单调性，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题.在解题过程中，导数是一种工具的作用，用来求单调区间和最值