曲线曲面积分习题课.ppt

第二类曲线积分,第一类曲面积分,第二类曲面积分,第一类曲线积分,线面积分总结,曲线积分,曲面积分,对面积的 曲面积分,对坐标的 曲面积分,对弧长的 曲线积分,对坐标的 曲线积分,定义,计算,定义,计算,（一）曲线积分与曲面积分,曲 线 积 分,对弧长的曲线积分,对坐标的曲线积分,定义,联系,计 算,三代一定,二代一定 (与方向有关),与路径无关的四个等价命题,条件,等 价 命 题,曲 面 积 分,对面积的曲面积分,对坐标的曲面积分,定义,联系,计 算,一代,二换,三投(与侧无关),一代,二投,三定向 (与侧有关),曲线积分的计算法,1. 基本方法,曲线积分,第一类 ( 对弧长 ),第二类 ( 对坐标 ),(1) 统一积分变量,定积分,用参数方程,用直角坐标方程,用极坐标方程,(2) 确定积分上下限,第一类: 下小上大,第二类: 下始上终,（3）计算,直接计算法,第一类：从小参数到大参数；,第二类：从起点参数到终点参数。,化为对L的定位参数的定积分。,注意：,先化简；,间接计算法：,第二类与定向有关。,用两类曲线积分的联系；,用Green公式或Stokes公式；,两类曲线积分之间的联系：,其中,（可以推广到空间曲线上 ）,(1) 利用对称性及重心公式简化计算 ;,(2) 利用积分与路径无关的等价条件;,(3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ;,(4) 利用斯托克斯公式 ;,(5) 利用两类曲线积分的联系公式 .,2. 基本技巧,第一类曲线积分的几何与物理意义 -并注意求曲面侧面积时面积微元的选取.,2、曲面积分,两类曲面积分的联系,曲面的法向量的方向余弦为,向量点积法,曲面的投影问题:,计算,直接计算法,第一类：化为对某两个直角坐标（的定位参 数）的二重积分；,第二类：将对x、y的曲面积分化为对x、y的二重积分。,注意：,先化简；,间接计算法,用两类曲面积分的联系；,用高斯公式,第二类与定向有关。,(1) 统一积分变量 代入曲面方程,(2) 积分元素投影,第一类: 始终非负,第二类: 有向投影,(3) 确定二重积分域, 把曲面积分域投影到相关坐标面,2. 基本技巧,(1) 利用对称性及重心公式简化计算,(2) 利用高斯公式,注意公式使用条件,添加辅助面的技巧,(辅助面一般取平行坐标面的平面),(3) 两类曲面积分的转化,例1,解,例2,解,由对称性, 知,其中由平面 y = z 截球面,提示: 因在 上有,故,原式 =,从 z 轴正向看沿逆时针方向.,例3,计算,其中L为圆周,提示: 利用极坐标 ,原式 =,说明: 若用参数方程计算,则,例4,例5,解,例6. 计算,其中 为曲线,解: 利用轮换对称性 , 有,利用重心公式知,(的重心在原点),求力,沿有向闭曲线 所作的,功, 其中 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三,提示:,方法1,从 z 轴正向看去沿顺时针方向.,利用对称性,角形的整个边界,例7.,设三角形区域为 , 方向向上,则,方法2,利用斯托克斯公式,思路:,闭合,非闭,闭合,非闭,补充曲线再用公式,解,解,例10,解,例11,解,解,例 13,解,例 14,解,（左右两片投影相同）,例 15,解,例 16,h,a,Dxy,解：,引入极坐标,=,.,.,1,1,.,1,解：,例 17,解：,下侧为负侧。,R, I =,.,用极坐标.,这是定积分，,.,., I =,.,例 18,a,b,c,解：,由本题变量字母的轮序对称性知：,.,例 19,2,1,2,1,解：,I =,.,例 20,例21 计算曲面积分,其中,解:,三、 各种积分之间的联系,定积分,二重积分,积分概念的联系,曲面积分,曲线积分,三重积分,计算上的联系,线面关系,理论上的联系,1. 定积分与不定积分的联系,牛顿-莱布尼茨公式,2. 二重积分与曲线积分的联系,格林公式,3. 三重积分与曲面积分的联系方向,高斯公式,4. 曲面积分与曲线积分的联系,斯托克斯公式,定积分,曲线积分,重积分,曲面积分,计算,计算,计算,Green公式,Stokes公式,Guass公式,附、 各种积分之间的联系图,梯度,通量,旋度,环流量,散度,三、场论初步,证明题,证明: 设,(常向量),则,单位外法向向量,试证,特例 设 是曲面,解: 取足够小的正数, 作曲面,取下侧,使其包在 内,为 xo