2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质学案新人教A版.doc

2.3.2双曲线的简单几何性质学习目标1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中 a，b，c，e 间的关系.4.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.知识点一双曲线的范围、对称性思考观察下面的图形：(1)从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那么是否与椭圆一样有范围限制？(2)是不是轴对称图形？对称轴是哪条直线？是不是中心对称图形？对称中心是哪个点？答案(1)有限制，因为1，即x2a2，所以xa或xa.(2)关于x轴、y轴和原点都是对称的，x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心.梳理(1)双曲线1(a0，b0)中要求x(，aa，)，yR.双曲线1(a0，b0)中要求xR，y(，aa，).(2)双曲线的对称轴为x轴、y轴，对称中心为原点.知识点二双曲线的顶点思考 (1)双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点，你认为对吗？为什么？(2)双曲线是否只有两个顶点？双曲线的顶点和焦点能在虚轴上吗？答案(1)不对，双曲线的顶点是双曲线与其对称轴的交点，只有在标准形式下，坐标轴才是双曲线的对称轴，此时双曲线与坐标轴的交点是双曲线的顶点.(2)是，只有两个顶点.双曲线的顶点和焦点都不能在虚轴上，只能在实轴上.梳理双曲线1(a0，b0)的顶点坐标为(a，0)，(a，0)；双曲线1(a0，b0)的顶点坐标为(0，a)，(0，a).知识点三渐近线与离心率思考1能否和椭圆一样，用a，b表示双曲线的离心率？答案能，离心率e.思考2离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？答案有影响，因为e，故当的值越大，渐近线yx的斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大.梳理(1)渐近线：直线yx叫做双曲线1(a0，b0)的渐近线.(2)离心率：双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率，用e表示(e1).(3)双曲线的几何性质见下表：标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xaya或ya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(a，0)，A2(a，0)顶点坐标：A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中ca，b，c间的关系c2a2b2(ca0，cb0)类型一已知双曲线的标准方程求其简单几何性质例1求双曲线nx2my2mn(m0，n0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.解把方程nx2my2mn(m0，n0)化为标准方程为1(m0，n0)，由此可知，实半轴长a，虚半轴长b，c，焦点坐标为(，0)，(，0)，离心率e，顶点坐标为(，0)，(，0)，所以渐近线方程为y x，即yx.引申探究将本例改为“求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程”，请给出解答.解将9y24x236变形为1，即1，所以a3，b2，c，因此顶点坐标为(3，0)，(3，0)，焦点坐标为(，0)，(，0)，实轴长是2a6，虚轴长是2b4，离心率e，渐近线方程为yxx.反思与感悟由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键.(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.(3)由c2a2b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.跟踪训练1求双曲线9y216x2144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.解把方程9y216x2144化为标准方程1.由此可知，实半轴长a4，虚半轴长b3；c5，焦点坐标是(0，5)，(0，5)；离心率e；渐近线方程为yx.类型二由双曲线的几何性质确定标准方程例2求下列双曲线的标准方程.(1)与椭圆1有公共焦点，且过点(2，)；(2)过点(3，9)，离心率e.解(1)方法一椭圆1的焦点为F1(0，3)，F2(0，3)，设双曲线的方程为1(a0，b0)，则有解得故所求双曲线的方程为1.方法二由椭圆方程1知焦点在y轴上，设所求双曲线方程为1(160)，则c210k，b2c2a2k.于是，设所求双曲线方程为1，或1，把(3，9)代入，得k161与k0矛盾，无解；把(3，9)代入，得k9，故所求双曲线方程为1.反思与感悟(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式.(2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为1(a0，b0).焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为1(a0，b0).与双曲线1共焦点的双曲线方程可设为1(0，b20，b0)的离心率e，过点A(0，b)和B(a，0)的直线与原点的距离为，求此双曲线的标准方程.解(1)设所求双曲线的方程为(0).点M(3，2)在双曲线上，即2.双曲线的标准方程为1.(2)e，a23b2.又直线AB的方程为bxayab0，d，即4a2b23(a2b2).解组成的方程组，得a23，b21.双曲线的标准方程为y21.类型三共轭双曲线与等轴双曲线命题角度1共轭双曲线例3已知双曲线E与双曲线1共渐近线，且过点A(2，3).若双曲线M以双曲线E的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M的标准方程.解由题意，设双曲线E的方程为t(t0).点A(2，3)在双曲线上，t，t，双曲线E的标准方程为1.又双曲线M与双曲线E互为共轭双曲线，故双曲线M的标准方程为1.反思与感悟双曲线1(a0，b0)与双曲线1(a0，b0)互为共轭双曲线，两者：(1)有共同的渐近线.(2)四个焦点共圆.(3)它们的离心率不同，设它们的离心率分别为e1，e2，则1.(4)焦点所在坐标轴不同，一个在x轴上，另一个在y轴上.跟踪训练3与双曲线1有共同渐近线，且过点(3，2)的双曲线的共轭双曲线的方程为_.答案1解析设所求双曲线的方程为(0).将点(3，2)的坐标代入，得，所以双曲线的方程为，即1.故其共轭双曲线为1.命题角度2等轴双曲线例4已知等轴双曲线的焦点在x轴上，且焦点到渐近线的距离是，求此双曲线的方程.解设双曲线方程为x2y2a2(a0)，则它的渐近线方程为yx，焦点坐标为(a，0)，(a，0)，a，双曲线的方程为x2y22.反思与感悟(1)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.(2)等轴双曲线的性质：渐近线方程为yx；渐近线互相垂直；离心率e.(3)等轴双曲线的特征是ab，等轴双曲线的方程可以设为x2y2(0).当0时，双曲线的焦点在x轴上；当0，b0)的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率e为()A. B.2 C. D.答案A解析依据等轴双曲线的性质，得e.类型四直线与双曲线的位置关系命题角度1直线与双曲线位置关系的判定与交点问题例5已知直线ykx1与双曲线x2y24.(1)若直线与双曲线没有公共点，求k的取值范围；(2)若直线与双曲线有两个公共点，求k的取值范围；(3)若直线与双曲线只有一个公共点，求k的值.解由得(1k2)x22kx50.(1)直线与双曲线没有公共点，则式方程无解.解得k或k或k.(2)直线与双曲线有两个公共点，则式方程有两个不相等的根.解得k0直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交；0直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切；时，直线l只与双曲线一支相交，交点有两个；如图，0)与直线l：xy1相交于A，B两个不同的点.求双曲线的离心率e的取值范围；设直线l与y轴的交点为P，且，求a的值.解由得(1a2)x22a2x2a20，由题易得得0a且e.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知P(0，1)，(x1，y11)(x2，y21)，故x1x2.又x1，x2是方程的两个根，x2，x.又a0，a.(2)已知过点P(1，1)的直线l与双曲线x21只有一个公共点，试探究直线l的斜率k的取值.解设直线l的斜率为k，则l：yk(x1)1，代入双曲线方程得(4k2)x2(2k2k2)xk22k50.若4k20，即k2，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；若4k20，则(2k2k2)24(4k2)(k22k5)0，解得k.综上可得，直线l的斜率k的取值为或2.命题角度2直线与双曲线的相交弦及弦长问题例6(1)求直线yx1被双曲线x21截得的弦长.(2)求过定点(0，1)的直线被双曲线x21截得的弦中点的轨迹方程.解(1)由得4x2(x1)240.化简得3x22x50.设此方程的解为x1，x2，则有x1x2，x1x2.故所截得的弦长d|x1x2|.(2)方法一该直线的斜率不存在时，直线与双曲线无交点，故可设直线的方程为ykx1，它被双曲线截得的弦AB对应的中点为P(x，y).由得(4k2)x22kx50.设此方程的解为x1，x2，则4k20，4k220(4k2)0，16k280，即|k|，k2，且x1x2，x1x2，x(x1x2)，y(y1y2)(x1x2)1.由消去k，得4x2y2y0(y4或y1).方法二设弦的两个端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦的中点为P(x，y)，则，得4(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，即(k为直线AB的斜率)，整理得4x2y2y0(y0，b0)上不同的两点，且x1x2，x1x20，M(x0，y0)为线段AB的中点，则两式相减可得，即kAB.跟踪训练6已知双曲线的方程为2x2y22.(1)过定点P(2，1)作直线交双曲线于P1，P2两点，当点P(2，1)是弦P1P2的中点时，求此直线方程；(2)过定点Q(1，1)能否作直线l，使l与此双曲线相交于Q1，Q2两点，且Q是弦Q1Q2的中点？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由.解(1)若直线斜率不存在，即P1P2垂直于x轴，则由双曲线的对称性知弦P1P2的中点在x轴上，不可能是点P(2，1)，所以直线l斜率存在.故可设直线l的方程为y1k(x2)，即ykx2k1.由消去y并化简，得(2k2)x22k(2k1)x4k24k30.设直线l与双曲线的交点P1(x1，y1)，P2(x2，y2).当2k20，即k22时，有x1x2.又点P(2，1)是弦P1P2的中点，4，解得k4.当k4时，4k2(2k1)24(2k2)(4k24k3)5650.当k22，即k时，此时与渐近线的斜率相等，即k的直线l与双曲线不可能有两个交点.综上可知，所求直线的方程为4xy70.(2)假设这样的直线l存在，设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，则有1，1，x1x22，y1y22，且两式相减，得(2x2x)(yy)0，2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，2(x1x2)(y1y2)0.若直线Q1Q2垂直于x轴，则线段Q1Q2中点不可能是点Q(1，1)，直线Q1Q2斜率存在，于是k2，直线Q1Q2的方程为y12(x1)，即y2x1.由得2x2(2x1)22，即2x24x30，16240.直线l与双曲线没有公共点，因此这样的直线不存在.1.设双曲线1的渐近线方程为3x2y0，则a的值为()A.4 B.3 C.2 D.1答案A解析方程表示双曲线，a0)的右焦点为(3，0)，则双曲线的离心率等于()A. B. C. D.答案C解析由题意知a259， 解得a2，e.3.等轴双曲线的一个焦点是F1(6，0)，则其标准方程为()A.1 B.1 C.1 D.1答案D解析等轴双曲线的焦点为(6，0)，c6，2a236，a218.双曲线的标准方程为1.4.若双曲线1的渐近线方程为yx，则双曲线的焦点坐标是_.答案(，0)解析由渐近线方程为yxx，得m3，c，且焦点在x轴上.5.设双曲线1(a0，b0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为_.答案yx解析由条件知2b2，2c2，b1，c，a2c2b22，即a，双曲线方程为y21，因此其渐近线方程为yx.双曲线的综合问题常涉及其离心率、渐近线、范围等，与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力.(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立关系求解.(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关关系求解.40分钟课时作业一、选择题1.下列双曲线中，渐近线方程为y2x的是()A.x21 B.y21 C.x21 D.y21答案A解析由双曲线性质知，双曲线x21的渐近线方程为y2x，故选A.2.若直线ykx与双曲线4x2y216相交，则实数k的取值范围是()A.(2，2) B.(1，1) C.(0，2) D.(2，0)答案A解析易知k2，将ykx代入4x2y216得关于x的一元二次方程(4k2)x2160，由0可得2k0)，与yx联立，得x2a2，|AB|a2，a3，故选B.6.设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，过点F且斜率为1的直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于A、B两点，若3，则双曲线C的离心率e等于()A. B. C. D.答案D解析设F(c，0)，则过双曲线：1(a0，b0)的右焦点F且斜率为1的直线l的方程为y(xc)，而渐近线方程是yx，由得B(，)，由得A(，)，(，)，(，)，由3，得(，)3(，)，则3，即ba，则ca，则e，故选D.二、填空题7.过点A(3，1)且被A点平分的双曲线y21的弦所在的直线方程是_.答案3x4y50解析易知所求直线的斜率存在，设为k，设该直线的方程为y1k(x3)，代入y21，消去y得关于x的一元二次方程(14k2)x2(24k28k)x36k224k80，6，k，所求直线方程为3x4y50.8.已知(2，0)是双曲线x21(b0)的一个焦点，则b_.答案解析由题意知c2，a1，由c2a2b2，得b2413，所以b.9.已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C的左支上一点，A(0，6).当APF周长最小时，该三角形的面积为_.答案12解析设左焦点为F1，|PF|PF1|2a2，|PF|2|PF1|，APF的周长为|AF|AP|PF|AF|AP|2|PF1|，APF周长最小即为|AP|PF1|最小，当A、P、F1在一条直线上时最小，过AF1的直线方程为1.与x21联立，解得P点坐标为(2，2)，此时S12.10.已知双曲线1(b0)的离心率为2，则它的一个焦点到其中一条渐近线的距离为_.答案2解析由双曲线方程知a2，又e2，所以c4，所以b2.所以双曲线的一条渐近线方程为yxx，一个焦点为F(4，0).焦点F到渐近线yx的距离d2.三、解答题11.已知双曲线的中心为坐标原点，右顶点为A(1，0)，点P在双曲线的右支上，点M(m，0)到直线AP的距