线性代数同济大学.pptx

,up,down,1 5 二次型及其标准形 一、二次型及其标准形的概念 二、二次型的表示方法 三、二次型的矩阵及秩 四、化二次型为标准形,2,up,down,一、二次型及其标准形的概念 定义1 含有n个变量 x1,x2,xn的二次齐次函数 f x1, x2, xn a11x1 2 a22x2 2 annxn 2 2a12x1x2 2a13x1x3 2an1,nxn1xn 称为二次型. 当aij是复数时, f称为复二次型 ; 当aij是实数时, f称为实二次型 .,例如,fx1,x2,x3 2x1 2 4x2 2 5x3 2 4x1x3 fx1,x2,x3 x1x2 x1x3 x2x3 都为二次型；,3,up,down,定义 只含有平方项的二次型 f k1y1 2 k2 y2 2 knyn 2 称为二次型的标准形（或法式）若标准形的系数 k1 , k2 , kn 只在 1，-1，0三个数中取值，即 f y1 2 y2 p y2 p1 yr 2 称为二次型的规范形,fx1,x2,x3 x1 2 4x2 2 4x3 2 为二次型的标准形.,例如,2 2,f x1,x2,x3 x1 x2 x3 为二次型的规范形.,up,down,4 二、二次型的表示方法 1用和号表示 对二次型 f x1,x2,xn a11x1 2 a22x2 2 annxn 2 2a12x1x2 2a13x1x3 2an1,nxn1xn 取a ji aij,则2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi,于是 f a11x1 2 a12x1x2 a1nx1xn a21x2x1 a22x2 2 a2nx2xn an1xnx1 an2xnx2 annxn 2 n i,j1,up,down,5 2用矩阵表示 f a11x1 2 a12x1x2 a1nx1xn a21x2x1 a22x2 2 a2nx2xn an1xnx1 an2xnx2 annxn 2 x1(a11 x1 a12x2 a1nxn) x2(a21 x1 a22x2 a2nxn) xn(an1x1 an2x2 annxn) a21 x1 a22x2 a2nxn an1x1 an2x2 annxn ,a11, x1,x2,xn, ,a11 a12 ,记 A , ,a12 a1n x1 , ,a1n x1, x , , , ,6,up,down,则二次型可记作 f xT Ax,其中A为对称矩阵., a22 a2n x2 an2 ann xn a2n x2 ann xn, a21 an1 a21 a22 an1 an2 ,up,down,7 三、二次型的矩阵及秩 在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系 对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵; f 叫做对称矩阵A的二次型; 对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的秩.,up,down,解, ,a11 1,a22 2,a33 3, a12 a21 2, a13 a31 0, a23 a32 3. 1 2 0 A 2 2 3. 0 3 3,8 例 写出二次型 2 2 2 1 2 3 的矩阵., ,up,down, x1 c11y1 c12y2 c1nyn, x2 c21y1 c22y2 c2nyn, xn cn1y1 cn2y2 cnnyn,设,9 四、化二次型为标准形 对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形,记C (cij),则上述可逆线性变换可 记作 x Cy,f x Ax Cy ACy y,B C AC CT ATC C AC B,T,10,up,down,证明,CT ACy.,T,将其代入 f xT Ax,有 T T,定理1 任给可逆矩阵 C,令B C T AC,如果A为对称 矩阵,则B也为对称矩阵 ,且RB RA.,A为对称矩阵,即有A AT ,于是 T T T,即B为对称矩阵. B CT AC, RB RAC RA, T 1 1 RA RB.,up,down,11 说明 1. 二次型经可逆变换 x Cy后,其秩不变 ,但 f 的矩阵由 A变为 B C T AC; 2. 要使二次型 f经可逆变换 x Cy变成标准形 , 就是要使 T k 2 y2 , k n yn 也就是要使 C T AC成为对角矩阵 .,up,down,定义 设 A和 B 为n阶矩阵,若有可逆矩阵C ,使得 B C TAC ,则称矩阵 A与 B 合同 说明 (1)若 A与 B 合同, 且 A为对称矩阵,则 B 也为对称矩阵 . 并且 R(A) R(B) (2) 经可逆的线性变换 x Cy 后，二次型 f 的矩阵由 A变为CTAC, 但变换后二次型的秩并不改变。,f x Ax Cy, k1, ( y1, y2, yn), , ,y1, ,up,down, ,k 2, k n, y2 yn,(3) 要使二次型 f 经可逆线性变换 x Cy 变成标准形, 就是要使, k1y1 2 k2y2 2 knyn 2, yTCT ACy.,ACy,T T,也就是要使 C TAC 成为对角矩阵 . 二次型的秩即标准形中平方项的个数,任给二次型 f aij xi x jaij a ji,总有,up,down,14 由于对任意的实对称矩 阵A,总有正交矩阵 P, 使 P1AP ,即PT AP .把此结论应用于二次 型,有,定理2,n i, j1,正交变换 x Py,使 f 化为标准形 f 1y1 2 2y2 2 nyn 2, 其中1,2,n是 f 的矩阵A aij的特征值.,up,down,15 用正交变换化二次型为标准形的具体步骤 1.将二次型表成矩阵形式 f xT Ax,求出A; 2.求出A的所有特征值1,2,n; 3.求出对应于特征值的特 征向量1,2,n; 4.将特征向量 1, 2, n正交化 ,单位化 ,得 1,2,n,记C 1,2,n; 5.作正交变换 x Cy,则得f的标准形 f 1 y1 2 n yn 2.,up,down, ,17,2,2,AE 2 14,4,2,4 14, 182 9,16 例2 将二次型 f 17x1 2 14x2 2 14x3 2 4x1x2 4x1x3 8x2x3 通过正交变换 x Py,化成标准形. 解 1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 A 2 14 4 2 4 14 , (2 5,4 5,1) .,17,up,down,从而得特征值,1 9, 2 3 18.,T, 3,2求特征向量 将1 9代入A Ex 0,得基础解系 1 (1 2,1,1)T. 将2 3 18代入A Ex 0,得基础解系 2 (2,1,0)T, 3 (2,0,1)T. 3将特征向量正交化 取 1 1,2 2,3 3 2, 得正交向量组 T T,3 2,3 ,5 2, 5,up,down, i 1,2,3,i i,令 i ,得,0, 3,2 1,1 1 2 2,45 45. 45 , 5 , 3 4 ,5 5,45 45. 45 , 2 4 5, 2 1 0,1 3 P 2 3 2 3,所以,18 4将正交向量组单位化，得正交矩阵 P, x1 1 3 2,45 y1,up,down,19 于是所求正交变换为,5 2 5 4 5, , 45 y2, 45 y3 , x2 2 3 1 x3 2 3 0,f 9y1 2 18y2 2 18y3 2.,且有,二次型的矩阵为 A , ,1, ,up,down,解,20 例3 求一个正交变换x Py,把二次型 f 2x1x2 2x1x3 2x1x4 2x2 x3 2x2 x4 2x3 x4 化为标准形., 1 1 0 , 0 1 1 1,1 0 1 1,1 1 0 1,它的特征多项式为,21,up,down,.,1,1,1 1 ,1 1 1,1 1, 1 1,1, ,A E ,计算特征多项式 :把二,三,四列都加到第一列上,有,1,1,1,1 1 ,1 1,1 1 1 1 1,1,A E ( 1),把二,三,四行分别减去第一行,有,2 1,22,up,down,0,0,2 2,1,1,1,1, 1, 2 1,0 1 0 2,A E ( 1), 2,0 2 1, (1),2 2 3 于是A的特征值为1 3,2 3 4 1. 当1 3时,解方程(A 3E)x 0,up,down,23 1 2 1 1 当2 3 4 1时,解方程(A E)x 0, 可得正交的基础解系 1 0 1 , 3 4 0 1 1, x1, x3, , , ,1 2 y1,2 1 2 y3, ,f 3 y1 y2 y3 y4.,up,down,24 1 2 0 1 2 1 2 0 1 2 0 2 0 1 2 1 2 于是正交变换为, x2 x4,1 1,0 0, 1 2 y2 2 1 2 y4,0 0,2 2, 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2,2 2 2 2,且有,up,down,25 内容小结 1. 实二次型的化简问题，在理论和实际中 经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一 一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩 阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请 同学们注意这种研究问题的思想方法 2. 实二次型的化简，并不局限于使用正交 矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运 算更快的可逆变换下一节，我们将介绍另一种 方法拉格朗日配方法,up,down,26 思考题 求一正交变换，将二次型 fx1,x2,x3 5x1 2 5x2 2 3x3 2 2x1x2 6x1x3 6x2x3 化为标准型，并指出 fx1,x2,x31 表示何种二次 曲面.,二次曲面： a, 2 1 椭圆柱面,y, 2 1 双曲柱面, 2 2 1,a, 2 2 1 单叶双曲面,y,z,a, 2 2 0,椭圆up 面 down,27,y2 b,x2 2,2,2 2,b,x a,y2 z2 b c,x2 a2,椭球面,y2 z2 b c,x2 2,2 2,x a,2 2 2 2 1 双叶双曲面 b c,y2 z2 b c,x2 2,锥,f x1, x2, x3 5x 5x 3x 2x1x2 6x1x3 6x2x3,思考题解答,1 1 1 ,28,up,down, , ,2 2 2 1 2 3 5 1 3 解 二次型的矩阵为A 1 5 3, 3 3 3 可求得det(AE) ( 4)( 9), 于是A的特征值为1 0, 2 4, 3 9, 对应特征向量为 p1 1 , p2 1, p3 1. 2 0 1 ,1,up,down,29 将其单位化得,6 6 , 6 ,