河南省郑州第一中学2019届高三数学第二次联合质量测评试题（含解析）.docx

河南省郑州一中2019届高三第二次联合质量测评数学（理科）第卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1.已知集合，集合.则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接解一元二次不等式化简集合A，再求A交B，则答案可求【详解】解：Ax|x|x5又则AB故选：A【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题2.已知复数（为虚数单位），则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出【详解】解：z（1+i）21i，2zi1i，2zi（1i）1+i，zi，i，故选：C【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题3.已知命题：方程表示双曲线；命题：.命题是命题的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】等价转化命题，利用充分必要性定义结合不等式性质判断即可.【详解】方程表示双曲线等价于，即命题：，由推不出，充分性不具备，由能推出，必要性具备，故命题是命题的必要不充分条件，故选：B【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用好双曲线方程系数的关系是解决本题的关键，比较基础4.已知等差数列各项均为正数，则数列的通项公式为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的性质及通项公式求得首项与公差，即可得到数列的通项公式.【详解】设等差数列的公差为d，由可得：，即，又，又是方程的两根，又等差数列各项均为正数，d=2故数列的通项公式为故选：A【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5.函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用函数的单调性及特殊值即可作出判断【详解】由易得f（x）+f（x）0，f（x）是奇函数；当x=1时，排除A，当x0时，函数在上单调递减，故可排除，故选：【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.6.已知，分别为椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点.若的最大值为3，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】点到椭圆的焦点的最大距离为最小距离为，结合题意可得结果【详解】点到椭圆的焦点的最大距离为最小距离为，又的最大值为3，故选：【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a，c，代入公式；只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2a2c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)7.如图所示的程序框图，则输出结果为（ ）A. B. C. 3D. 【答案】D【解析】【分析】模拟执行程序框图，可得程序的功能是求的值，即可求得S的值【详解】解：模拟执行程序框图，可得程序的功能是求S的值，由于S故选：D【点睛】本题主要考查了程序框图和算法，模拟执行程序框图，正确得到程序的功能是解题的关键，属于基础题8.已知函数，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】对x讨论，当时，当时，运用分式函数和对数函数的单调性，解不等式，即可得到所求解集【详解】解：当时，即为：，解得x2；当时，即为：，解得x0综上可得，原不等式的解集为故选：D【点睛】本题考查分段函数的运用：解不等式，注意运用分类讨论的思想方法，以及分式函数和对数函数的单调性，考查运算能力，属于基础题9.将曲线围成的区域记为，曲线围成的区域记为，曲线与坐标轴的交点分别为、，四边形围成的区域记为，在区域中随机取一点，此点取自，的概率分别记为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意分别计算出三个区域的面积，即可得到【详解】由方程，得：或，曲线围成的区域、，如图：可知区域 的面积为；区域的面积为；区域的面积为；由几何概率公式得：，故。故选：C.【点睛】本题考查了几何概型的概率问题，关键是求出对应的面积，属于基础题10.第十四届全国运动会将于2021年在陕西举办，为宣传地方特色，某电视台派出3名男记者和2名女记者到民间进行采访报导。工作过程中的任务划分为：“负重扛机”，“对象采访”，“文稿编写”“编制剪辑”等四项工作，每项工作至少一人参加，但两名女记者不参加“负重扛机”，则不同的安排方案数共有（ ）A. 150B. 126C. 90D. 54【答案】B【解析】【分析】记两名女记者为甲乙，三名男记者为丙、丁、戊，根据题意，按甲乙的分工情况不同分两种情况讨论，甲乙一起参加除了“负重扛机”的三项工作之一，甲乙不同时参加一项工作；分别由排列、组合公式计算其情况数目，进而由分类计数的加法公式，计算可得答案【详解】解：记两名女记者为甲乙，三名男记者为丙、丁、戊根据题意，分情况讨论，甲乙一起参加除了“负重扛机”的三项工作之一：C31A3318种；甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况；1丙、丁、戊三人中有两人承担同一份工作，有A32C32A22323236种；2甲或乙与丙、丁、戊三人中的一人承担同一份工作：A32C31C21A2272种；由分类计数原理，可得共有18+36+72126种，故选：B【点睛】本题考查排列、组合的综合运用，注意要根据题意，进而按一定顺序分情况讨论11.若关于的方程只有一个实数解，则实数的值（ ）A. 等于-1B. 等于1C. 等于2D. 不唯一【答案】A【解析】【分析】对a分类讨论时不适合题意，当时，令，转化为两个函数图象的交点情况即可.【详解】令，则关于x的方程只有一个实数解，等价于关于t的方程只有一个实数解，若，则由及为增函数，得： ，方程无解故。令，则当时，有最小值 ，函数的图象关于点对称，当时，两函数，的图象有且只有一个交点，从而满足题意，当时，两函数，的图象有两个交点，不合题意，当时，两函数，的图象没有交点，不合题意，所以，为所求。故选：A.【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解12.已知三棱柱的所有顶点都在球的球面上，该三棱柱的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，若球的表面积为，则三棱柱的体积为（ ）A. B. 12C. D. 18【答案】A【解析】【分析】由题意可知该三棱柱的底面是等边三角形，设三棱柱底面边长为a，高为h，截面圆的半径为r，球半径为R，可得，从而得到结果.【详解】因为三棱柱的五个面所在的平面截球面所得的圆的大小相同，所以该三棱柱的底面是等边三角形，设三棱柱底面边长为a，高为h，截面圆的半径为r，球半径为R，球O的面积为 ， ，解得，底面和侧面截得的圆的大小相同，又，由得，则该三棱柱的体积为。故选：A.【点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2a2b2c2求解第卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。请将答案填写在答题纸上。13.已知实数，满足线性约束条件，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，令 ，则，作出直线l：，平移直线l，由图可得，当直线经过点C时，直线在y轴上的截距最大，此时取得最小值，由，可得，即C， 的最小值是。故答案为：.【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.14.已知，则在方向上的投影为_【答案】【解析】【分析】对两边平方得到，代入投影公式得到结果.【详解】，在方向上的投影为故答案为：【点睛】本题考查平面向量的数量积的性质，考查向量的模，向量的投影的概念，考查运算能力，属于基础题15.将的图像向右平移个单位后（），得到的图像，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】将图像向右平移个单位后，得到图像，即，从而得到，即可得到结果.【详解】将图像向右平移个单位后，得到图像因为，所以，则，则 ，又因为，所以当k=1时，取得最小值 。故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数的图像变换，考查了函数与方程思想，属于中档题.16.已知二进制和十进制可以相互转化，例如，则十进制数89转化为二进制数为.将对应的二进制数中0的个数，记为（例如：，则，），记，则_【答案】【解析】【分析】根据题意可知所有的数转换为二进制后，总位数都为2019，且最高位都为1，而除最高位之外的剩余2018位中，每一位都是0或者1，从而有在这个数中，转换为二进制后有k个0的数共有个.【详解】由题意得共个数中所有的数转换为二进制后，总位数都为2019，且最高位都为1而除最高位之外的剩余2018位中，每一位都是0或者1设其中的数x，转换为二进制后有k个0（）在这个数中，转换为二进制后有k个0的数共有个由二项式定理，。故答案为：.【点睛】本题考查进位制的转化，考查二项式定理的应用，考查转化能力，属于难题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.已知函数，的内角、的对边分别为、.（1）求的取值范围；（2）若，且，的面积为2，求的值.【答案】（1）；（2）2.【解析】【分析】(1)由题易得，利用正弦函数的图像与性质可得的取值范围；(2)利用，可得，结合余弦定理及三角形的面积公式可得结果.【详解】（1）.由题意，则，.的取值范围为.（2）由题意知：，.又为锐角，.由余弦定理及三角形的面积得，解得.方法二：且，为等腰直角三角形，所以.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18.如图所示，在多面体中，矩形所在平面与直角梯形所在平面垂直，为的中点，且，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】(1)要证平面，即证，构造四边形，证明其为平行四边形即可；(2) 以为原点，分别以、为，轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）证明：如图，取的中点，连结.是的中点，是的中点.，.又，.，.四边形是平行四边形，.又平面，平面.平面.（2）平面平面，平面平面，平面.，.，.如图，以为原点，分别以、为，轴，建立空间直角坐标系，则，.设平面的一个法向量为，则，令，得，.又，.直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查空间向量坐标法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养19.某校要通过选拔赛选取一名同学参加市级乒乓球单打比赛，选拔赛采取淘汰制，败者直接出局。现有两种赛制方案：三局两胜制和五局三胜制。问两选手对决时，选择何种赛制更有利于选拔出实力最强的选手，并说明理由。（设各局胜负相互独立，各选手水平互不相同。）【答案】五局三胜更有利于选拔出实力最强的选手。【解析】【分析】分别求出三局两胜制甲胜的概率和五局三胜制甲胜的概率，由此能得到采用“五局三胜制”对甲有利【详解】甲乙两人对决，若甲更强，则其胜率。采用三局两胜制时，若甲最终获胜，其胜局情况是：“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”.而这三种结局互不相容，于是由独立性得甲最终获胜的概率为：.采用五局三胜制，若甲最终获胜，至少需比赛3局，且最后一局必须是甲胜，而前面甲需胜二局，由独立性得五局三胜制下甲最终获胜的概率为：.而 .因为，所以，即五局三胜的条件下甲最终获胜的可能更大。所以五局三胜制更能选拔出最强的选手。【点睛】本题考查概率的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用20.已知点在抛物线：的准线上，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，.（1）证明：为定值；（2）当点在轴上时，过点作直线，交抛物线于，两点，满足.问：直线是否恒过定点，若存在定点，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）直线过定点 .【解析】【分析】(1) 求导，求得直线PA的方程，将P代入直线方程，求得，同理可知则，是方程x22ax40的两个根，则由韦达定理求得的值，即可求证为定值； (2) 设，.利用点差法可得，同理可得，结合垂直关系可得，又因为，两式作差，可得，从而可得结果.【详解】解：（1）法1：抛物线：的准线为：，故可设点，由，得，所以.所以直线的斜率为.因为点和在抛物线上，所以，.所以直线的方程为.因为点在直线上，所以，即.同理，.所以，是方程的两个根，所以.又，所以为定值.法2：设过点且与抛物线相切的切线方程为，由，消去得，由，化简得，所以.由，得，所以.所以直线的斜率为，直线的斜率为.所以，即.又，所以为定值.（2）存在，由（1）知.不妨设，则，即，.设，.则，两式作差，可得，所以直线的斜率为，同理可得，因为，所以，整理得，又因为，两式作差，可得，从而可得直线的斜率为，所以直线的方程为，化简可得，将代入上式得，整理得.所以直线过定点，即点的坐标为.【点睛】圆锥曲线中定点问题的常见解法（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意21.设函数.（1）若函数有两个不同的极值点，求实数的取值范围；（2）若，且当时，不等式恒成立，试求的最大值.【答案】（1）；（2）4.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，得到a，令h（x），根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）代入a的值，问题转化为k，令F（x）（x2），求出函数的导数，根据函数的单调性求出k的最大值即可【详解】（1）由题意知，函数的定义域为，令，.令，则由题意可知：直线与函数的图像有两个不同的交点.，令则.在上单调递增，在上单调递减，又因为，在上递增，当，；又当，.，又在递减.当，结合，图像易得.实数的取值范围为.（2）当时，.即：，.令，则.令.则.在上单调递增.函数在上有唯一零点，即：.时，.即.当时，的最大值为4.【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想，是一道综合题（二）选考题：共10分。