数学模型与分类讨论.ppt

,数,学,模,型,与,论,龙口市下丁家中学,王全玉,类,讨,分,数学模型思想,所谓数学模型，是指通过抽象和模拟，利用数学语言和方法对所要解决的实际问题进行的一种刻画 。一般地，通过建立数学模型来解决实际问题的过程称为数学建模。 数学教学要让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。 教学中加强数学建模的教学，引领学生寻找解题的途径。针对一类问题，给学生一个模式，让学生有据可依，以不变应万变，触类旁通，这样较为符合学生的心理特征，也有利于提高学生解决问题的能力。,一、数学模型思想在初中数学中的意义,近几年，中考加强了应用题的考察，这些应用题以数学建模为中心，考察学生应用数学的能力。但是学生在应用题中的得分率远低于其它题，原因之一就是学生缺乏数学建模能力和应用数学意识。因此，教师应加强数学建模的教学，提高学生数学建模能力，培养学生应用数学意识和创新意识。,二、解答数学模型问题的一般步骤,（1）明确实际问题，并熟悉问题的背景； （2）构建数学模型（例如：方程模型、不等式模型、函数模型、几何模型、概率模型、统计模型等）; （3）求解数学问题，获得数学模型的解答； （4）回到实际问题，检验模型，解释结果。,应用数学模型解决问题的过程，大致可用如下框图来表示：,三、初中数学建模的过程,审题 建立数学模型，首先要认真审题。实际问题的题目一般都比较长，涉及的名词、概念较多，因此要耐心细致地读题，深刻分解实际问题的背景，明确建模的目的；弄清问题中的主要已知事项，尽量掌握建模对象的各种信息；挖掘实际问题的内在规律，明确所求结论和对所求结论的限制条件。,简化 根据实际问题的特征和建模的目的，对问题进行必要简化。抓住主要因素，抛弃次要因素，根据数量关系，联系数学知识和方法，用精确的语言作出假设。,抽象 将已知条件与所求问题联系起来，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子、图形或表格等形式表达出来，从而建立数学模型。按上述方法建立起来的数学模型，是不是符合实际，理论上、方法上是否达到了优化，在对模型求解、分析以后，通常还要用实际现象、数据等检验模型的合理性。,（一）拉水管模型 （二）测古塔和测河宽模型 （三）平行线+角平分线 等腰三角形 （四）等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高,四、几种常见的几何模型,【例题】 要在河边上修建一个水泵站，分别向张庄、李村送水,修在什么地方，才能使它到两村距离之和最短。,A.,.B,河l,A1.,.,.,P,P1,（一）拉水管模型,思路分析： 可以把这个实际问题归结为一个数学模型：“已知直线l和在l 的同一侧的两点A、B,求作点P，使点P在直线l上并且PA+PB最小.”该问题可以通过“作点A关于直线l的对称点A1，连接BA1与直线l相交于点P,则点P就是所求作的点”使问题得到解决。,如图，L是一面镜子，光源A通过镜面反射经过点B，请画出光路图。,上图中，L是台球桌案一边，台球A撞击L后，反弹撞击B球，请画出路线图。,A.,.B,L,A1.,.,P,1.在几何作图中的应用,如图，在x轴上有一动点P,使点P到点A（2,1）、 B（5,3)的距离之和最小，求（1）点P的坐标（2）求这个最小值。,x,y,O,A(2,1).,.B(5,3),. A1(2,-1),.,P,C,2.在平面直角坐标系中的应用,思路分析：,如图，等边ABC的边长是2，D是BC的中点，在AC上有一动点P使PB+PD最小，求这个最小值。,A,B,C,.,D,.D1,P.,法1：作出点D关于AC的对称点D1，连接AD、AD1,由等腰三角形“三线合一”性质可知，AD BC,且1=2=3=300, AD=AD1=,1,2,3,所以，BAD=900,1,2,在RtABD1中 BD1=,3.在等边三角形中的应用,A,B,C,.,D,.D1,P.,1,2,法2：作出点D关于AC的对称点D1,过D1作D1E BC交BC延长线于E，连接CD1 可证1=2=3=600，CD=CD1=1， 在RtCED1中 CE= , D1E= 在RtBED1中 BD1=,E,1,1,1,2,3,300,如图，梯形ABCD中，ABCD,A=900，P是AD上一动点，使PB+PC值最小，那么点P应满足的条件是（ ） A.PA=PD B.CPD =APB C.PCPB D.以上都不对,.,C1,.,P,1,2,3,B,4.在梯形中的应用,正方形ABCD的边长为8，点E是BC上一点，CE=2，在BD上有一动点P，使PC+PE最小，求这个最小值。,A,B,C,D,.,E,.,.,P,8,2,6,5.在正方形中的应用,.,已知边长为2的菱形ABCD中，DAB=600 ,E是AB的中点，P为AC上一动点，使PE+PB最小，求这个最小值。,.,.,P,600,1,2,6.在菱形中的应用,矩形ABCD中，AB=2，BAC=300 ,E是AB的中点，P为AC上一动点，使PE+PB最小，求这个最小值。,.,B1,.,P,300,300,1,2,问题：如果把条件改为“E是AB上 一点”应该这样思考？,7.在矩形中的应用,半径为2的O中，AB是直径，C、D为半圆上两点，若AC为960，BD为360，动点P在AB上，求PC+PD的最小值。,A,B,O,C,D,.,.,.,960,840,.,D1,.,P,360,2,2,E,8.在圆中的应用,1200,600,300,1,若 ,当x=_ 时，y有最小值为 _。,B1,.,2,E,此题乍一看让人无处下手，通过仔细观察发现，两个被开方数均为“a2+b2”的形式，这很容易让人联想到勾股定理。此题若采用数形结合的思想方法既有助于找到解答思路，也常使解答简捷.数形结合的关键在于能将代数问题蕴含的几何图形，几何知识抽取，转化出来，再进行解决。,法一：利用相似,法二：利用勾股定理,2,9,9.在二次根式中的应用,思路分析：,.,x=1,-2,4,-4,.,.,P,法二：利用相似,法一：利用一次函数,二次函数 与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，在抛物线对称轴上有一动点P，使PA+PC最小，求点P的坐标。,D,10.在二次函数中的应用,若把问题“使PA+PB最小”改为“使PAB周长最小”，应怎样思考？,A.,.B,L,A1.,.,P,拓展1,若把直线L改为一个角，在直线L和L1上分别找一点P、Q使四边形APQB周长最小。,.,.B,L,A,.,A1,.,B1,.,.,P,Q,L1,拓展2,如图，MON=450，OA=10，在OM、ON上分别找点P、Q,使APQ周长最小，求这个最小周长。,M,N,O,.A,.,A1,.A2,.,P,.,Q,450,10,10,拓展3,1,4,3,2,如果A、B两村庄在河L两侧,河的宽度为a，试设计一条连接A、B两村庄的道路，使工程造价最低。,.,.B,.,A1,A,河宽a,a,.,C,.,D,拓展4,A.,.B,L,如图，试在直线L上确定一点P,使 的值最大。,.,P,.,P1,拓展5,A.,.B,L,如图，如果点A、B在直线L两侧，试在直线L上确定一点P,使 的值最大。,.,P,A1,.,.,P1,拓展6,解决线段之和最短的问题，就是利用轴对称的有关性质，将线段之和最短转化为线段最短的问题。让学生记住这个数学模型，从而轻松解决“最短”问题。 由于角、等腰三角形、菱形、矩形、正方形、圆、抛物线等图形都具有轴对称性，因而，此数学模型通常建立在与这些图形有关的问题背景下，考察内容多与作图题、计算题有关。,【例题】如图，小明想测量塔CD的高度。他在A处仰望塔顶，测得仰角为300，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为600，小明的身高为1.5m，那么该塔有多高？(精确到0.1m）,A,B,.,1.5m,C,300,600,.,D,300,50m,E,.,（二）测古塔模型,A,B,.,1.5m,C,300,450,.,D,如果把条件中的“仰角600”改为“仰角450”，应该怎样思考？,600,解:设BD为x米，则CD为x米，AD为（50+x）米,x,x,.,E,拓展1,A,B,.,1.5m,C,300,750,.,D,如果把条件中的“仰角600”改为“仰角750”，应该怎样思考？,450,E,25,25,600,拓展2,海中有一个小岛P，它的周围20海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东60方向上，航行12海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45方向上如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由,P,600,300,A,.,B,450,450,C,12,x,x,如果P是一所学校，某拖拉机在公路上以4米/秒的速度由A正东方向行驶，已知拖拉机周围20米以内会受到噪音影响，问： （1）学校是否会受到噪音影响？说明理由。 （2）若受到噪音影响，那么学校受到影响的时间为多少秒？,D,E,16,20,12,应用举例,.,.,.,.,A,B,C,【例题】 如图，为了测量一条河的宽度，一位测量员在河的南岸东西方向相距50m的A、B两点分别测量对岸河边点C的位置，C在A的北偏东600方向，在B的北偏西450方向，求河宽。,600,300,450,450,D,x,x,50-x,测河宽模型,将一副三角板按如图1位置摆放,使得两块三角板的直角边AC和MD重合.已知AB=AC=8 cm,将MED绕点A(M)逆时针旋转60后(图2),求两个三角形重叠（阴影）部分的面积？,F,10,450,450,600,600,G,应用举例,测古塔模型，实际上就是测量底部不可到达的建筑物等的高度的问题。而测河宽模型模型，就是底部可以到达的问题。由于给出的边长不属于任何一个直角三角形，因此不能直接利用解直角三角形去解决，往往需要添加辅助线，假设未知数，然后转化为解直角三角形的问题。 为了计算方便，考试时给出的两个角一般都是特殊角，我们要根据不同的特殊角选择不同的解题技巧。,【例题】 如图，已知ADBC，BD是ABC的平分线，那么ABD是等腰三角形吗？为什么？(初二上册第11页）,A,B,C,D,1,2,3,解:ABD是等腰三角形 ADBC 1=2 2=3 1=3 AB=AD ABD是等腰三角形,（三）平行线 + 角平分线 等腰三角形,如图，在ABC中，BO、CO分别平分ABC、ACB,过点O作直线EFBC交AB于E，交AC于F.猜想EF与BE、CF之间的关系。,A,B,C,E,F,A,B,C,A,B,C,O,E,F,O,E,F,O,应用1：,ABC中，AB7，BC8，CA9，过ABC的内切圆圆心I作DEBC，分别与AB、AC 相交于点D，E，则DE的长为 （2008年全国初中数学竞赛试题）,F,G,ha,r,应用2:,矩形ABCD中，AB=3，BC=4，把BCD沿BD折叠，交AD于点E,求重叠部分的面积.,A,B,C,D,E,C1,1,2,3,x,x,4-x,3,4,应用3:,ABC中，O是AC边上一动点，过点O作MNBC交BCA平分线于E，交BCA外角平分线于F，当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形。,应用4:,思路分析： 显然，OE=OC,OC=OF,所以OE=OF,如果O是AC的中点，那么四边形AECF就是平行四边形。再根据OE=OC=OF,可证得ECF=900，从而证得四边形AECF是矩形.,角平分线、平行线、等腰三角形关系密切，在题设中知其二，便可发现其三，这种解题思想方法往往能得到打开第一道大门的金钥匙，突破解题的一个难点，使学生一看就会做题成为可能。,【例题】已知：等腰三角形ABC中，ABAC，P是BC上任意一点，PDAB，PEAC，BFAC，求证：PDPEBF,.,P,D,E,.,F,（四）等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高,G,H,如图，矩形ABCD中，P为CD中点，点Q为AB上的动点（不与A，B重合）.过Q作QMPA于M，QNPB于N.设AQ的长度为x，QM与QN的长度和为y.则能表示y与x之间的函数关系的图象大致是（ ） (2012年烟台市中考题）,A B C D,D,应用1：,如图，在梯形ABCD中，AB=12，BC=5，P为CD上一动点，过点P作PEAC于E,PFBD于F,则PE+PF=_,G,应用2：,在梯形ABCD中，ADBC,B=C=600，BC=2，P为BC上一动点，过点P作PEAB于E,PFCD于F，求PE+PF的值。,G,H,应用3：,如果P是BC延长线上一点，那么PD,PE和CF满足什么等量关系？,A,B,C,P,D,E,F,拓展1：,等边三角形中任意一点到三边的距离的和等于一边上的高。,.,P,D,E,F,G,已知: 点P是等边ABC内一点，过点P作PDBC于D,PEAB于E, PFAC于F,求证：PD+PE+PF=AG,拓展2：,如果点P在等边ABC外部，那么PD,PE,PF与AG又满足怎样的等量关系？,.,P,D,E,F,G,拓展3：,P,M,N,Q,“等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高”是真命题，但不是定理。考试时一般会出现在填空题或选择题中，学生可以直接利用这个结论，从而达到一招制胜。但如果出现在计算题中，就需要先证明这个结论的正确性，然后再利用这个结论。,以上习题都是课本例题、习题的再延伸，由于有了数学模型，也就有了一套成熟有效的解题策略，从而降低了思考的难度，学生解决起问题来也就显得得心应手。 总之，在平时的教学中，教师要对一些有代表性的例题进行训练，多角度引入背景，使学生熟练地运用数学模型分析问题，从而拓展思维的广度。,分类讨论思想,分类讨论型问题常与开放探究型问题综合在一起，不论是在分类中探究，还是在探究中分类，都需要具备扎实的基础知识和灵活的思维方式，对问题进行全面衡量、统筹兼顾，切忌以偏概全。分类讨论是中学数学中常用的一种数学思想方法，它能考查学生的综合的数学知识和灵活的应用能力，因此，分类讨论型问题也是中考命题的热点之一，常出现在中考数学的压轴题中。,分类讨论思想，就是把要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的类别，然后逐类进行研究、求解的一种数学解题思想。 实质：“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略。 作用：克服思维的片面性，防止漏解。 关键：要有分类讨论的意识，克服想当然的错误习惯，注意分类可能导致问题发生质的变化的各种情况。,一、分类讨论思想定义与特点,（1）确定分类对象； （2）进行合理分类（理清分类的界限，选择分类标 准，并做到不重复、补遗漏）; （3）逐类进行讨论 （4）归纳出结论,二、解答分类讨论问题的一般步骤,三、分类讨论思想的常见题型,1.实数化简 6.三角形相似 2.等腰三角形 7.平行四边形 3.直角三角形 8.函数 4.分式和不等式 9.圆 5.方程 10.动态问题,1.分类讨论在实数化简中的应用,在实数中带有绝对值号，二次根式的化简中，应注意讨论绝对值号内的数、被开方数中的字母的正负性，在保证各式有意义的前提下进行化简求解。,【例1】已知x是实数，请化简|x1|,思路分析：,根据|a|的化简法则，当a0时，|a|a，当a0时，|a|a， 的化简与|a|相同，同样要讨论a的正负性才能得到化简结果，因此要分别讨论，x，x1的正负性进行化简,等腰三角形中，给出的边可能是腰，也可能是底边，所以我们要进行分类讨论，三边可能是5,5,6，也可能是6,6,5。,16或17,2.分类讨论在等腰三角形中的应用,【例2】已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_。,思路分析：,在等腰三角形中，无论边还是顶角、底角不确定的情况下，要分情况求解，有时要分钝角三角形、直角三角形、锐角三角形分别讨论解决,（1）在等腰三角形中求边：,【例3】在等腰三角形ABC中，A，B,C的对边分别为a,b,c.已知a=3,b和c是关于x的方程 的两个实数根，求ABC的周长。,思路分析： ABC的周长取决于b+c的值，因为b,c是原方程的根，所以b+c=-m,由此可知关键是求m的取值，在ABC中，腰与底不能确定，因此应分两种情况讨论。 （1）当a=3是腰时，有b=3或c=3，即原方程必有一根为3，把x=3代入原方程，可求得m=-4.4，所以 ABC的周长为a+b+c=7.4 （2）当a=3是底边时，b=c,所以=0，解得m=-4或m=2.又因为b+c=-m0,所以m=2舍去，所以m=-4,b+c=4,所以ABC周长为7. 综上所述：ABC的周长为7.4或7,【例4】ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在的直线相交所得的锐角为400，则底角B的度数为 。,65或 25,思路分析： 由于不确定等腰三角形的顶角是锐角还是钝角，三角形的腰上的高在该三角形内部或外部，因此应分两种情况讨论，如图所示：,(2)在等腰三角形中求角,【例5】已知等腰三角形的一个内角为75则其顶角为（ ） A. 30 B. 75 C. 105 D. 30或75,D,思路分析： 等腰三角形的一个内角可能指底角，也可能指顶角，所以必须分两种情况讨论。,（3）由于等腰三角形的腰与底不确定而进行的分类,【例6】如图，已知二次函数 的图象经过点 A(-2，m）（m0),与 y 轴交于点 B，ABx 轴，且B(0,-3),（1）求二次函数的解析式；,（2）如果二次函数的图象与x轴交于C、D两点（点C在左侧）问线段BC上是否存在点P，使POC为等腰三角形；如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由,x,O,A,B,-3,C,D,P2,-3,y,x,y,O,A,B,-3,C,D,P3,-3,3,x,y,O,A,B,-3,C,D,P1,-3,【例7】在直角坐标系中，O为坐标原点，已知 A（1，1），在x轴上确定点P，使得AOP为等腰三角形，则符合条件的P点共有 个,4,A (1,1),P1,P3,P4,1,-1,-1,1,当A为顶点时,OA=AP,P1(2,0),.,当O为顶点时,OA=OP,P2,P2( ,0),P3( ,0),P4( 1, 0 ),当P为顶点时,AP=OP,【例8】 在RtABC中,AB=6,BC=8,则这个三角形的外接圆直径是（ ） A. 5 B. 10 C. 5或4 D. 10或8,3.分类讨论在直角三角形中的应用,思路分析： 直角三角形的边BC可能是直角边也可能是斜边，所以必须分情况讨论。,D,（1）在直角三角形中找斜边：,【例9】如图，在直角梯形OBCD中,OB=8，BC=1，CD=10，点P在x轴上，若PDC是直角三角形，求过D、P、C三点的抛物线解析式。,（2）在直角三角形中找直角：,思路分析： PDC是直角三角形可能指D是直角顶点，也可能指P是直角顶点，也可能指C是直角顶点,所以必须分情况讨论。,当D为直角顶点,E,x,过点C作CEOD于E,利用CDEDPO即可求得点P坐标，再利用一般式求出抛物线的解析式。,当P为直角顶点,x,y,点P在以CD为直径的圆上，利用DOPPBC即可求得点P坐标，从而求出抛物线的解析式。,当C为直角顶点,F,x,y,过点C作CFOD于F,利用CDFCPB即可求得点P坐标，从而出抛物线的解析式。,4.分类讨论在分式和不等式中的应用,【例10】,思路分析：,【例11】,思路分析：,5.分类讨论在方程中的应用,【例12】,思路分析：,【例13】 已知关于x的方程(k21)x22(k1)x10有实数根，求k的取值范围。,思路分析：,【例14】如图，在ABC中，AB8，AC6，D为AC上一点且AD2，点E是AB上一点，连接DE，若以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AE的长是 _,6.分类讨论在三角形相似中的应用,思路分析：,【例15】如图，在梯形ABCD中，ADBC,A=900，AB7，AD2，BC=3，若在AB上一点P,若以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似，则PA的长是 _,思路分析：,7-x,x,2,3,【例16】在平面直角坐标系中，三点坐标分别是（0，0）（4，0）（3，2），以三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ） A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限,C,(3,2),(4,0),(7,2),(-1,2),(1,-2),7.分类讨论在平行四边形中的应用,【例17】 一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是 -3x 6，相应的函数值的取值范围是-5y-2 ，则这个函数的解析式 。,8.分类讨论在函数中的应用,思路分析： “两点确定一条直线”，根据自变量与函数的取值范围， 一次函数可能过（-3，-5）、（6,-2);也可能过（-3，-2）、 （6，-5），因此要分两种情况讨论。,【例18】：函数y=ax2-（a-3）x+1与x轴只有一