数学与应用数学毕业论文(2).doc

目 录摘要1abstract11问题的提出22研究目的和意义2 21研究目的 22研究意义 221理论意义 222实践意义3研究的思想和主要方法 31研究思路 32研究方法4排列组合的主要内容41理解基本概念：分清两个原理 42分清排列和组合5排列组合体现的数学思想51特殊化思想52分类思想53求补思想54化归思想55转化思想551从数量、形式上转化552从观念理解上进行转化553从综合题的辩析中进行转化6排列组合的巧妙解法7 结论参考文献致谢 高中数学新课改背景下组合与排列教学研究 数学与信息学院 数学与应用数学 指导老师 摘要：在新课标改革背景下，为了找出更加适合学生和教师对排列组合内容的学习和教学方法，采用文献资料法、调查法、个案分析法、比较分析法等，从高中生学习排列组合的特点着手，介绍了排列组合的基本概念、基本思想，通过一些例子具体的证明了概念和思想在解题中的重要性，还介绍了排列组合的一些特殊解法，并一一举例说明。由此得出要采用适当的方法，了解其中包含的思想，才能正确解答有关排列组合的难题。关键字：排列组合；数学教学；数学学习high school mathematics curriculum and arrangement of teaching and research portfolioqiu jucollege of mathematics and information, mathematics and applied mathematics grade 2007， instructor： tang shan-gangabstract：under the new curriculum reform in order to find a more suitable combinations of students and teachers on the content of the learning and teaching methods, this paper, literature, investigation, case analysis, comparative analysis, etc from the combinations of high school students learning feature set, introduces the basic concepts of permutations and combinations, basic idea, through some specific examples of proof of concept and the importance of thinking in solving problems, but also introduced some special combinations of solution, and eleven example, let we can clearly understand the permutations and combinations in the teaching and learning should be noted that a number of issues, so that it can better learn and teach this chapterthe resulting appropriate method to be used to understand the thoughts contained in order to correctly answer questions about permutation and combination problems. key words： high school 删除划线permutations and combinations；maths learning；maths teaching1 问题的提出在高中阶段的数学教学内容中，排列与组合一直是教学中的一个难点。这种以计数问题为特征的内容在中学数学中是较为特殊的，由于其思想方法比较独特灵活，因而它也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材，可用于训练学生在计数、猜想、一般化和系统思维等方面得能力，有助于发展如等价和顺序关系等概念。概率的计算和组合概念的发展是相互联系的，因而排列组合是为学习概率统计储备知识1。文献1给出了目前国内外对该论题的研究现状、水平及发展趋势。研究此论题的理论意义、实践意义。给出了排列组合的的等价定义，定义中包含的内容，组合排列的性质，还有排列组合中所体现的数学思想。高中生应重视排列组合的学习，不但从中体会数学思想方法，提高数学能力，而且还可以和其他知识领域结合。然而，经过文献查阅发现排列组合教学方面的资料比较少，学生在学习这章知识普遍感到困难排列组合相对于其他章节的数学内容来说比较独立，涉及的都是正整数，对学生来说不存在以前所学数学基础好坏的问题。那么学生在学习过程中哪些知识点上感到困难？造成困难的因素是什么？是什么原因引起的？作为排列组合教学的现状是怎样？存在哪些问题？如有，应该怎样改?要解决这些问题需要进一步的研究。2研究目的和意义21研究目的本研究试图在排列组合教学研究文献的分析、教学现状调研基础上，探索提高教学质量的途径和方法。22研究意义221理论意义本研究可丰富排列组合教学研究的文献，为教师在排列组合教学做进一步研究提供参考、帮助；为提高高中生排列组合学习效率提供理论依据。2.2.2实践意义本研究对教师在排列组合的教学有所帮助促进，为实际教学提供了参考依据，教师可通过本研究找到教学中不足，从而改进教学方法、教学策略；学生可通过本研究了解自身学习中存在的问题及原因，从而改进学习方式。3研究的思路和主要方法3.1研究思路本课题主要研究高中生学习排列组合的必要性、可行性及教师现阶段如何教学，今后如何改进等方面内容。3.2研究方法本研究主要采用的研究方法主要包括：文献法、调查法、个案分析法、比较分析法。4排列组合的主要内容4.1理解基本概念：分清两个原理学好分类计数原理和分步计数原理是学习本章的基础，起应用贯穿于本章始终。分清这两个原理的关键在于明确完成一个事件是需要“分类”还是“分步”完成。“做一件事，完成它可以有n类方法”，这里是对完成这件事件的所有方法的一个分类，每一辆尅方法都能单独完成这件事。分类时，首先要根据问题的特点确定一个适当的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足一条基本要求：每一种方法必须属于而且只能属于某一类。只有满足这一点，才可以用分类计数原理。“做一事件，完成它需要分成n个步骤”，这里指完成这件事的任何一种方法，都要经过n个步骤才能完成这一件事。分步时，首先要根据问题的特点，确定一个分步的可行标准，然后再这个确定的标准下进行分步，其次要注意分步时需要满足一个基本要求：完成这件事必须完成这n个步骤后才算圆满完成。只有满足这些条件，才能用分步计数原理。2文献2给出了怎样理解排列组合的基本概念，怎样区分排列、组合问题，必须要分清两个原理：分类计数原理和分步计数原理，并列举了实际怎样区分这两个原理。例4.1某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语各一人，有多少种不同的选法？分析“完成一件事”指从9人中选出会英语和日语各一人，由题意可知，9人中既会英语又会日语只有1人，因此可根据此人是否当选将所有选法分为三类：（1）此人不当选；（2）此人按英语当选；（3）此人按日语当选。解：既会英语又会日语的有7+3-9=1人，仅会英语的有6人，仅会日语的有2人，先分类，后分步，先从仅会英语、日语的人中各选一人，有62种选法，从仅仅会英语和英语、日语都会的人中各选一人，有61种选法，从仅仅会日语与英语、日语都会的人中各选1人，有21种选法，根据加法原理，一共有62+61+21=20种不同的选法。分类讨论解决的问题，必须思维清晰，保证分类标准的唯一性，这样才能保证分类不重复，不遗漏。4.2分清排列与组合排列：从知识体系来看，处于一个承上启下的地位。它既在推导排列数公式的过程中使分步计数原理获得了重要应用，又使排列数公式成为推导组合数公式的主要依据。排列的定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；一是“按照一定顺序排列”。“一定顺序”就是与位置有关。排列数公式的导出需要强调一段话“每一种填法就得到一个排列；反过来，任意一个排列总可以由这样的一种天罚得到”。这说明“一个排列”与“一种填法”是一一对应的，因此通过分步计数原理得到的所有不同的填法总数就是所要的排列数。组合和排列所研究的问题完全平行，并且组合数公式的推导要依据排列数公式。组合的定义包含一个基本内容：就是“按照一定的方法取出元素”。相同排列：元素个数相同；所含元素相同；各个元素排列的先后顺序相同。相同组合：元素个数相同；所含元素相同。组合数公式的推导，从最简单的情况入手，在具体例子的基础上归纳出来的。推导的思路是依据分步计数原理，从个不同的元素任取个的排列数分成先“求组合数”，后求“全排列数”两步完成。这样更清楚地揭示出组合与排列的对应关系，从而利用这种对应关系和已知的排列数公式得到组合数公式。组合数性质：性质1：cnm=cnn-m是解释从n个元素中取m个与从n个元素中取n一m个的一一对应关系为主线，由特殊延伸到一般得到结论。并利用组合数公式对性质1证明，以提高学生对组合式子的变形能力。性质2：cn+1m=cnm+cnm-1也是从具体例题中发现并解释，再推广到一般情况。分清一个具体问题是排列问题还是组合问题，关键在于看从n个不同元素取出m（m小于等于n）个元素是否与顺序有关，有序的是排列问题，无序则属于组合问题。排列组合问题的共同点是“从n个不同元素中，任取m个元素”，取出的元素均为不同元素，排列与m个元素的顺序有关，组合与m个元素的顺序无关。以此来区分是排列问题还是组合问题。例如：从1、2、3这3个数中每次出2个数相乘，有多少不同的积，就与位置无关，是组合问题；问2个数相除有多少个不同的商，就与位置有关，是排列问题。5排列组合体现的数学思想数学思想是数学的灵魂，我们在解决任何数学问题无不在某种数学思想的指导下进行的，同时，数学思想 又是对数学知识的融会贯通的理解和升华，是一个更深层次的内容，数学中只有从讲授某些具体教学内容的表层知识时去挖掘深层的数学思想，数学知识才有了核心，学生头脑中才会形成完整的知识体系。因此，在教学过程中，应注意数学思想的渗透。排列和组合是数学基础知识的重要组成部分之一，它在解决实际问题以及科学技术的研究中都有广泛的应用;并且是今后学习概率统计等知识的基础，逻辑推理更是进一步学习数学的基础，同时也是发展学生逻辑推理能力的良好素材。在排列组合问题中充分体现了对称、分类、等价转化、整体、方程、类比、集合、映射、化归的数学思想。3它应用性强，具有题型多变，条件隐晦，思维抽象，分类复杂，问题交错，易出现重复和遗漏以及不易发现错误等特征。让学生通过观察、操作、实验、猜测、推理与交流等活动，初步感受数学思想方法的奇妙与作用，受到数学思维的训练，逐步形成有顺序地、全面地思考问题的意识，同时培养他们探索数学问题的兴趣与欲望，发现、欣赏数学美的意识，进而达到标准第一学段的要求：使学生“在解决问题的过程中，能进行简单的、有条理的思考”。45.1特殊化思想特殊化思想是利用问题中的特殊因素，采取特殊方法解决问题的思维过程。对于有条件限制的排列组合应用问题，应抓住其中的特殊元素和特殊位置，对它们优先考虑或采取特殊的手段处理。5文献5结合排列组合一章的教学内容概括了数学思想的渗透问题。例5.17人排成一排，分别满足下列条件的排法有多少种？6（1）甲乙2人在两端，丙不在正中间。（2）甲乙丙互不相邻。（3）甲乙丙必须相邻。分析：（1）把7人排成一排看作有7个位置7个元素，先安排甲、乙、丙这3个“特殊元素”，再排其余4人，排法共有(种)。（2）先除去甲、乙、丙这三个“特殊元素”，考虑其他4人排队，然后在4人之间的5个空隙（包括头尾）中插入甲、乙、丙排法共有（种）。（3）先将甲、乙、丙3人看作一体，认为是一个“特殊元素”，与其他人排队共有种排法，再考虑甲、乙、丙之间又有顺序，故排法共有（种）。例5.1的某些拓展： 若有个人排成一列，其中有个人互不相邻的排法数？分析：先除去这个“特殊元素”，考虑其他个人排队，然后在人之间的个空隙（包括头尾）中插入这人。还有要先从人中选出人的方法有，然后再进行排列。故满足条件的排法共有（种）。5.2分类思想当所遇到的问题情境复杂、层次多、视角广时，可以按照一定的标准，分成一系列不同层次或不同的侧面，从而把原问题变成了几个小问题逐一加以解决。这就是分类思想。把复杂的简单化，非常有利于问题的解决。75.3求补思想解决某些排列组合问题时，可以先考虑没有限制时的排列（或组合）的总数，再从中减去其中所以不满足条件的排列（或组合）的个数，就得所求满足条件的总数。例5.3以正方体的8个顶点为顶点的直角三角形共有多少个？解：以正方体的8个顶点为顶点的三角形的个数为，其中非直角三角形的个数为8，故以正方体的8个顶点为顶点的直角三角形共有（个）。5.4化归思想化归思想的实质是化繁为简，化难为易，化未知为已知。某些排列组合问题的解决过程，就是应用化归思想的过程。例5.4.1 马路上有编号为1、2、38、9、10的十只路灯，为节约用电，可把其中的三只路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或者三只，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有多少种？分析：用“*”表示被关的灯，用“o”表示不被关的灯例如：“o*oo*o*ooo”表示第2、5、7号灯被关掉，由此可见，问题可转化为：求7个“o”形成的6个“空”（不包括首尾）中选出3个的组合数。答案应为=20（种）。例5.4.2 把20个相同的小球放入编号为1、2、3的3个盒子中，使得每个盒子中的球数不少于它的编号，那么不同的放法共有多少种？分析1：先分别放入2号、3号盒子中1个、2个球，则问题转化为：求把剩余的17个球放入3个盒子中，使得每个盒子中至少放入1个球的放法，而此问题又等价于：求不定方程x+y+z=17的正整数解的个数，也就是求用两条竖线将排在一排的17个“1”分成三组的方法数，最终将问题转化归结为：求由17个“1”形成的16个“空”（不包括首尾）中选出2个的组合数。答案应为种。分析2：先分别放入1号、2号、3号盒子中1个、2个、3个球，则问题转化为：求剩余的14个球任意放入3个盒子中的放法。按各个盒中放球的个数分类可求得：共有不同放法（种）。5.5转化思想5.5.1从数量、形式上进行转化8文献10给出了从3个方面介绍了排列组合中“转化思想”的应用。 例5.5.1 教育局组织12人的考察团，名额分给9所学校，每校至少1个名额，共有多少种方案 ？ 解析：12个名额是相同的元素，分给 9个不同的对象，每个对象至少有一个元素，有c118=165种方法。注： 这是隔板法的老题，同学们一般都答对，而新高考以考察能力为重点，同样的知识点， 可以用不同形式来考察。 请看下例。教育局组织30人的考察团，名额分给9所学校，每校至少3个名额， 共有多少种方案？解析： 直接做比较困难，且本题不属于我们常记的题型， 但可以转化为我们常见的题型， 如下： 方案的同否只与名额的个数有关，因此每个学校先给两个名额，并不影响总的方法数，由此本题可转化为 12个名额分给 9 所学校， 每校至少1个名额。 答案有c118=165 种方法。注： 我们称这种转化为“减量法”。教育局组织3人的考察团， 名额分给9所学校， 共有多少种方案 ？解析：3个名额分给 9 所学校，显然有学校分不到，若一一列举，太烦琐。怎么办 ？(可以分三类： c91+a92+c93)我们发现若额外的每个学校给一个名额,方法数不变，(设3个名额分给9所学校共有x 种案，根据分步原理：额外的每个学校给一个名额，再将3个名额分给9所学校。共有 1x = x 种方法。如此本题转化为上述题型，有 种方法。注：我们称这种转化为“增量法”。5.5.2从观念理解上进行转化例5.5.29 求 x + y + z + m = 24 共有多少组正整数解？解析：此题分类不易解决。若用穷举法，未知数太多，不宜入手。若寻找解多元方程的思想，更不可取。不妨转化一下观念：因为求的是正整数解，可看作 24个同色小球放入 4个相同盒子，每个盒子至少一球的方法数。 即 种方法。5.5.3从综合题的辨析中进行转化例5.5.3 把体育组 9个相同的足球放入编号为 1、2、3 的三个箱子里，要求每个箱子放球的个数不少于其编号数，则不同的方法有多少种 ？解析：设 x + y + z =9，且 x 1， y 2， z3， x、y、z n*。令 y= y 1， z= z 2，则本题转化为x+ y+ z= 6 共有多少正整数解？易知c52=10 种。实际上，我们可以解释为先放入2号箱 1 球，放入 3 号 箱 2 球共 1 种放法（因为是相同的足球) 为第一步， 再将剩下的6 球放入三个箱子， 每箱至少一球为第二步，根据分步原理，得共种方法。数学思想的渗透是在具体教学问题的分析和教学过程中实现的。坚持在课堂教学中渗透数学思想是提高课堂教学效果，培养学生分析问题解决问题的一种非常有效的作法。106排列组合的巧妙解法排列组合应用题应用广泛，题型多变，条件隐晦，思维抽象，得数颇大，不易验证，因而在解这类问题时，要做到：排列组合分清，加、乘辨明，避免重、漏。在教学过程中非常有必要把书本知识进行活化，在课堂上运用数学思维的渗透引导学生通过观察、比较、联想、分析、综合、抽象、概括等思维过程去理解知识、发现规律、总结方法。总的来说，可以概括为11“八字方针”，即“加、减、乘、除、捆、插、隔、化”。文献11给出了在解排列组合问题的思想过程中提炼的思想方法，简称“八字方针”。6.1加“加”就是分类计数原理在解题中的运用。完成一件事，有n类方法，在第一类方法中有种不同的方法，在第二类方法中有类不同的方法，在第n类方法中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。126.2减“减”是分类计数原理中逆方向解题中的运用。完成一件事，当正面解决分类较困难，而不完成这件事的情况却容易分类时，则只需在完成这件事与否的方法总数中，减去不完成这件事的方法总数即可。6.3乘“乘”就是 分步计数原理中在解题的运用。完成一件事，需要分成个步骤，这个步骤是连续的，只有完成每一步事情才算完成，即是说步与步之间存在着“相互串联”的物理意义。6.4除“除”是针对问题中具有“对称”关系而采用的一种方法。如果完成一件事中存在着一些特殊的元素，将这些元素相互对换以后，并不会影响完成这件事的方法总数，我们就称这些元素具有“对称”关系。例6.410个人坐成一排，其中甲在乙的左边，甲乙不一定相邻的坐法共有多少种？分析：问题中的甲乙是两个特殊元素，把题中的条件“甲在乙的左边”对换成“乙在甲的左边”，其方法总数是一样的，所以甲与乙具有“对称”关系。“甲在乙的左边”和“乙在甲的左边”的坐法，应各占坐法总数的一半。解：10个人坐成一排的坐法总数有种，因此甲在乙的左边的坐法总数为2。例6.4的拓展 ：上述问题可以拓展为更一般的“定序”问题。将n个不同的元素排成一列，其中在的左边，在的左边，在的左边（不一定相邻），总共有种排法。另外 ，在平均分组问题中，由于各组内的元素个数相同 ，所以组内的元素进行整体对换后分组总数不受影响，即组与组是“对称”的。因而 ，平均分组问题同样可运用“除”法解决。6.5捆“捆”是对元素进行整体处理的形象化描述。我们只要把必须相邻的元素“捆”成一个整体，就能保证这些元素相邻而不散乱。例6.5 把 4 封信投入三个信箱的两个中 ，有多少种不同投法 ？分析：4 封信的投法分为两类，第一类是一个信箱 3 封，一个信箱 1 封；第二类是两个信箱各 2 封。考虑第一类的方法种数时，为了保证 3 封信同一个信箱,需要将其中的 3 封信“捆”一个单元素处理；同理 ，在考虑第二类方法总数时 ，需要将其中的每个 2 封信各“捆”成一个单元素处理。解当一个信箱 3 封 ，一个信箱 1 封时，有种投法；当两个信箱各投 2 封时 ，先将 4 封“捆”成两堆(平均分组) ，有 种 ，再投入三个信箱有种 ，此类中共有种方法。因此，4 封信投入三个信箱中的其中两个，共有+=42种方法。点击“折射”：特殊元素被“捆”之后 ,其整体处理的方式可折射成多个方向，既可作为单元素排列，也可作为单元素组合，还可作为单元素平移等等。例如：是等差数列，从，中任取 3 个不同的数，使这三个数仍成等差数列 ，则这样不同的等差数列最多有(18 + 16 + 14 + + 2) 2 = 180 个。究其方法 ，就是将元素“捆”后平移。上例的拓展：将n个苹果分成任意的3堆，分法数共有多少？如果任意两堆苹果的和大于第三堆，那么分法数又有多少？分析：要分成3堆，必须每一堆都有1个（包含1个）以上的苹果，共有cn-12 种。 此问题留在以后教学中解决。6.6插“插”是保证某些特殊元素互不相邻的常用手段，如例4中关灯的方法。在具体操作时，是先将普通元素排列，然后将这些特殊元素“插入”普通元素的间隙之间，从而保证它们互不相邻的要求。6.7隔“隔”的思想方法适用于整数分解型排列与组合问题。其思路是先把整数分解成单位数1的和，然后把这个和式分隔成若干段，使每种分隔都和完成事情的一种方法相对应。例6.7.1方程+=99（xi，i=1,2,3,4，5），有多少组解？分析：99=1+1+1+1，完成事情的要求是把99个1分配到5个位置上，完成事情的每种方法都对应着右边和式分隔成5段得一种方法，分割点显然就是98个“+”号。解：由99=1+1+1+1知，右边的和式分隔成5段有种方法，也就是得知方程有组解。例672某学校从高中三个年级中选 20人组成校田径队 ，要求高一至少 4 人，高二至少 5 人，高三至少 6 人 ，共有几种选法 ?解先确定高一选 3 人 ，高二选 4 人，高三选 5 人，再在三个年级中选 8 人。对这 8 人的选择条件应该是高一、高二、高三都至少选1 人，具备“隔”法前提。所以田径队员的选法共c73=35 种。点击“难点”：从“隔”法中不难发现 ，采用“隔”需要具有一定的前提：分隔段至少要有一个单位数 1。否则 ，将失去方法与分隔段之间的一一对应“隔 ”，就无法保证结果的正确性。因此 ，构建“隔”的前提是“隔”法中的难点。6.8化即是化归思想。“化”就是通过一一对应的关系 ，寻求由此及彼、由近及远、由易及难的解题途径。例 6.8 若凸八边形的对角线两两相交且除顶点外再无三线共点，试问这些交点有多少个在其内部 ?分析凸八边形共有条对角线 ，这些对角线共有 个交点，要从这 118个交点中找出有多少个在其内部 ，难度可想而知。但我们只要注意到内部的交点与以凸八边形的顶点为顶点的四边形成一一对应 ，问题变得十分简单了。解以凸八边形的顶点为顶点的四边形共有个，即对角线的交点有70个在凸八边形的内部。7实际应用中常见错误 在运用数学思想和“八字方针”解决排列组合问题时，往往由于轻视，觉得基本原理和基本公式都十分简单，在解题是就容易出现错误，常见的错误如下：文献13归纳了再解答排列组合问题时学生常常犯的一些错误，一般都是对概念理解不够深入，并给出了大量例子来指导，避免再次犯这种常见错误。7.1错误理解分类计数原理和分步计数原理例7.1有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有。13错误解法：+=60种。解法的错误在于：把、当作完成任务的方法，我们应该注意：方法与步骤的区别在于：方法可以完成任务的全部，而步骤仅仅解决任务的一部分，所以在这里、是解决任务的步骤。正确解答：=2520种。7.2错误地选择分析对象例7.2已知10位同学参加三项田径比赛，决出前三名（不允许并列名次）。有多少种情况？错误解答：第一名同学有9种选择；第二名同学有8种选择；以此类推分析：第一名同学不仅仅有9种选择，还有可能没有名次，如果进行分类讨论，由于每位同学都可能有名次，也可能没名次，所以情况非常复杂。解：以名次为分析对象第一项比赛：第一名有10种可能，第二名有9种可能，第三名有8种可能；第二项比赛：第一名有10种可能，第二名有9种可能，第三名有8种可能；第三项比赛：第一名有10种可能，第二名有9种可能，第三名有8种可能。故有：种。7.3重复计数这一点相比于其他的常见错误相对简单一些，如果我们学会采用合理的方法进行解题，可以做到减少此类问题发生。7.4忽略特殊情况 7.5无法有效转换例751圆周上有个等分点（，），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为。在解此题时许多人觉得无法动笔，我们对直角三角形可以理解，一边为直径，故所求直角三角形有即个。例7.5.2 有甲、乙、丙、丁等10个人一起吃饭，他们选择了一张圆木桌，其中甲、乙不能相邻，甲、丙不能相邻，乙、丙不能相邻，请问他们的坐法共有多少种？分析：这是一个圆排列问题，与直线排列有差别，在此问题中我们将甲、乙、丙三人看作特殊元素，考虑先将其他7人先安排好，7人的排列方法有种，再将他们三人排列有3！种方法。所以此题的解决方法共有种。再将此问题拓展为“有个人围着圆桌而坐，其中有个人互不相邻的的坐法数，其中”改过来分析：此题中互不相邻的个人并不是指定的，且。 首先我们从中选择个人的方法有种，然后将这个人除开，将剩下的个人围着