数学建模培训Matlab.ppt

Matlab软件的使用,主要内容,一、Matlab初步 Matlab环境 Matlab语言 Matlab矩阵 Matlab程序设计 二、 Matlab绘图 二维作图 三维作图 其它作图 三、数据分析 数据的导入导出 多项式的处理 插值与拟合 四、方程求解与优化问题求解 方程求解 无约束问题求解（极值与最值） 约束问题求解,一、Matlab初步,Matlab的历史 Matlab是Matrix和Laboratory的组合 八十年代初：作为免费软件，C语言编写 现已发展成为适合众多学科、多种工作平台的功能强劲的大型软件。 Matlab的构成 Matlab的语言、Matlab的工作环境、Matlab的工具箱、Matlab的API Matlab的特点 数值运算全面、表示方法简单、丰富的工具箱 Matlab的目录结构 开放的编程系统 大部功能是通过后缀为.m的文本文件实现的,1、MATLAB环境,工作界面的显示属性调整,“File”|”Preferences”选项,命令窗口(Command Window),输入及运行 分号的作用 命令窗口常用快捷键,工作界面,历史命令窗口（Command History） 记录用户在Matlab命令窗口中输入的所有的命令 包括每次启动Matlab的时间和运行的所有命令行 单击右键，对历史命令进行编辑（剪切/复制/运行/创建m文件/快捷方式/profile code等） 工作空间浏览器（Workspace Browser） 运行Matlab的程序或命令所生成的所有变量和Matlab提供的常量构成的空间 查询和编辑已定义变量 通过右键菜单进行编辑或绘图等相关操作 who(whos)、 clear、save命令 查看、清除、保存工作空间的所有变量 程序编辑窗口（Editor） 一个内置的具有编辑和调试功能的程序编辑器,工作界面,当前目录窗口（Current Directory） MATLAB搜索路径机制和搜索顺序 修改Matlab的搜索路径 查看任一路径下的所有文件 添加自己的搜索路径 MATLAB当前目录 Matlab的帮助系统 输入帮助命令（help、lookfor、demo） 通过“Help”菜单,工作界面,2、Matlab语言,变量:字母开头的数字、字母、下划线序列 长度不超过63个字符，区分大小写 特殊变量与常量列表,语言初步,数据类型,MATLAB的数据类型 数值型（整型、单精度型、双精度型、复数类型） 逻辑型 字符型（单引号括起来的一个或多个字符） 函数句柄 MATLAB的数据结构 矩阵、数组 表现形式相同，用方括号作为界定符 运算不同，数组运算针对每个元素 结构体 每个域可保存不同维数、不同类型的数据 使用点号“.”运算 元胞（单元）数组 各单元可保存不同维数、不同类型的数据 使用大括号,语言初步,基本函数,语言初步,运算符,(1)算术运算 基本运算: + - * /(右除) (左除) 点运算(数组运算): + - .* ./ . . (2)关系运算 运算符：、=、=、= 两个标量比较，直接比较，结果为1或0; 两个同维矩阵比较，按对应元素比较，结果是0、1矩阵； 标量和矩阵比较，标量与矩阵每一元素比较，结果是0、1矩阵。 (3)逻辑运算 运算符：&、|、 捷径运算符： &、|,数据输出格式,format 命令指定 数值型数据的输出格式,3、矩阵_生成,Matlab运算的基本单元是矩阵 (1)行向量的生成 直接生成 矩阵元素列入方括号中,元素之间用逗号或空格分隔 利用冒号生成行向量 格式1：初值:终值 产生从初值开始到终值结束增量为1的行向量 格式2：初值:步长:终值 产生从初值开始到终值结束增量为步长的行向量 利用linspace函数生成向量 格式：linspace(a,b,n) 生成n个元素的行向量，元素在a,b之间平均分布，n的默认值为100.,向量和矩阵,矩阵_生成,(2)矩阵的生成 直接生成: 矩阵元素列入方括号中,元素之间用逗号或空格分隔,行与行之间用分号分开 通过函数zeros、ones、rand、randn 分别产生元素全为零、全为1、随机数、正态分布随机数的矩阵 通过函数Compan、hilb、magic、pascal 分别产生伴随阵、Hilbert阵、魔方阵、Pascal阵 通过函数eye产生单位矩阵,矩阵_处理,(1)矩阵元素的引用 格式1：A(u,v) 其中u,v的取值：向量、标量 A(i,j)、A(i,:) 、A(:,j)、A(m1:m2,n1:n2) 格式2：A(n) 矩阵一个按列优先排列的列向量,A(n)表示序号为n的元素 格式3：A(逻辑数组) A(A10) (2)矩阵元素的修改 A(i,j)=新值 A(m1:m2,n1:n2)=B 注意B的行数与列数与A中相应的块匹配 (3)矩阵维数的缩维（删除行与列） A(:,n)= A(n,:)= (4)矩阵维数的扩维 A(i,j)=值 i(j)的值大于行数(列数),向量和矩阵,矩阵_操作,矩阵的大小 size(A)、length(A) 分别返回行列数、行列中大的数 改变矩阵的形状 reshape(A,m,n) 将矩阵调整为m行n列 构造对角阵和三角矩阵 diag(A),diag(v) 提取对角线无素组成列向量、以向量作对角线元素产生对角矩阵 tril(A),triu(A) ：提取下三角矩阵、提取上三角矩阵 矩阵的转置与旋转 rot90(A)：逆时针旋转90度 flipud(A),fliplr(A)： 分别将矩阵上下翻转、左右翻转 行列式、逆、秩、迹 det、inv、rank、trace 特征值和特征向量 Eeig(A) 求A的特征值 V,D=eig(A) 求A的特征值和特征向量,向量和矩阵,数集_操作,数集在MATLAB中表现为元素互斥的向量 数集的交、并、余 intersect、union、setdiff 判断元素是否属于数集 ismember 去掉数集中重复的元素 unique,向量和矩阵,4、Matlab程序设计,用Matlab语言编写的可在Matlab中运行的程序,称为M文件。 扩展名为.m，可用任何文本编辑器编辑 种类：命令文件(脚本文件)、函数文件,基本语句 input(string) pause pause(n) break return disp,条件语句 if 语句 swhich语句 switch e case c1 语句1 case c2 语句2 otherwise 语句 end c1,c2的值若有多个用“”隔开或用大括号括起来。,循环语句 forend循环 for 变量=矩阵 循环体 end 矩阵为向量,将元素依次赋给变量,否则将矩阵每一列赋给变量 whileend循环 while 表达式e 语句块 end,命令文件,命令文件是包含一系列MATLAB语句的简单文件 它不接受输入参数，输出结果返回在命令窗口 变量保存在工作空间中 运行方式： 命令窗口中输入命令文件的文件名 编辑窗口中选中部分内容，通过菜单可运行 例：随机产生20个两位整数，将小于平均值的偶数输出。 %ls.m t=floor(10+10*rand(1,20); m=mean(t); t(tm & rem(t,2),例： %ffibno.m f=1,1;i=1; while f(i)+f(i+1)1000 f(i+2)=f(i)+f(i+1);i=i+1; end f,i 例：当n=1000时，求1/4+1/16+1/(4n)的值。 方法 s=0; for i=1:1000 s=s+1/4i; end disp(s); 方法 t=1:1000; sum(1/4).t) 方法2属于向量法，较方法1优,函数文件,函数文件是按照一定格式编写的M文件，也称为永久性函数。 使用自已的局部变量，接受输入参数，也能返回输出参数 定义 function y1,y2,=函数名(n1,n2,) 注释说明部分：%开头 函数体：包括进行运算和赋值操作的所有Matlab代码 保存：一般以函数名为文件名保存为.m文件 调用： 输出参数表=函数名(输入参数表） stat(1 2 3 4) m,s=stat(1 2 3 4),function f=ffibno(n) % FFIBNO % f=ffibno(n) % 2003/5/20 f=1,1;i=1; while f(i)+f(i+1)n f(i+2)=f(i)+f(i+1); i=i+1; end,function mean, stdev = stat(x) n=length(x); mean = sum(x)/n; stdev = sqrt(sum(x-mean).2)/n);,临时函数 临时性函数又包括内联函数和匿名函数。 内联函数由inline函数建立，其格式为： f=inline(expr,arg1,arg2,.) 例：f1=inline(sin(x)*cos(y) , x, y) ; y=f1(pi/8,pi/9) 匿名函数由符建立，其格式为： f= (arg1,arg2,.) expr 例：f2= (x,y)sin(x)*cos(y) ; y=f2(pi/8,pi/9),2006年B题,% z=load(z1.txt); s=zeros(1,5); n=zeros(1,5); for i=1:length(z) if(z(i,2)=0 |z(i,2)=1) s(1)=s(1)+z(i,3);n(1)=n(1)+1; elseif (z(i,2)=2 disp(t),二、Matlab绘图,1、二维图形 plot(y)、plot(x,y)、plot(x,y,选项) x与y为向量 x作为横坐标,y作为纵坐标,绘制连线图 y为有一维与向量x同维的矩阵 绘制多条色彩不同的连线图 x=linspace(0,2*pi,100); y=sin(x);1+sin(x);2+sin(x); plot(x,y) x,y均为矩阵 各取列向量,绘制多条色彩不同的连线图 x1=linspace(0,2*pi,100); x2=linspace(0,3*pi,100); x3=linspace(0,4*pi,100); x=x1;x2;x3; y=sin(x1);1+sin(x2);2+sin(x3); plot(x,y),二维图形,plot(x1,y1,x2,y2,) plot(x1,y1,选项1,x2,y2,选项2,) 每对x、y按选项要求绘制曲线 选项为单引号作为定界符的字符序列,用来控制线型、颜色、数据点和标记符等 x=linspace(0,2*pi,100); y1=sin(x); y2=1+sin(x); y3=2+sin(x); plot(x,y1,r,x,y2,g,x,y3,b),二维图形,设置曲线的样式,二维图形,例: x=linspace(0,2*pi,1000); y1=0.2*exp(-0.5*x).*cos(4*pi*x); y2=2*exp(-0.5*x).*cos(pi*x); k=find(abs(y1-y2)1e-2); x1=x(k); y3=0.2*exp(-0.5*x1).*cos(4*pi*x1); plot(x,y1,x,y2,k:,x1,y3,bp);,图形保持与图形窗口,图形保持(同一绘图窗口陆续添加图形) hold on|off 例 将上述三个图形依次添加到同一窗口中 plot(x,y1); hold on; plot(x,y2,k:); plot(x1,y3,bp); 图形窗口的创建(不同的图形在不同窗口显示) figure 新建绘图窗口 figure(n) 将第n个窗口作为当前窗口 例 将上述三个图形在不同的窗口中显示 plot(x,y1); figure; plot(x,y2,k:); figure; plot(x1,y3,bp);,二维图形,子图形的创建和控制,subpolt(m,n,p) 把图形窗口分成m*n个小区域，并指定第p个为当前的绘制区域 例 t=0:pi/20:2*pi; subplot(2,2,1); plot(cos(t),sin(t); subplot(2,2,2); plot(t,sin(t); subplot(2,2,3); z=sin(t).*cos(t); plot(t,z) ; subplot(2,2,4); z=sin(t).3+cos(t).3; plot(t,z); subplot(111) 将绘图窗口还成原成一个,二维图形,图形标注和坐标控制,图标标注 title(字符串) xlabel(字符串)、ylabel(字符串) text(x,y,字符串) 纵横比的调整 axis square axis equal axis normal t=0:0.1:2*pi;plot(sin(t),2*cos(t) 坐标系的调整 axis on|off 格式：axis(xmin,xmax,ymin,ymax) 例： x=0:1/3000:1;y=cos(tan(pi*x); figure(1);subplot(2,1,1);plot(x,y) title(复杂函数) subplot(2,1,2);plot(x,y) axis(0.4 0.6 -1 1); title(复杂函数的局部透视),二维图形,Text,二维绘图的图例标注说明,二维图形,图形的可视化编辑,Matlab在图形窗口中提供了可视化的图形编辑工具 利用这些编辑工具可完成各种图形对象的编辑处理 Insert菜单的使用 添加坐标轴说明、图形标题、图例、箭头、线条、文本等 属性编辑器的使用 进入图形编辑状态（“Tools-Edit Plot”） 双击图形对象,打开属性编辑器,在相应的栏目中设置,二维图形,2、绘制三维图形,三维曲线图（plot） 格式： plot3(x,y,z) plot3(x,y,z,选项) x,y,z为同维向量或矩阵： 向量：它们相应的元素构成三维曲线的数据点坐标； 矩阵：它们相应的列构成三维曲线数据点的坐标。 选项同二维，控制线型、色彩、数据点标号类型。 例： t=0:pi/50:10*pi; plot3(sin(t),cos(t),t) 生成区域的坐标 meshgrid(m:l:n) 将区域m,n*m,n以步长l 划分为矩形网格 meshgrid(1:3,4:7) 例 x,y=meshgrid(1:5);z=x+y;plot3(x,y,z) x,y=meshgrid(-2:0.1:2);z=x.*exp(-x.4-y.4);plot3(x,y,z),三维图形,三维网线图(mesh),原理： 在x-y平面内一个长方形区域,采用与坐标轴平行的直线将其分隔; 计算矩形网格上的函数值(即z的坐标值),得到三维空间中的数据点; 将点分别用平行于xz平面和平行于yz平面内的曲线连接,形成网线图. 格式： mesh(z) 以z矩阵元素以及下标为数据点,绘制网线图 mesh(x,y,z) x,y是向量，则x的长度=矩阵z的列数，y的长度=矩阵z的行数。 x,y,z是同维矩阵，数据点分别取自三个矩阵 meshc(x,y,z):生成具有基本等高线的网格图 例： x,y=meshgrid(-8:0.5:8);z=sqrt(x.2+y.2); z1=sin(z)./z; mesh(x,y,z) 和 mesh(x,y,z1) z0=zeros(size(z);plot3(x,y,z0,r*),三维图形,着色表面图(surf),原理： 表面图是指把网线图表面的网格围成的小区域（或者叫补片）用不同的颜色填充形成的彩色表面。 函数surf的格式 同mesh surfc、surfl分别绘制带等高线的着色表面图和可以控制光照效应的着色表面图 附加命令 shading flat: 去掉连接线条,平滑当前图形的颜色 shading interp:去掉连接线条,在各片之间使用颜色插值,使得片与片之间以及片的内部的颜色过渡很平滑。 shading faceted：带有连接线条的曲线。 例： x,y=meshgrid(-8:0.5:8);z=sqrt(x.2+y.2); z1=sin(z)./z; surf(x,y,z1) hold on; shading flat; shading interp;axis off,三维图形,3、特殊图形,条形图 bar(y)、bar(x,y)、bar(x,y,width)、bar3(y) x为横坐标向量,y为向量或矩阵; y为向量时,每一元素对应的竖条 y是m行n列矩阵时,将画出m组竖条,每组包括n个条 例： y=5 2 1;9 5 6; 8 7 3;5 1 5; 4 3 2; subplot(1,2,1);bar(y); subplot(1,2,2);bar3(y); 饼图 pie(x)、pie(x,explode) x为向量,绘制出各个元素在向量所有元素之和中所占的比例 x 为矩阵,绘制出各个元素在矩阵所有元素之和中所占的比例 参数explode指定饼图中某些片是否和整个饼图脱开,非零时脱开。 例： a=100,150,400,250; pie(a); pie(a,0,0,0,1); colormap(hot),阶梯图、杆图和填充图 例：分别用条形图、阶梯图、杆图和填充图形式绘制曲线y=2sin(x). 解：绘图程序如下： x=0:pi/10:2*pi; y=2*sin(x); subplot(2,2,1); bar(x,y,g); title(bar(x,y);axis(0,7,-2,2); subplot(2,2,2); stairs(x,y,b); title(stairs(x,y);axis(0,7,-2,2); subplot(2,2,3);stem(x,y,k); title(stem(x,y);axis(0,7,-2,2); subplot(2,2,4);fill(x,y,y); title(fill(x,y);axis(0,7,-2,2);,柱面(cylinder函数) x,y,z=cylinder(r,n) 得到柱面的三维坐标 cylinder(r,n) 绘出柱面 r:母线,向量 n:旋转圆周上分割线条数 例： cylinder(3) cylinder(10,1) t=0:pi/100:4*pi; R=sin(t); cylinder(R,30),球面(sphere函数) x,y,z=sphere(n) 得到球面的三维坐标 sphere(n) 绘出球面 n:圆周上分割线条数 例： sphere(30); x,y,z=sphere(30); surf(x,y,z),三维图形,多峰函数( peaks函数) 格式： Z=peaks(n) 用来生成绘图矩阵，矩阵元素由特殊函数在矩形区域-3,3*-3,3的等分网格上的函数值确定 n表示等分的数 peaks(n) 绘制出多峰函数曲面图 例： peaks(50); x,y,z=peaks(30); surf(x,y,z);,4、其它作图函数,fplot fplot(fname,lims,tol,选项) fplot(sin(x),0,2*pi,*) fplot(sin(x),cos(x),0,2*pi,-1.5,1,5,1e-3,r.) ezplot ezplot(f,x1,x2,y1,y2) 在区间x1xx2和y1yy2绘制f(x,y)=0的图形。 例： subplot(2,2,1);ezplot(x2+y2-9) subplot(2,2,2);ezplot(cos(tan(pi*x),0,1); subplot(2,2,3);ezplot(cos(tan(pi*x),0,1,0,1); subplot(2,2,4);ezplot(8*cos(t),4*sqrt(2)*sin(t),0,2*pi);,01年数学建模A题,str1=sprintf(W%02d.txt,0:99); str2=reshape(str1,7,100); filename=str2; x=;y=;z=; for i=1:100 ls=load(filename(i,:); ls(1,3)=0; ls(:,3)=2*i; x=x,ls(:,1); y=y,ls(:,2); z=z,ls(:,3); end plot3(x,y,z,.),x=;y=;z=; for i=0:99 ff= sprintf(W%02d.txt,i); ls=load(ff); ls(1,3)=0; ls(:,3)=i; x=x,ls(:,1); y=y,ls(:,2); z=z,ls(:,3); end plot3(x,y,z,.),三、数据分析,1、多项式计算 2、数据的导入与导出 3、数据的统计分析 4、插值和拟合,1、多项式计算,多项式可看做是符号表达式,利用符号运算可进行处理 多项式的向量表示 设有多项式 表示为: (1)多项式的加法 对应系数的加减运算 (2)多项式的乘法 ：conv(P1,P2) (3)多项式除法：Q,r=deconv(P1,P2) 其中Q返回相除的商，r返回余式。Q和r仍是多项式的系数向量 (4)代数多项式求值 ：Y=polyval(P,x) 若x为一数值，则求多项式P在该点的值； 若x为向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求多项式P的值 (5)矩阵多项式求值 ：Y=polyvalm(P,X) X为向方阵，结果为矩阵X的乘与和 (6)多项式的求根 ：x=roots(P) 在复数范围内求多项式P的全部根,2、数据的导入与导出,Matlab支持的数据文件 Matlab特制的数据文件：.mat文件 通用数据文件:文本文件、EXCEL文件、数据库文件 等 特制数据文件的打开与保存 保存 右击需保存的变量，通过菜单操作 save命令保存变量到数据文件 打开 通过菜单“File|open” load 命令 通用数据文件 通过“File|Import Data”打开导入向导,3、数据的统计分析,求最大值和最小值（max和min） Y,U=max(A) A为向量,将A的最大值存入U,最大值序号存入U A为矩阵,Y表示每列的最大值,U记录每列最大值的行号 U=max(A,B) 由A和B中对应元素的较大者组成矩阵U。 求和、积、均值、中值、累加和、累乘 sum和prod、mean和median、cumsum和cumprod 例：x=1,ones(1,10)*2; y=cumprod(x); sum(y) 求得1+2+22+210 排序 Y,I=sort(A,dim,mode) Y是排序后的矩阵,I记录Y中的元素在A中的位置. dim取1(对列排序);取2(对行排序);默认列排序. mode的取值ascend(升序); descend(降序);默认升序.,向量和矩阵,4、插值与拟合,引例1:在一天24小时内,从零点开始每间隔2小时测得的环境温度数据分别为(度) 12,9,9,10,18,24,28,27,25,20,18,15,13.请推测中午1点（即13点）时的温度。 引例2:在化学反应中,为研究某化合物的浓度随时间的变化规律,测得一组数据如下： 请给出变化规律,由此推测t为1、1.5、2、2.5、10、10.5、11分钟时的值. 利用已给出的值,计算相关的值 设有一组实验观测数据(xi,yi),i=0,1,n, 如何揭示自变量x与因变量y之间的关系？ 寻找近似的函数关系表达式y=f(x) 常用的方法:插值与拟合,插值,设测得的n个点的数据为(xi,yi) (i=1,2,n) ,构造一个函数y=g(x),使得在xi(i=1,2,n)有g(xi)=yi。g(x)称为插值函数。 插值函数自变量的个数：一维插值、二维插值、多维插值等 构造插值函数方法:线性插值、多项式插值、样条插值等 一维数据的插值 Y1=interpl(X,Y,X1,mothod) 根据X和Y的值插值，并求插值函数在X1处的值 Y是与X等长的向量,Y1是插值函数在X1处的值 X1是向量或标量,X1中的元素应在X的范围内 method的取值 nearest：最近插值、 linear：线性插值 spline：三次样条插值、cubic：三次插值 二维数据插值 Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,method) 根据X、Y和Z的值插值，并求插值函数在X1、Y1处的值 X是行向量、Y是列向量，Z为函数值(size(Z)=length(Y)length(X),引例1的求解,在一天24小时内,从零点开始每间隔2小时测得的环境温度分别为(度) 12,9,9,10,18,24,28,27,25,20,18,15,13. 请推测中午1点（即13点）时的温度。 解： (1)构造数据 h=0:2:24; T=12,9,9,10,18,24,28,27,25,20,18,15,13; (2)了解数据的分布 绘出数据的图形：plot(h,T,*) (3)选取适当插值方法，计算结果 interp1(h,T,13,spline) interp1(h,T,13,cubic) 插值函数的评价 X=0:24; %选取更多的数据 Y1=interp1(h,T,X,spline); Y2=interp1(h,T,X,cubic); subplot(2,1,1);plot(h,T,:,X,Y1);title(spline) subplot(2,1,2);plot(h,T,:,X,Y2,r);title(cubic),例：某实验对一根长为10米的钢轨进行热源的温度传播测试。如下表，其中x表示测量点，h表示测量时间，T表示测得的温度。试用线性插值求出在一分钟内每隔20秒、钢轨每隔1米处的温度。 解： x=0:2.5:10; h=0,30,60; T=95,14,0,0,0;88,48,32,12,6;67,64,54,48,41; x1=0:10; h1=0:20:60; T1=interp2(x,h,T,x1,h1),拟合,根据一组数据(xi,yi) (i=1,2,n) ，要求确定一个函数y=f(x)，使这些数据点与曲线y=f(x)总体来说尽量接近，称为曲线拟合。 拟合的原理： 最小二乘法 最小 若拟合函数f(x)是一个多项式,称为多项式拟合. Matlab中多项式拟合命令： P=polyfit(X,Y,m) 求数据X与Y的m阶拟合多项式 P为拟合多项式的系数,长为m+1的向量 X与Y是等长的向量 通过polyval求拟合函数在自变量处的值,引例2的求解,引例2:在化学反应中,为研究某化合物的浓度随时间的变化规律,测得一组数据如下： 请给出变化规律,推测t为1、1.5、2、2.5、10、10.5、11分钟时的值. 解： (1)构造数据 t=1:10; y=4, 6.4, 8, 8.4,9.28,9.5,9.7, 9.86, 10, 10.2; (2)选取拟合多项式的阶 plot(t,y,o) (3)构造拟合多项式 p=polyfit(t,y,2) p = -0.1109 1.7922 2.9467 (4)计算相关的值 t1=1:0.5:11; y1=polyval(p,t1);,拟合函数的评价 选取不同的阶做拟合 根据散点图直观判断 计算最小二乘指标 例 t=1:10; y=4, 6.4, 8, 8.4,9.28,9.5,9.7, 9.86, 10, 10.2; p=polyfit(t,y,2); y2=polyval(p,t); plot(t,y,:o,t,y2,-*) sum(y-y2).2) 类似做3次、4次多项式拟合，从中进行比较,例：在彩色显影中，由经验得知，形成染料的光学密度与析出银的光学密度由公式 确定，试验测得如下一批数据： 求y关于x的拟合函数。 解：由给定的经验公式来求拟合函数，无法直接用polyfit函数，我们换一种思路，将经验公式两边取对数，得 令Y=lny，X=1/x 只需求Y关于X的线性拟合 x=0.05,0.06,0.07,0.10,0.14,0.20,0.25,0.31,0.38,0.43,0.47; y=0.10,0.14,0.23,0.37,0.59,0.79,1.00,1.12,1.19,1.25,1.29; X=1./x; Y=log(y) P=polyfit(X,Y,1) P = -0.1459 0.5476 则Y=-0.1459X+0.5476 y=exp(Y)=exp(0.5476)e(-0.1459X)=exp(0.5476)e(-0.1459/x),整理即可,四、方程求解与优化问题求解,方程求解 多项式方程求解 线性方程组求解 利用左除运算符 利用矩阵的分解 非线性方程求解 单个自变量的非线性方程求解 非线性方程组求解 微分方程求解,线性方程组求解,若有线性方程组 利用左除运算符 A=2,1,-1,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4; b=13,-9,6,0; x=Ab 利用矩阵的分解 LU分解：将矩阵表示为一个下三角矩阵与一个上三角矩阵的乘积。 L,U=lu(X): 产生L和U ,使得X=LU。 A=2,1,-1,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4; b=13,-9,6,0; L,U=lu(A); x=U(Lb) QR分解:是将矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积. ： Q,R=qr(X): 产生Q和R,使得X=QR。,非线性方程求解(近似解),例：考察函数 作图观察其根的分布 尝试用solve求解 单个自变量的非线性方程求解 z=fzero(fun, x0) z=fzero(fname,x0) 在x0附近寻找函数fun的近似根(fname是待求根的函数名) 求上述函数在区间-3,1内的根 （1）画图确定根的范围 f=abs(x*sin(x)-exp(x)-1; fplot(f,-3,1) 观察图形得出在x=0、-1.2、-2.6附近有根 （2）调用fzero函数分别求出其根 fzero(f,0) fzero(f,-1.2) fzero(f,-2.6),上述问题也可这样求解 (1)定义函数文件 funx.m, function y=funx(x) y=abs(x.*sin(x)-exp(x)-1; (2)画图确定根的位置 fplot(funx,-3,1) %funx为函数funx的句炳 观察图形得到出在x=0、-1.2、-2.6附近有根 (3)调用fzero函数分别求出其根 fzero(funx,0) fzero(funx,-1.2) fzero(funx,-2.6) 上述问题还可这样求解 (1)定义内联（匿名）函数 ff=(x)abs(x.*sin(x)-exp(x)-1; (2)画图确定根的位置 fplot(ff,-3,1) (3)调用fzero函数分别求出其根 fzero(ff,-2.5) fzero(ff,-1.5) fzero(ff,0),非线性方程组求解,求解方程组 初始值为-5,5 MATLAB的优化工具箱（Optimization Toolbox） 对于非线性方程组F(x)=0,求解命令为： X = fsolve(fname, X0, options) 解 (1)定义函数文件myfun.m function f = myFun(x) f(1) = 2*x(1) - x(2) - exp(-x(1); f(2)= -x(1) + 2*x(2) - exp(-x(2); (2) 提交给求解方程的函数 -5,-5 %初始值 op=optimset(display,off); %修改参数,中间结果不显示 x=fsolve(myfun, x0, op) x = 0.5671 0.5671,微分方程求解,求解微分方程： MATLAB提供了多个求常微分方程数值解的函数,格式为: t,y=solver(fname,tspan,y0) solver为求常微分方程数值解的函数 t和y分别给出时间向量和相应的状态向量。 fname是定义f(t,y)的函数文件名，该函数文件必须返回一个列向量。 tspan为求解区间形式为t0,tf,y0是初始状态列向量。 解： 建立函数文件funt.m function yp=funt(t,y) yp=(y2-t-2)/4/(t+1); 求解微分方程 t,y=ode23(funt,0,10,2); %求数值解,优化问题求解,1、无约束问题求解（求极值、求最值） 模型: minxf(x) 求一组x( x=x1,x2,xnT)使得目标函数f(x)为最小 2、有约束问题求解 模型： 求一组x ( x=x1,x2,xnT)使得目标函数f(x)为最小,且x满足约束条件G(x)0. 约束条件可表示为： 线性不等式约束：Ax b 线性等式约束：Aeqx =beq 非线性不等式约束：Cx b 非线性等式约束： Ceqx =0 X的上界和下界：Lbnd x Ubng 3、线性规划问题求解 线性约束条件下线性目标函数的极值问题,1、无约束问题求解（求极值、最值）,若函数可导,换转为求导数为零的点。 例:求y=x*sin(x)-ex在区间-3,2内的极值点。 解: fplot(x*sin(x)-exp(x),-3,2) %图形显示在x=-2附近有一极大值点 syms x f=x*sin(x)-exp(x); g=diff(f) %求导函数 sin(x)+x*cos(x)-exp(x) fzero(sin(x)+x*cos(x)-exp(x),-2) 结果： -2.0745 故在x-2.0745处函数取得极大值。 上述问题也求解如下： syms x f=x*sin(x)-exp(x); fplot(char(f),-3,2); %将符号表达式转换为字符串 x0=fzero(char(diff(f),-2); y0=subs(f,x,x0); %将符号表达式f中的x替换为x0,求得极大值. x0,y0= -2.0745,1.6912,Matlab专门提供了求极小值的函数，格式为： (1) x,fval=fminbnd(fname,x1,x2,option) 求一元函数在区间(x1,x2)中的极小值点x和极小值。 (2) x,fval=fminsearch(fname,x0,option) 用单纯形法求多元函数在x0附近的极小值点x和极小值. (3) x,fval=fminunc(fname,x0,option) 用拟牛顿法求多元函数在x0附近的极小值点x和极小值. 例:求y=x*sin(x)-ex在区间-3,2内的极值点。 (1)建立函数文件myfin.m,命令如下： function y