离散型随机变量的数学期望.ppt

离散型随机变量的数学期望,A, B两人赌技相同，各押赌注32个金币，规定先胜三局者为胜,赌博进行了一段时间，A赌徒已胜2局，B赌徒胜1局，发生意外，赌博中断。,A赌徒,B赌徒,实力相当,一、创设情境 引入新课,两人该如何分这64金币？,1、有12个西瓜，其中有4个重5kg，3个重6kg，5个重7kg，求西瓜的平均质量。,解：西瓜的平均质量为12个西瓜的总质量除以西瓜的总个数，即：,二、互动探索,上式也可以写成：,由上式可知，平均质量等于各个质量乘相应的比例再求和。,问题1：混合后，每1kg糖的平均价格为多少？,问题2：若在混合糖果中任取一粒糖果，用随机变量 X表示这颗糖果的单价（元/kg），写出X的 分布列。,2、某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？,36,24,18,问题3: 作为顾客，买了1kg糖果要付23元，而顾客 买的这1kg糖果的真实价格一定是23元吗？,一、离散型随机变量取值的均值,一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：,则称,为随机变量X的均值或数学期望。,它反映了离散型随机变量取值的平均水平。,1、随机变量X的概率分布为：,求X的数学期望。,2、A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出现的次品的概率如下表所示：,A机床：,B机床：,问：哪一台机床加工质量较好？,3、A, B两人赌技相同，各押赌注32个金币，规定先胜三局者为胜,赌博进行了一段时间，A赌徒已胜2局，B赌徒胜1局，发生意外，赌博中断。两人该如何分配这64个金币？,问题3：离散型随机变量X的期望与X可能取值的算术平均数相同吗？,期望的计算是从概率分布出发，因而它是概率意义下的平均值。随机变量X取每个值时概率不同导致了期望不同于初中所学的算术平均数。,问题4：离散型随机变量X的期望与X可能取值的算术平均数何时相等？,例1：随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数X的期望。,变式：将所得点数的2倍加1作为得分数，即Y=2X+1，试求Y的 期望？,所以随机变量Y的均值为:,设YaXb，其中a，b为常数，则Y也是随机变量 （1） Y的分布列是什么？ （2） E(Y)=？,思考：,YaXb,一、离散型随机变量取值的均值,二、随机变量数学期望的性质（线性性质）,即时训练：,1、随机变量X的分布列是,(1)则E(X)= .,2、随机变量的分布列是,2.4,(2)若Y=2X+1，则E(Y)= .,5.8,E（）=7.5,则a= b= .,0.4,0.1,例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？,一般地，如果随机变量X服从两点分布，,则,三、例题讲解,两点分布的期望,三、例题讲解,变式1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他连续罚球3次的得分X的均值是多少？,分析： XB（3，0.7）,例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？,三、例题讲解,变式2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为p，则他连续罚球n次的得分X的均值是多少？,X的分布列如下：,分析： XB（n，p）,则 .,证明：,证明：若XB(n，p)，则EXnp,2；一般地，如果随机变量X服从二项分布，即XB（n,p），则E(X)=np,结论：,1；一般地，如果随机变量X服从 两点分布（1，p)，则E(X)p,3， 一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球，从中有放回地取5次，则取到红球次数的数学期望是 .,3,即时训练：,4，随机变量XB（8，p），已知X的均值E(X)=2，则P（x=3)= .,例2.一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球，从中摸出3个球. （1）求得到黄球个数的分布列； （2）求的期望。,小结：,一般地,如果随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布,则,超几何分布的数学期望,例3. 假如你 是一位商场经理，在五一那天想举行促销活动，根据统计资料显示，若在商场内举行促销活动，可获利2万元；若在商场外举行促销活动，则要看天气情况:不下雨可获利10万元，下雨则要损失4万元。气象台预报五一那天有雨的概率是40%，你应选择哪种促销方式？,解：设商场在商场外的促销活动中获 得经济效益为X万元，则X的分布列为,0.4,0.6,4,10,E X = 100.6(4) 0.4 = 4.4万元,2万元,故应选择在商场外搞促销活动。,例4：一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项.其中仅有一个选项正确，每题选对得5分.不选或选错不得分，满分100分.学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个.分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.,思路分析：,解：,设学生甲和学生乙在这次单元测验中选对的题数分别是X1和X2，则,X1B(20，0.9)， X2B(20，0.25)，,EX1200.918，,EX2200.255,由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5X1和5X2。所以，他们在测验中的成绩的期望分别是,E(5X1)5EX151890，,E(5X2)5EX25525,试问哪个射手技术较好?,谁的技术比较好?,解,故甲射手的技术比较好.,反思：1、用定义求随机变量均值的一般步骤：,1）找出随机变量的可能取值；,反思：2、求随机变量均值的一般方法：,1）利用定义求均值；,2）求出分布列,3）利用定义（公式）求均值。,2）利用线性性质求均值。,3）两点分布，二项分布直接用公式求均值。,（广东卷17）（本小题满分13分） 随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元设1件产品的利润（单位：万元）为X （1）求X的分布列； （2）求1件产品的平均利润（即X的数学期望）； （3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？,高考链接：,【解析】（1）X的所有可能取值有6，2，1，-2； ， ， , 故的分布列为：,（2）,（3）设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为 依题意， ，即 ，解得 所以三等品率最多为3%,归纳总结,应用,概念,步骤,期望的概念,期望为我们提供了实际问题决策的理论依据。,求期望的三个步骤,方法,求期望的三种方法,随机变量的均值与样本平均值有何区别和联系？,区别：随机变量的均值是一个常数，而样本平均值随着样本的不同而变化的，是一个随机变量。 联系：随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体均值（随机变量的均值）。,布置作业,谢谢,！,(2010衡阳模拟)一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有n件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收抽检规则是这样的：一次取一件产品检查(取出的产品不放回箱子)，若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品 (1)若这箱产品被用户接收的概率是 ，求n的值； (2)在(1)的条件下，记抽检的产品次品件数为X，求X的分布列和数学期望,作业：,【解】 (1)设“这箱产品被用户接收”为事件A， n2. (2)X的可能取值为1,2,3.,P(A)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,X的概率分布列为：,1(2010河南六市联考)甲、乙、丙、丁四人参加一家公司的招聘面试公司规定面试合格者可签约甲、乙面试合格 就签约；丙、丁面试都合格则一同签约，否则两人都不签 约设每人面试合格的概率都是 ，且面试是否合格互不影响求： (1)至少有三人面试合格的概率； (2)恰有两人签约的概率； (3)签约人数的数学期望,解：(1)设“至少有3人面试合格”为事件A， 则P(A) (2)设“恰有2人签约”为事件B， “甲、乙两人签约，丙、丁两人都不签约”为事件B1； “甲、乙两人都不签约，丙、丁两人签约”为事件B2； 则：BB1B2 P(B)P(B1)P(B2),(3)设X为签约人数 X的分布列如下：,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,实例6,解,【4】编号1，2，3的三位学生随意入座编号1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生人数