高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质学案.docx

2.1.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质学习目标1.掌握椭圆的简单几何性质，并正确地画出它的图形.2.能根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形知识点一椭圆的范围、对称性和顶点思考在画椭圆图形时，怎样才能画的更准确些？答案在画椭圆时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)梳理椭圆的简单几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(ab0)1(ab0)图形焦点坐标(c,0)(0，c)对称性关于x轴，y轴轴对称，关于坐标原点中心对称顶点坐标A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)范围|x|a，|y|b|x|b，|y|a长轴、短轴长轴A1A2长为2a，短轴B1B2长为2b知识点二椭圆的离心率椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，记作e.因为ac，故椭圆离心率e的取值范围为(0,1)，当e趋近于1时，椭圆越扁，当e趋近于0时，椭圆越圆1椭圆的顶点是椭圆与它的对称轴的交点()2椭圆上的点到焦点的距离的最大值为ac.()3椭圆的离心率e越接近于1，椭圆越圆()4椭圆1(ab0)的长轴长等于a.()类型一椭圆的简单几何性质例1设椭圆方程mx24y24m(m0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标考点椭圆的几何性质题点通过所给条件研究椭圆的几何性质解椭圆方程化为标准形式为1，且e.(1)当0m4时，由e，解得m，所以椭圆的长轴长和短轴长分别为，4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(2,0)，B2(2,0)反思与感悟解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量跟踪训练1(1)椭圆x21的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为()A.B.C2D4考点椭圆几何性质的应用题点由椭圆的几何特征求参数答案A解析椭圆x21的焦点在x轴上，a21，b2m，则a1，b，又长轴长是短轴长的两倍，24，即m.(2)对椭圆C1：1(ab0)和椭圆C2：1(ab0)的几何性质的表述正确的是()A范围相同B顶点坐标相同C焦点坐标相同D离心率相同考点椭圆的几何性质题点通过所给条件研究椭圆的几何性质答案D解析椭圆C1：1(ab0)的范围是axa，byb，顶点坐标是(a,0)，(a,0)，(0，b)，(0，b)，焦点坐标是(c,0)，(c,0)，离心率e；椭圆C2：1(ab0)的范围是aya，bxb，顶点坐标是(b,0)，(b,0)，(0，a)，(0，a)，焦点坐标是(0，c)，(0，c)，离心率e，只有离心率相同类型二求椭圆的离心率命题角度1利用焦点三角形性质求椭圆的离心率例2椭圆1(ab0)的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为_考点椭圆几何性质的应用题点求椭圆离心率的值答案1解析方法一如图，DF1F2为正三角形，N为DF2的中点，F1NF2N，|NF2|c，|NF1|c，由椭圆的定义可知|NF1|NF2|2a，cc2a，e1.方法二在焦点NF1F2中，NF1F230，NF2F160，F1NF290，由离心率公式和正弦定理，得e1.反思与感悟涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到a与c的关系或利用e求解跟踪训练2设F1，F2是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，P为直线x上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为()A.B.C.D.考点椭圆几何性质的应用题点求椭圆离心率的值答案C解析如图，设直线x交x轴于D点，因为F2PF1是底角为30的等腰三角形，则有|F1F2|F2P|.因为PF1F230，所以PF2D60，DPF230，所以|DF2|F2P|F1F2|，即c2c，即2c，即，所以椭圆的离心率为e.命题角度2利用a，c的齐次式，求椭圆的离心率(或其取值范围)例3(1)设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若ADF1B，则椭圆C的离心率为_考点椭圆几何性质的应用题点求椭圆离心率的值答案解析直线AB：xc，代入1，得y，设A，B.，直线BF1：y0(xc)，令x0，则y，D，kAD.由于ADBF1，1，3b44a2c2，b22ac，即(a2c2)2ac，e22e0，e，e0，e.(2)若椭圆1(ab0)上存在一点M，使得F1MF290(F1，F2为椭圆的两个焦点)，则椭圆的离心率e的取值范围是_考点椭圆几何性质的应用题点求离心率的取值范围答案解析椭圆1(ab0)，byb.由题意知，以F1F2为直径的圆与椭圆至少有一个公共点，则cb，即c2b2，所以c2a2c2，所以e21e2，即e2.又0e1，所以e的取值范围是.反思与感悟若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2b2c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围跟踪训练3设A，B是椭圆C：1长轴的两个端点，若C上存在点M满足AMB120，则椭圆C的离心率的取值范围是_考点椭圆几何性质的应用题点求离心率的取值范围答案解析由题意知，e，eb0)，由椭圆的对称性，知|B1F|B2F|，又B1FB2F，B1FB2为等腰直角三角形，|OB2|OF|，即bc.|FA|，即ac，且a2b2c2，将上面三式联立，得解得所求椭圆方程为1.反思与感悟此类问题应由所给的几何性质充分找出a，b，c应满足的关系式，进而求出a，b.在求解时，需注意当焦点所在位置不确定时，应分类讨论跟踪训练4如图，OFB，ABF的面积为2，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为一个焦点的椭圆方程为_考点椭圆几何性质的应用题点由椭圆的几何特征求方程答案1解析设所求椭圆方程为1(ab0)，由题意知，|OF|c，|OB|b，|BF|a.OFB，a2b.SABF|AF|BO|(ac)b(2bb)b2，解得b22，则a2b2.所求椭圆的方程为1.1椭圆25x29y21的范围为()A|x|5，|y|3B|x|，|y|C|x|3，|y|5D|x|，|y|考点椭圆的几何性质题点椭圆范围的简单应用答案B解析椭圆方程可化为1，所以a，b，又焦点在y轴上，所以|x|，|y|.故选B.2已知椭圆C1：1，C2：1，则()AC1与C2顶点相同BC1与C2长轴长相同CC1与C2短轴长相同DC1与C2焦距相等考点椭圆的几何性质题点通过所给条件研究椭圆的几何性质答案D解析由两个椭圆的标准方程可知，C1的顶点坐标为(2，0)，(0，2)，长轴长为4，短轴长为4，焦距为4；C2的顶点坐标为(4,0)，(0，2)，长轴长为8，短轴长为4，焦距为4.故选D.3若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为()A.1B.1C.1或1D以上都不对考点椭圆几何性质的应用题点由椭圆的几何特征求方程答案C解析由2a2b18，ab9,2c6，c3，c2a2b29，ab1，得a5，b4，椭圆方程为1或1.4.已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(10,0)，则焦点坐标为_考点椭圆几何性质的应用题点由椭圆的几何特征求参数答案(0，)解析由题意知椭圆焦点在y轴上，且a13，b10，则c，故焦点坐标为(0，)5已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率为_考点椭圆几何性质的应用题点求椭圆离心率的值答案解析根据题意得2b6，ac9或ac9(舍去)又因为a2b2c2，所以a5，c4，故e.1已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式2根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距3求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用.一、选择题1已知椭圆1与椭圆1有相同的长轴，椭圆1的短轴长与椭圆1的短轴长相等，则()Aa225，b216Ba29，b225Ca225，b29或a29，b225Da225，b29考点椭圆几何性质的应用题点由椭圆的几何特征求参数答案D解析因为椭圆1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆1的短轴长为6，所以a225，b29.2已知焦点在y轴上的椭圆y21，其离心率为，则实数m的值是()A4B.C4或D.考点椭圆几何性质的应用题点由椭圆的几何特征求参数答案B解析焦点在y轴上，a21，b2m，e，m.3焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为()A.1B.1C.1D.1考点椭圆几何性质的应用题点由椭圆的几何特征求方程答案A解析依题意得c2，ab10，又a2b2c2，从而解得a6，b4.所以所求椭圆的方程为1.4椭圆(m1)x2my21的长轴长是()A.B.C.D考点椭圆几何性质的应用题点由椭圆的几何特征求参数答案C解析椭圆方程可简化为1，由题意知m0，b0)，则c.又2b2，即b1，所以a2b2c26，则所求椭圆的标准方程为x21.6直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.考点椭圆几何性质的应用题点求椭圆离心率的值答案B解析如图，由题意得，BFa，OFc，OBb，OD2bb.在RtOFB中，|OF|OB|BF|OD|，即cbab，代入解得a24c2，故椭圆离心率e，故选B.7设AB是椭圆1(ab0)的长轴，若把线段AB分为100等份，过每个分点作AB的垂线，分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，P99，F1为椭圆的左焦点，则|F1A|F1P1|F1P2|F1P99|F1B|的值是()A98aB99aC100aD101a考点椭圆几何性质的应用题点椭圆对称性的应用答案D解析由椭圆的定义及其对称性可知，|F1P1|F1P99|F1P2|F1P98|F1P49|F1P51|F1A|F1B|2a，|F1P50|a,502a|F1P50|101a.8已知椭圆1上有一点P，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若F1PF2为直角三角形，则这样的点P有()A3个B4个C6个D8个考点椭圆几何性质的应用题点椭圆对称性的应用答案C解析当PF1F2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P有2个；同理当PF2F1为直角时，这样的点P有2个；当点P为椭圆的短轴端点时，F1PF2最大，且为直角，此时这样的点P有2个故符合要求的点P共有6个故选C.二、填空题9已知椭圆的短半轴长为1，离心率0e，则长轴长的取值范围是_考点椭圆几何性质的应用题点由椭圆的几何特征求参数答案(2,4解析e，0，得1a2，2b0)的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，若BAOBFO90，则椭圆的离心率是_考点椭圆几何性质的应用题点求椭圆离心率的值答案解析BAOBFO90，BAOFBO，tanBAOtanFBO，即，得b2ac，a2c2ac，即e2e10，0e0)的离心率e，求实数m的值及椭圆的长轴长和短轴长，并写出焦点坐标和顶点坐标考点椭圆的几何性质题点通过所给条件研究椭圆的几何性质解椭圆方程可化为1，由m0，可知m，所以a2m，b2，c，由e，得，解得m1.于是椭圆的标准方程为x21，则a1，b，c.所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为，；四个顶点坐标分别为(1,0)，(1,0)，.四、探究与拓展14.如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1，A2，B1，B2为椭圆顶点，F2为右焦点，延长B1F2与A2B2交于点P，若B1PB2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是()A.B.C.D.考点椭圆几何性质的应用题点求离心率的取值范围答案C解析B1PB2为与的夹角，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距的长度分别为a，b，c，则(a，b)，(c，b)，当向量的夹角为钝角时，0，acb20，不等式两边同除以a2，得1ee20，即e2e10，解得e，又0e1，0eb0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A