全国高考数学二轮复习专题七系列4选讲第2讲不等式选讲学案理.doc

第2讲不等式选讲考情考向分析本部分主要考查绝对值不等式的解法求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围、不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想热点一含绝对值不等式的解法含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|a(a0)f(x)a或f(x)a.(2)|f(x)|0)af(x)1.(1)当a2时，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集为x|1x2，求a的值解(1)当a2时，f(x)|x4|x2|x4|当x2时，由f(x)4|x4|，得2x64，解得x1；当2x4时，由f(x)4|x4|，无解；当x4时，由f(x)4|x4|，得2x64，解得x5.故不等式的解集为x|x1或x5(2)令h(x)f(2xa)2f(x)，则h(x)由|h(x)|2，当x0或xa时，显然不成立当0x0)(1)当a2时，求不等式f(x)8的解集；(2)若xR，使得f(x)成立，求实数a的取值范围解(1)当a2时，由f(x)8，得|2x1|x2|8，即或或得x3或x或x3或x0，所以实数a的取值范围是.思维升华绝对值不等式的成立问题的求解策略(1)分离参数：根据不等式将参数分离化为af(x)或af(x)的形式(2)转化最值：f(x)a恒成立f(x)mina；f(x)a恒成立f(x)maxa有解f(x)maxa；f(x)a有解f(x)mina无解f(x)maxa；f(x)4；(2)若不等式f(a)对任意的实数a恒成立，求b的取值范围解(1)当b1时，f(x)|2x1|2x1|4，即x1或x|b1|，所以(2b)2(b1)2，即(3b1)(b1)0，所以b的取值范围为(1，)热点三不等式的证明1含有绝对值的不等式的性质|a|b|ab|a|b|.2算术几何平均不等式定理1：设a，bR，则a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立定理2：如果a，b为正数，那么，当且仅当ab时，等号成立定理3：如果a，b，c为正数，那么，当且仅当abc时，等号成立定理4：(一般形式的算术几何平均不等式)如果a1，a2，an为n个正数，则，当且仅当a1a2an时，等号成立例3(2018合肥模拟)已知函数f(x)|x1|.(1)解不等式f(x)x1；(2)设函数f(x)的最小值为c，实数a，b满足a0，b0，abc，求证：1.(1)解f(x)x1，即|x1|x1.当x1时，不等式可化为42xx1，解得x1.又x3时，不等式可化为2x4x1，解得x5.又x3，3x5.综上所得，1x3或31，n1，am1，bn1，mn4，mn41，当且仅当mn2时，等号成立，原不等式得证思维升华(1)作差法是证明不等式的常用方法作差法证明不等式的一般步骤：作差；分解因式；与0比较；结论关键是代数式的变形能力(2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧跟踪演练3(2018石家庄模拟)已知函数f(x)|3x1|3x1|，M为不等式f(x)|ab|.(1)解f(x)|3x1|3x1|6.当x时，f(x)3x13x16x，由6x1，1x；当x时，f(x)3x13x12，又2时，f(x)3x13x16x，由6x6，解得x1，x1.综上，f(x)6的解集Mx|1x1(2)证明2(ab)2a2b22ab1(a2b22ab)a2b2a2b21(a21)(b21)由a，bM，得|a|1，|b|1，a210，b210，|ab|.真题体验1(2017全国)已知函数f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|.(1)当a1时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1,1，求实数a的取值范围解(1)当a1时，不等式f(x)g(x)等价于x2x|x1|x1|40.当x1时，式化为x2x40，从而10，b0，a3b32，证明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.证明(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a4b42a2b2)4ab(a2b2)24.(2)因为(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，所以(ab)38，(当且仅当ab时，等号成立)因此ab2.押题预测1已知函数f(x)|x2|2xa|，aR.(1)当a1时，解不等式f(x)4；(2)若x0，使f(x0)|x02|3成立，求a的取值范围押题依据不等式选讲问题中，联系绝对值，关联参数、体现不等式恒成立是考题的“亮点”所在，存在问题、恒成立问题是高考的热点，备受命题者青睐解(1)当a1时，f(x)|x2|2x1|.由f(x)4，得|x2|2x1|4.当x2时，不等式等价于x22x14，解得x，所以x2；当x2时，不等式等价于2x2x14，解得x1，所以1x2；当x时，不等式等价于2x2x14，解得x1，所以x1.所以原不等式的解集为x|x1或x1(2)应用绝对值不等式，可得f(x)|x2|2|x2|2xa|2x4|2xa|2xa(2x4)|a4|.(当且仅当(2x4)(2xa)0时等号成立)因为x0，使f(x0)|x02|3成立，所以(f(x)|x2|)min3，所以|a4|3，解得7a1，故实数a的取值范围为(7，1)2已知x，yR，xy4.(1)要使不等式|a2|a1|恒成立，求实数a的取值范围；(2)求证：x22y2，并指出等号成立的条件押题依据不等式选讲涉及绝对值不等式的解法，包含参数是命题的显著特点本题将二元函数最值、解绝对值不等式、不等式证明综合为一体，意在检测考生理解题意、分析问题、解决问题的能力，具有一定的训练价值解(1)因为x，yR，xy4，所以1.由基本不等式，得 1，当且仅当xy2时取等号要使不等式|a2|a1|恒成立，只需不等式|a2|a1|1成立即可构造函数f(a)|a2|a1|，则等价于解不等式f(a)1.因为f(a)所以解不等式f(a)1，得a0.所以实数a的取值范围为(，0(2)因为x，yR，xy4，所以y4x(0x4)，于是x22y2x22(4x)23x216x3232，当x，y时等号成立A组专题通关1(2018全国)设函数f(x)|2x1|x1|.(1)画出yf(x)的图象；(2)当x0，)时，f(x)axb恒成立，求ab的最小值解(1)f(x)yf(x)的图象如图所示(2)由(1)知，yf(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a3且b2时，f(x)axb在0，)上恒成立，因此ab的最小值为5.2(2018全国)设函数f(x)5|xa|x2|.(1)当a1时，求不等式f(x)0的解集；(2)若f(x)1，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)可得f(x)0的解集为x|2x3(2)f(x)1等价于|xa|x2|4.而|xa|x2|a2|，当且仅当xa与2x同号时等号成立故f(x)1等价于|a2|4.由|a2|4可得a6或a2.所以a的取值范围是(，62，)3(2018江西省景德镇市第一中学模拟)已知函数f(x)|2x4|x1|，xR.(1)解不等式f(x)9；(2)若方程f(x)x2a在区间0,2上有解，求实数a的取值范围解(1)f(x)9，即|2x4|x1|9，即或或解得2x4或1x2或2x1.不等式的解集为2,4(2)当x0,2时，f(x)5x.由题意知，f(x)x2a，即ax2x5，x0,2，故方程f(x)x2a在区间0,2上有解，即函数ya和函数yx2x5的图象在区间0,2上有交点，当x0,2时，yx2x5，a.4(2018百校联盟TOP20联考)已知f(x)|2xa|x2|.(1)当a2时，求不等式f(x)4的解集；(2)若关于x的不等式f(x)3a23|2x|恒成立，求a的取值范围解(1)当a2时，由f(x)4，得2|x1|x2|4，当x1时，由2(1x)(2x)4，得4x1；当1x2时，由2(x1)(2x)4，得1x0，n0，m3nmn，m3n(m3n)，即m3n12，当且仅当即时取等号，f(m)f(3n)|2m1|6n1|2m6n|，当且仅当(2m1)(6n1)0，即n时取等号，又|2m6n|24，当且仅当m6，n2时，取等号，f(m)f(3n)24.B组能力提高6(2018榆林模拟)已知函数f(x)|3x1|2x1|a.(1)求不等式f(x)a的解集；(2)若恰好存在4个不同的整数n，使得f(n)a，得|3x1|2x1|，不等式两边同时平方，得9x26x14x24x1，即5x210x，解得x2.所以不等式f(x)a的解集为(，0)(2，)(2)设g(x)|3x1|2x1|作出函数g(x)的图象，如图所示，因为g(0)g(2)0，g(3)g(4)2g(1)3，又恰好存在4个不同的整数n，使得f(n)2|x|；(2)若f(x)a22b23c2(a0，b0，c0)对任意xR恒成立，求证：c2|x|，得x2|x2|2|x|，即或或解得x2或0x2或x2|x|的解集为(，1)(2，)(2)证明当x2时，f(x)x2x222224；当x2时，f(x)x2x22，所以f(x)的最小值为.因为f(x)a22b23c2对任意xR恒成立，所以a22b23c2.又a22b23c2a2c22(b2c2)2ac4bc4，且等号不能同时成立，所以4，即c.8设函数f(x)|x|x|.(1)当a1时，解不等式f(x)；(2)若对任意a0,1，不等式f(x)b的解集不为空集，求实数b的取值范围解(1)当a1时，不等式f(x)等价于|x1|x|.当x1时，不等式化为x1x，无解；当1x