人教版讲义九年级第二十五章概率初步25.3用频率估算概率

合作探究探究点用频率估计概率知识讲解在相同条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数，可以估计这个事件发生的概率.注意（1)用频率估计概率时，试验一定要在相同的条件下进行,试验次数越多，得到的频率就越准确，规律就越明显，此时可以用频率稳定值估计事件发生的概率.(2)当试验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率. (3)用频率估计得到的概率是个近似值，是大量重复试验基础上的频率的集中趋势值.典例剖析例 从一副没有大小王的52张扑克牌中毎次抽出1张，然后放回洗匀再抽，在抽牌试验中得到下表中部分数据：试验次数 50100150200250300350400出现红桃的频数1330355160769098出现红桃的频率26.0%30.0%2A.0%25.3%24.5%24.5%(1)请将数据表补充完整(所得结果保留三个有效数宇；(2)随着试验次数的增多，出现红桃的频率逐渐稳定为多少(精确到1%)?（3）你能估计从52张牌中任意抽出1张师红桃的概率师多少吗？解析用频率枯计概率时，般是观察所计算的各频率教值的变化趋势，即观察各数值主要集中在哪个常数的附近，这个常数就是所求概率的估计值.答案（1)从左到右，依次填入23. 3%,25.5%,25.7%.(2)随着试验次数的增多，出现红桃的频宇逐渐稳定为 25%.(3)根据题意,可知从52张牌中任意抽出1张是红桃的概枣为 0.25.类题突破 某出版社对其发行的杂志的写作风格进行了 5次“读者问卷调查结果如下：被调査人数/n100015002 00025003000满意人数/m99614961 99624962998满意频率/mn(1)计算表中的各个频率；(2)读各对该杂志满意的概率约是多少？（结果保留小数点一位）答案 （1)0.996 0. ,997 0.998 0.998 0.999(2)由第（1)题的结果知出版社5次“读者问卷调査”中，收到的反馈信息是:读者对该杂志满意的概率约是0.9点拨（1)直接根据频车的计算公式进行计算；（2）根据频率与概率的关系回答。(3)你能估计从52张牌中任意抽出1张是红桃的概率是多率与概率的关系回答重点难点重难点 用频率估计概率的应用1.大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定数值左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率,这个固定的近似值就是这个事件发生的概率.2.用频率估计概率得到的是近似值，随着试验次数的增多，值越来越精确.例 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个，某学习小组做摸球试验，将球搅勻后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复下表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n1001502005008001 000摸到白球的 次数m5896116295484601摸到白球的 次数mn0.580.640.580.590. 6050. 601(1)请估计:当m很大时，摸到白球的频率将会接近.(结果保留小数点后一位)(2)假如你去摸一次,你摸到白球的概率是_，摸到黑球的概率是_;(3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少个；(4)解决了上面的问题，小明同学猛然顿悟，过去一个悬而未决的问题有办法了，这个问题是:在一个不透明的口袋里装有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下,如何估计白球的个数(可以借助其他工具及用品)？请你应用统计与概率的思想和方法解决这个问题，写出解决这个问题的主要步骤及估算方法. 解析 通过试验来估计不确定事件发生的概率大小，通常是在试验次数越多，事件发生的频率值逐渐稳定时，才可以将这个频率的稳定值作为该事件发生的概率.答案（1)由上表可知，当n500时，频率值稳定在0.6左右，由此可知，当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6.(2)摸到白球的概率是0. 6,这时摸到黑球的概率为1 一0.6=0 4.白球个数:200.3=12个，黑球个数:200.4=8(个)或 2012=8(个).（4）方案一：添加：向口袋中添加一定数目的黑球,并充分搅匀；试验:进行大S次数的摸球试验(有返回），记录摸到黑球和白球的次数.分别计算频率，由频率估计概率；估算:黑球个数摸到黑球的概率=球的总个数；球的总个数摸到白球的概率=白球个数方案二：标记:从口袋中摸出一定数目的白球做上标记，然后放回口袋并充分搅匀；实验：进行大量次数的摸球实验（有返回），记录摸到有标记球的次数，计算频率，由频率估计概率；估算：有标记球的个数摸到有标记球的概率=白球的个数。点拨 问题(4)给出了用频率估计概率，再利用概率估计数量的方法，这是曰常生活中较常用的方法，如估计水塘中鱼的总量等问題，可以解决没法数，但又需要知道大约数量的实际问题.类题突破 王老汉为了与客户签订购销合同，对自己池塘中鱼的总质量进行估计，第一次捞出100条，将每条鱼做上记号放人水中；当它们完全混合于鱼群后,又捞出200条,称得质量为416 kg,且带有记号的鱼为20条，估计王老汉的池塘中有多少条鱼，共多少千克？解析 池塘里每一条鱼被捞出来的机会是一样的，做了记球的次数，计算频率，由频率估计概率;记号的鱼占鱼群的比例和捞出的做记号的鱼与捞出鱼教的比值应当一致，由此可估计池塘中的鱼数，从而得出总质董.答案 因为捞出的200条鱼中带有记号的鱼为20条，所以，做记号的鱼被捞出的频率为20200= 0.1.而池塘中共有100条做记号的鱼，所以池塘中总共约有100+0. 1 = 1 000 条鱼.每条鱼的平均质量为416 + 200=2. 08 (kg),所以池塘中鱼的总质量约为1000X2. 08=2 080 (kg).易错指导易错点 误以为事件发生的频率就是概率例 小颖和小红两位同学在学“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）的试验，她们共做了 60次试验，试验的结果如下表：朝上的点数123456出现的次数79682010(1)计算出现“3点朝上”的频率和出现“5点朝上”的概率；(2)小颖说:“根据试验知，一次试验中出现“5点朝上，的概率最大.”小红说:“如果投掷600次，那么出现“6点朝上，的次数正好是100.”小颖、小红的说法正确吗？为什么？错解 出现“3点朝上”的频率是660=110，出现“5点朝上”的概率是2060=13 (2)都正确.因为出现“5点朝上”的概率是2060=13,最大,所以一次试验中出现“5点朝上”的概率最大；因为60次试验中有10次出现“6点朝上”,所以投掷600次出现“6点朝上，的次数正好是600=16600=100次。错因分析 本题出锗的根本原因是混淆了频率和概率，误以为某次试验中事件发生的频率就是概率.只有当试验的次数足够多时，该事件发生的频率才会稳定在该事件发生的概率附近，另一个错误原因是忽视了随机事件的发生具有随机性.正解（1)出现“3点朝上”的频率是660=110,因为骰子质地均匀，所以出现“5点朝上”的概率是16 (2)小颖的说法是错误的，因为出现“5点朝上”的频率最大并不能说明出现“5点朝上”这一事件发生的概率最大，只有试验的次数够多时，该事件发生的频率才会稳定在该事件发生的概率附近