人教版八年级下册数学第18章《平行四边形》讲义第12讲平行四边形－复习训练（有答案）

第12讲 平行四边形复习训练第一部分 知识梳理平行四边形矩形菱形正方形定义有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。有一个角是直角的平行四边形是矩形。有一组邻边相等的平行四边形是菱形。有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形。性质1、对边平行且相等。2、对角相等，邻角互补。3、对角线互相平分1、四个角都是直角。2、对角线相等。1、四条边都相等。2、两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。具有平行四边形、矩形、菱形的所有特征。判定1、定义：2、判定定理：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形。1、定义：2、判定定理：（1）对角线相等的平行四边形是矩形。（2）有三个角是直角的四边形是矩形。1、定义：2、判定定理：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形。（2）对角线互相垂直的四边形是菱形。1、先证明是矩形再证明一组邻边相等。2、先证明是菱形再证一个角是直角。对称中心对称中心对称轴对称图形中心对称轴对称图形中心对称轴对称图形第二部分 考点精讲精练考点一、平行四边形的性质及判定【知识要点】 （1）、平行四边形的边、角、对角线性质， 对称性（2）、平行四边形判定方法（3）、三角形中位线【典型例题】 例1、下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A、菱形 B、矩形 C、正方形 D、平行四边形例2、如图,ABCD与DCFE的周长相等,且BAD=60,F=110,则DAE的度数为 例3、如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BAD的平分线与BC的延长线交于点E,与DC交于点F,且点F为边DC的中点,DGAE,垂足为G,若DG=1,则AE的长为（ ） A、2B、4 C、4 D、8例4、平面直角坐标系中，ABCD的顶点，A，B，D的坐标分别是（0，0）（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（ ） A、（3,7） B、(5,3) C、(7,3) D、 (8,2) xAyBCD （例2） （例3） （例4）例5、如图，E是平行四边形内任一点， 若S平行四边形ABCD8，则图中阴影部分的面积是（ ） A、3 B、4 C、5 D、6例6、如图，将平行四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处。（1）求证：AEAF（2）求证：ABEAGF例7、如图所示：四边形ABCD是平行四边形，DE平分平分试证明四边形BFDE是平行四边形例8、如图，在ABC中，AB4，AC3，BC5，以三边为边，在BC的同侧分别作三个等边三角形即ABD、BCE、ACF。（1）求证：四边形EFAD是平行四边形；（2）求四边形EFAD的面积。举一反三：1、在平行四边形ABCD中，A：B：C：D的值可能是（ ） A、1：2：3：4 B、2：2：3：3 C、2：3：2：3 D、2：3：3：22、顺次连结四边形各边的中点，所成的四边形必定是（ ） A、等腰梯形 B、直角梯形 C、矩形 D、平行四边形3、如图，在ABCD中，AB5，AD8，BAD、ADC的平分线分别交BC于E、F，则EF的长为（ ） A、1 B、2 C、3 D、4 4、如图，在ABCD中，EFAD, GHAB,EF、GH相交于点，则图中共有 个平行四边形 （3） （4）5、如图，ABC 中，ACB=90，点D、E分别为AC，AB中点，点F在BC延长线上，且CDF=A。求证：四边形DECF为平行四边形。6、已知：ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点求证：四边形DEFG是平行四边形7、如图，点O是ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG （1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）若M为EF的中点，OM=3，OBC和OCB互余，求DG的长度8、如图，ABC中AB=AC，点D从点B出发沿射线BA移动，同时，点E从点C出发沿线段AC的延长线移动，已点知D、E移动的速度相同，DE与直线BC相交于点F（1）如图1，当点D在线段AB上时，过点D作AC的平行线交BC于点G，连接CD、GE，判定四边形CDGE的形状，并证明你的结论；（2）过点D作直线BC的垂线垂足为M，当点D、E在移动的过程中，线段BM、MF、CF有何数量关系考点二、矩形的性质及判定【知识要点】 （1）、矩形的边、角、对角线性质， 对称性（2）、矩形判定方法（3）、直角三角形斜边上的中线【典型例题】 例1、下列说法：矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；两条对角线相等的四边形是矩形；有两个角相等的平行四边形是矩形；两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形其中，正确的有（） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个例2、已知如图，在矩形ABCD中有两个一条边长为1的平行四边形则它们的公共部分（即阴影部分）的面积是（ ） A、大于1 B、等于1 C、小于1 D、小于或等于1 例3、如图，两张宽为1cm的矩形纸条交叉叠放，其中重叠部分部分是四边形ABCD,已知BAD=30则重叠部分的面积是 cm （例2） （例3）例4、如图，在ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F ，且AF=BD，连结BF（1）求证：D是BC的中点（2）如果AB=AC ，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论例5、在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PEMC，PFMB，当AB、BC满足什么条件时，四边形PEMF为矩形例6、如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于一点O，AE平分BAD,若EAO=15,求BOE的度数例7、（1）如图1，经历矩形性质的探索过程，你可以发现：直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半如在RtABC中CD是斜边AB的中线，则CD=AB，你能用矩形的性质说明这个结论吗？（2）利用上结论述解答下列问题：如图2所示，四边形ABCD中，A=90，C=90，EF分别是BD、AC的中点，请你说明EF与AC的位置关系（提示：连接AE、CE）例8、如图，在ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MNBC设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论举一反三：1、如图，在矩形ABCD中，ADBC，AC与BD交于点O，则图中面积相等的三角形有（ ） A、4对 B、5对 C、6对 D、8对2、矩形各内角的平分线能围成一个（） A、矩形 B、菱形 C、等腰梯形 D、正方形3、将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，BAE30，AB，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处则BC的长为（ ）A、 B、2 C、3 D、 （1） （2）4、如图，矩形的面积为5，它的两条对角线交于点，以、为两邻边作平行四边形，平行四边形的对角线交于点，同样以、为两邻边作平行四边形，依次类推，则平行四边形的面积为（ ） A、 B、 C、 D、5、如图所示，E是矩形ABCD边AD上一点，且BE=ED，P是对角线BD上任一点，PFBE，PGAD，垂足分别为F，G试探索线段PF，PG，AB之间的数量关系，并证明之6、如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO，且ABC+ADC=180（1）求证：四边形ABCD是矩形 （2）若ADF：FDC=3：2，DFAC，则BDF的度数是多少？7、如图1，已知ABCD，AB=CD，A=D （1）求证：四边形ABCD为矩形； （2）E是AB边的中点，F为AD边上一点，DFC=2BCE 如图2，若F为AD中点，DF=1.6，求CF的长度：如图2，若CE=4，CF=5，则AF+BC= ，AF= 考点三、菱形的性质及判定【知识要点】 （1）、菱形的边、角、对角线性质， 对称性（2）、菱形判定方法（3）、菱形面积问题（等面积法）【典型例题】 例1、菱形相邻两角的比为1:2，那么菱形的对角线与边长的比为（ ） A、1:2:3B、1:2:1 C、1:2 D、1:1例2、如图，在ABC中，点D在BC上过点D分别作AB、AC的平行线，分别交AC、AB于点E、F如果要得到矩形AEDF，那么ABC应具备条件： ；如果要得到菱形AEDF，那么ABC应具备条件： 例3、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CEBD，DEAC，若AC=4，判断四边形CODE的形状，并计算其周长例4、如图，凸五边形ABCDE中，A=B=120，EA=AB=BC=2，CD=DE=4，则它的面积是多少？例5、如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于N，连接MN，DN（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB=6，BC=8，求MD的长例6、如图，AE=AF，点B、D分别在AE、AF上，四边形ABCD是菱形，连接EC、FC； （1）求证：EC=FC； （2）若AE=2，A=60，求AEF的周长例7、已知：如图，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AGDB交CB的延长线于G （1）求证：ADECBF； （2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论例8、如图，平行四边形中，对角线相交于点，将直线绕点顺时针旋转，分别交于点（1）证明：当旋转角为时，四边形是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段与总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时绕点顺时针旋转的度数举一反三：1、已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm，则菱形的面积为（ ） A、 B、 C、 D、2、下列给出的条件能判断一个四边形是菱形的是（ ） A、有一组对边平行且相等，有一个角是直角 B、有一组对边平行，另一组对边相等，两条对角线互相垂直 C、两组对边分别相等，且有一组邻边相等 D、一组邻边相等，一组对角相等，一组对边相等3、如图，E是等边ABC的BC边上一点，以AE为边作等边AEF，连接CF，在CF延长线取一点D，使DAF=EFC试判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论4、如图,在RtABC中，ACB=90，BAC=60，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E.又点F在DE的延长线上，且AF=CE.求证：四边形ACEF是菱形.5、如图，矩形中，是与的交点，过点的直线与的延长线分别交于（1）求证：；（2）当与满足什么关系时，以为顶点的四边形是菱形？证明你的结论FDOCBEA6、已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，BAF=DAE（1）求证：AE=AF；（2）若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求证：AEF为等边三角形7、已知：如图，在中，AE是BC边上的高，将沿方向平移，使点E与点C重合，得（1）求证：；（2）若，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形是菱形？证明你的结论ADGCBFE8、已知，一张矩形纸片ABCD的边长分别为9cm和3cm，把顶点A和C叠合在一起，得折痕EF（如图）（1）猜想四边形AECF是什么四边形，并证明你的猜想（2）求折痕EF的长考点四、正方形的性质及判定【知识要点】 （1）、正方形的边、角、对角线性质， 对称性（2）、正方形判定方法【典型例题】 例1、如果一个平行四边形要成为正方形，需增加的条件是（） A、对角线互相垂直且相等 B、对角线互相垂直 C、对角线相等 D、对角线互相平分例2、在正方形ABCD所在的平面上，到正方形三边所在直线距离相等的点有（ ） A、3个 B、4个 C、5个 D、6个例3、如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作MEA C，MFAD，垂足分别为E、F（1）求证：CAB=DAB；（2）若CAD=90，求证：四边形AEMF是正方形例4、已知：如图，ABC中，D是BC上任意一点，DEAC，DFAB试说明四边形AEDF的形状，并说明理由连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？在的条件下，当ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，不说明理由例5、如图所示，顺次延长正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，且使BE=CF=DG=AH求证：四边形EFGH是正方形例6、四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF（1）求证：ADEABF；（2）若BC=8，DE=6，求AEF的面积例7、如图所示，有四个动点P，Q，E，F分别从正方形ABCD的四个顶点出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样速度向B，C，D，A各点移动（1）试判断四边形PQEF是否是正方形，并证明；（2）PE是否总过某一定点，并说明理由例8、如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点（1）求证：四边形EGFH是菱形；（2）若AB=1，则当ABC+DCB=90时，求四边形EGFH的面积例9、正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PEBC于E，PFDC于F. (1)当点P与点O重合时(如图)，猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论； (2)当点P在线段DB上 (不与点D、O、B重合)时(如图)，探究(1)中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)当点P在DB的长延长线上时，请将图补充完整，并判断(1)中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论.举一反三：1、以A、B两点做其中两个顶点作位置不同的正方形，可作（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个2、四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：AB=AD；DAB=90；AO=CO，BO=DO；矩形ABCD；菱形ABCD，正方形ABCD，则在下列推理不成立的是（ ） A、 B、 C、 D、3、如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF,AE、BF相交于点O,下列结论AE=BF；AEBF；AO=OE；SAOB=S四边形DEOF（S表示面积）中，正确的有（ ）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个4、如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（ ） A、16 B、17 C、18 D、195、如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是 （3） （4） （5）6、如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AFBE（1）求证：AF=BE；（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MPNQMP与NQ是否相等？并说明理由7、已知：如图正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF ；（1）求证：BCEDCF；（2）若FDC=30，求BEF的度数8、如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且CE=CD，过点E作EFAC交AD于点F，连接BE（1）求证：DF=AE； （2）当AB=2时，求BE2的值第三部分 课后作业1、.已知四边形ABCD中,AC交BD于点O,如果只给条件“ABCD”,那么还不能判定四形ABCD为平行四边形,给出以下四种说法:（1）如果再加上条件“BC=AD”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;（2）如果再加上条件“”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;（3）如果再加上条件“AO=OC”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;（4）如果再加上条件“”,那么四边形ABCD一定是平行四边形其中正确的说法是（ ） A、(1)(2) B、(1)(3)(4) C、(2)(3) D、(2)(3)(4)2、如图,直线, A是直线上的一个定点,线段BC在直线上移动,那么在移动过程中的面积（ ）A、变大 B、变小 C、不变 D、无法确定3、如图,矩形ABCD沿着AE折叠,使D点落在BC边上的F点处,如果,则 等于（ ）A、 B、 C、 D、 ABC （2） （3）4、图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），则第n个图形的周长是（ ） A、 B、 C、 D、5、如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（ ） A、2 B、 C、 D、6 6、如图，正方形ABCD中，AB6，点E在边CD上，且CD3DE将ADE沿AE对折至AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF下列结论：ABGAFG；BGGC；AGCF；SFGC3其中正确结论的个数是（ ） A、1 B、2 C、3 D、4 11 （5） （6） （8）7、把“直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形”填入下列相应的空格上.（1）正方形可以由两个能够完全重合的 拼合而成;（2）菱形可以由两个能够完全重合的 拼合而成;（3）矩形可以由两个能够完全重合的 拼合而成.8、根据图中所给的尺寸和比例,可知这个“十”字标志的周长为 .9、如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形是平行四边形，并予以证明（写出一种即可）关系：，已知：在四边形中，；求证：四边形是平行四边形ABCD10、如图所示，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD上两点，连接AE，BF，请你再从下面四个反映图中边角关系的式子：AB=BC；BE=CF；AE=BF；AEB=BFC中选出两个作为已知条件，一个作为结论，组成一个命题，并证明这个命题是否正确（只需写出一种情况） 11、在RtABC中，ACB=90CDAB于点D，ACD=3BCD，点E是斜边AB的中点，求ECD的度数。12、如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连结AE、BD且AE=AB（1）求证：ABE=EAD；（2）若AEB=2ADB，求证：四边形ABCD是菱形13、已知：如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE分别交DC，BD于F，G，点H为EF的中点求证：（1）DAG=DCG； （2）GCCH14、如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，AGCD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG（1）求证：四边形DEGF是平行四边形；（2）当点G是BC的中点时，求证：四边形DEGF是菱形15、如图，已知点在的边上，交于，交于（1）求证：；（2）若平分，试判断四边形的形状，并说明理由；（3）在(2)的条件下,当AB、BC满足什么条件时, 四边形是正方形，并说明理由EAFCDB第12讲 平行四边形复习训练参考答案第二部分 考点精讲精练考点一、平行四边形的性质及判定【典型例题】 例1、D 例2、25例3、B例4、C例5、B例6、例7、例8、举一反三：1、C2、D3、B4、95、6、7、8、考点二、矩形的性质及判定【典型例题】 例1、A例2、C例3、2例4、例5、解：AB=BC时，四边形PEMF是矩形在矩形ABCD中，M为AD边的中点，AB=BC，AB=DC=AM=MD，A=D=90，ABM=MCD=45， BMC=90，又PEMC，PFMB，PFM=PEM=90， 四边形PEMF是矩形例6、例7、例8、举一反三：1、D2、D3、C4、C5、6、7、考点三、菱形的性质及判定【典型例题】 例1、D例2、BAC=90； AD平分BAC例3、解：CEBD，DEAC，四边形CODE是平行四边形，四边形ABCD是矩形，AC=BD=4，OA=OC，OB=OD，OD=OC=AC=2，四边形CODE是菱形，四边形CODE的周长为：4OC=42=8 故答案为：8例4、解：如图，延长EA，BC相交于点F，CGEF于G，BHEF于H，因为EAB=CBA=120，所以FAB=FBA=60，所以FAB为等边三角形，AF=FB=AB=2，所以CD=DE=EF=FC=4， 所以四边形EFCD是菱形，所以SABCDE=SCDEFSABF 例5、（1）证明：四边形ABCD是矩形，ADBC，A=90，MDO=NBO，DMO=BNO，在DMO和BNO中，DMOBNO（ASA），OM=ON，OB=OD，四边形BMDN是平行四边形，MNBD，平行四边形BMDN是菱形（2）解：四边形BMDN是菱形，MB=MD，设MD长为x，则MB=DM=x，在RtAMB中，BM2=AM2+AB2即x2=（8x）2+62，解得：x= 答：MD长为例6、（1）证明：如图，连接AC，四边形ABCD是菱形，CAE=CAF，在ACE和ACF中，ACEACF（SAS），EC=FC；（2）解：连接EF，AE=AF，A=60，AEF是等边三角形，AEF的周长=3AE=32=6例7、例8、举一反三：1、D2、C3、解：四边形ABCD是菱形证明：在ABE、ACF中AB=AC，AE=AFBAE=60EAC，CAF=60EACBAE=CAFBAECAFCFA=CFE+EFA=CFE+60BEA=ECA+EAC=EAC+60EAC=CFEDAF=CFEEAC=DAFAE=AF，AEC=AFDAECAFDAC=AD，且D=ACE=60ACD和ABC都是等边三角形四边形ABCD是菱形4、5、6、7、8、考点四、正方形的性质及判定【典型例题】 例1、A例2、C例3、（1）证明：AB是CD的垂直平分线，AC=AD，又ABCDCAB=DAB（等腰三角形的三线合一）；（2）证明：MEA C，MFAD，CAD=90，即CAD=AEM=AFM=90，四边形AEMF是矩形，又CAB=DAB，MEA C，MFAD，ME=MF，矩形AEMF是正方形例4、解：DEAC，DFAB，四边形AEDF为平行四边形；四边形AEDF为菱形，AD平分BAC，则AD平分BAC时，四边形AEDF为菱形；由四边形AEDF为正方形，BAC=90，ABC是以BC为斜边的直角三角形即可例5、证明：四边形ABCD是正方形，AB=BC=CD=DA，EBF=HAE=GDH=FCG，又BE=CF=DG=AH，CG=DH=AE=BFAEHCGFDHG，EF=FG=GH=HE，EFB=HEA，四边形EFGH为菱形，EFB+FEB=90，EFB=HEA，FEB+HEA=90，四边形EFGH是正方形例6、（1）证明：四边形ABCD是正方形，AD=AB，D=ABC=90，而F是CB的延长线上的点， ABF=90，在ADE和ABF中，ADEABF（SAS）；（2）解：BC=8，AD=8，在RtADE中，DE=6，AD=8，AE=10，ABF可以由ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90得到，AE=AF，EAF=90，AEF的面积=AE2=100=50例7、解：（1）在正方形ABCD中，AP=BQ=CE=DF，AB=BC=CD=DA，BP=QC=ED=FA又BAD=B=BCD=D=90，AFPBPQCQEDEFFP=PQ=QE=EF，APF=PQB四边形PQEF是菱形，FPQ=90，四边形PQEF为正方形（2）连接AC交PE于O，AP平行且等于EC，四边形