专题选修课件2-3《概率》教学分析与指导.docx

专题：选修2-3概率教学分析与指导一、学生学习表现及成因探析（一）错误表现1.对超几何分布、二项分布概念混淆介绍数学通讯上的一个问题2.没有处理大信息量的题目策略与方法 从以下两个题目进行分析：例1.某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段，进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）.O 体育成绩 45 55 65 75 85 95u142uuuuuuuuu4121068各分数段人数（）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在和的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在的概率；学生解法：设 “至少有1人体育成绩在”为事件， 成绩在的概率为，成绩在的概率为由题意，得， 26214313， 乘公共电汽车 方案10公里（含）内2元；10公里以上部分，每增加1元可乘坐5公里（含）.乘坐地铁方案（不含机场线）6公里（含）内3元；6公里至12公里（含）4元；12公里至22公里（含）5元；22公里至32公里（含）6元；32公里以上部分，每增加1元可乘坐20公里（含）.例2. 2014年12月28日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价. 具体如下表.（不考虑公交卡折扣情况） 已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示O票价(元)345104050人数302060（）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1人 ，试估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率；（）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2人，记X为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求X的分布列和数学期望；【部分解答】：根据统计图，可知120人中地铁票价为3元、4元、5元的频率分别为，即， 以频率作为概率，知乘客地铁票价为3元、4元、5元的概率分别为，所以 ，.（二）成因探析学生问题出在心理上、或者不知如何处理大信息量的题目 1.对概率的基本事件没有分析清楚就开始做题，追溯根源跟上一章两个基本的计数原理理解不到位有着十分密切的关系.在上一章的学习过程中，学生应通过枚举对“完成一件事”的全过程给出清晰的认识，然后再学会运用组合数或者排列数进行快捷计数；2.处理大量信息的方法往往被解题的迫切性所掩盖，有时还出现读题看后忘前、不能分辨出有用信息.事实上学生对图表的识别是有一定的基础的，在其他学科的教学内容中有大量的图表（折线图、柱状图、表格）让学生阅读，但是图表的阅读多局限在数据的趋势，或某个数据信息上，综合分析所有数据，并对数据进行整合分析的能力比较弱，因此在教学过程中应关注学生如何处理两个变量甚至多个变量之间关系的数据信息，有时还需掌握对数据按照题目规则进行运算分析的方法. 二、本专题内容解读（一）本专题知识体系的梳理（二）本专题的主要问题及其问题解决的基本思维模式概率论是研究随机现象数量规律的数学分支.随机现象是相对于决定性现象而言的.随机现象则是指在基本可控条件不变我个人认为，之所以出现随机现象，是因为“试验”的条件有可控和不可控之分，如果不可控因素对试验都没有任何影响，那么就是必然事件了。正是由于不可控的因素综合影响着试验的结果事件发生与否，所以才会出现随机现象。的情况下，每一次试验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性.随机现象的实现和对它的观察称为随机试验.典型的随机试验有掷骰子、扔硬币、抽扑克牌以及轮盘游戏等.事件的概率是衡量该事件发生的可能性的量度.虽然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的，但那些可在相同条件下大量重复这实际上从一个角度体现了条件的可控性，不可控，就不会有“可重复”的随机试验却往往呈现出明显的数量规律.主要问题：随机现象与概率模型基本思维模式：随机事件概率模型现实意义对于概率问题，构建“认清随机事件，科学使用枚举法计数，并合理使用概率模型（古典概型、独立与互斥事件、超几何分布、二项分布）解题，最终帮助学生形成能用概率来解释生活中的一些随机现象的能力”的思维模式.（三）本专题问题解决所需的核心技能与核心思想方法虽然概率论最早产生于17世纪，然而其公理体系只在20世纪的20至30年代才建立起来并得到迅速发展，在过去的半个世纪里概率论在越来越多的新兴领域显示了它的应用性和实用性，例如：物理、化学、生物、医学、心理学、社会学、政治学、教育学，经济学以及几乎所有的工程学等领域.特别值得一提的是，概率论是今天数理统计的基础，其结果被用做问卷调查的分析资料或者对经济前景进行预测.1.数据分析：对大量信息归纳整合，能够运用图表对已获得到的数据进行处理，再根据适当的运算分析数据，并能结合实际情况对数据及运算结果进行分析.数据分析是指针对研究对象获取相关数据，运用统计方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的过程。主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型对信息进行分析、推断，获得结论.数据分析是研究随机现象的重要数学手段，是大数据时代数学应用的主要方法，已经深入到现代社会生活和科学研究的各个方面.在数据分析核心素养的形成过程中，学生能够：提升获取信息的能力；增强基于数据表达现实问题的意识，养成通过数据思考问题的习惯；积累依托数据探索事物本质、关联和规律的活动经验.2.数学建模：将实际问题准确构建数学模型，通过超几何分布、二项分布两种基础模型，结合事件的独立性科学解决问题.数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题.数学模型搭建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式.数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力.在数学建模核心素养的形成过程中，学生能够：感悟数学与现实之间的关联，学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验；加深对数学内容的理解；提升应用能力，增强创新意识.3.数学运算：分析事件在先，概率计算在后，同时理解运算的意义对于本章来说最为重要.三、三、教学目标分析与定位（一）课标要求1内容与要求: 随机事件的独立性与条件概率、离散型随机变量及其分布列、随机变量的数字特征、正态分布.2说明与建议：通过本单元的学习，能够理解随机事件的独立性、了解条件概率并能进行简单计算；感悟离散随机变量及其分布列的含义，知道可以通过随机变量更好地刻画随机现象；能够理解伯努利试验，掌握二项分布，了解超几何分布；感悟服从正态分布的随机变量，知道连续型随机变量.能够基于随机变量及其分布解决简单的实际问题.（二）北京高考考试说明要求考试内容要求层次ABC概率事件与概率随机事件的概率随机事件的运算两个互斥事件的概率加法公式古典概型古典概型几何概型几何概型概率取有限值的离散型随机变量及其分布列超几何分布条件概率事件的独立性次独立重复试验与二项分布取有限值的离散型随机变量的均值、方差正态分布参考样题【样题24】(2012年理工类第17题）近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060（）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（）试估计生活垃圾投放错误的概率；（）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为其中a0，=600.当数据的方差最大时，写出的值（结论不要求证明），并求此时的值.（注：，其中为数据的平均数）【样题25】（2010年理工类第17题）某同学要参加3门课程的考试. 假设某同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，（，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立. 记为该生取得优秀成绩的课程数, 其分布列为 0123概率 （I）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；（II）求，的值；（III）求数学期望四、教学实施建议（一）课时分配本章有四节内容，约需14课时，具体分配如下（仅供参考）：2.1离散型随机变量及其分布列-约4课时2.2条件概率与事件的独立性-约4课时2.3随机变量的数字特征- 约3课时2.4正态分布-约1课时小结与复习- 约2课时建议：可以将随机变量的数字特征随分布列一起介绍（二）难点科学合理分析数据、构建正确分布模型、创设有实际背景的概率题目【谈一次听课体会】教师在课前让学生解决了下面这个问题：目前很多朋友都加入了微信群，大多数群成员认为有思想的群不仅仅是群里的人转发与主题有关的网页文章，而且群成员之间还有文字或语音的交流，并规定为“群健康度”.为此群主统计一年的群里聊天记录（假定该群进群有群主同意邀请，且无业务插入广告），并将聊天记录中的网页类型分享和文字语音聊天内容进行了分类统计，并按照“群健康度”制作了分析趋势图，假定“群健康度”小于20%为群氛围优良，“群健康度”大于30%为群氛围不合理.（）求此群主统计的一年里，某月群氛围不合理的概率；（）现群主随机选择从1月至12月的某一个月开始分析，连续分析两个月，求两个月中至少有一个月“群健康度”优良的概率；（）请你分析该群的“群健康度”趋势，并简单说明理由.【教学活动】在订正了题目的答案之后，教师在对概率模型进行总结，并强调了解决概率问题时要关注枚举法的重要性.【点评】在处理这个题目的时候，教师并没有运用枚举法例举出“连续两个月”的数据是什么，事实上，教师不惜花费时间的“枚举”板演，起到了较好的示范作用，远远比把方法挂在嘴边来得更为实际.【教学活动】随后给出了三个如下变式，让学生首先独立进行分析解答，再做小组交流.变式1：现群主随机从1月至12月中选择两个月分析，设表示2个月中群氛围优良的个数，求的分布列与数学期望.变式2：现群主依次从1月至12月中选择两个月分析，设表示2个月中群氛围优良的个数，求的分布列与数学期望.变式3：现群主分两次，每次都从1月至12月中选择一个月分析，设表示2个月中群氛围优良的个数，求的分布列与数学期望.【学生活动】学生在处理这三个题目的时候，出现了以下的问题：对于变式2来说，“依次”的理解是什么？教师发现学生问题后，解释了依次的意思是，先取一次，再取一次，强调了顺序，而变式1没有顺序.【点评】这样的理解是不合理的，容易给学生造成理解的偏差，另外变式3的选取方式也不符合实际意义，试想如何出现群主第一次和第二次都选取的是同一个月这样的情况，是不是在现实生活中的分析就没有研究价值了？这说明，我们的概率统计题目来源于生活，就要有一定的实际背景，不能“为了做题而编题”.（三）教学实施建议1.随机变量的分布列运用数学语言来清楚地刻画每个随机现象的规律（1）建议回顾必修3中刻画和描述随机现象的相关知识：随机事件、互斥事件和对立事件、古典概型等；（2）了解一个随机现象是指：知道这一随机现象中所有可能出现的结果，并能求出每一出现的结果的概率.随机现象的特点在于：无论你如何研究、分析，都不会改变“事前无法预料其结果”这一特性，即我们掌握了随机现象的规律，并不意味着可以改变结果的随机性.（3） 随机变量是一个映射.如果把随机现象中试验的每一个可能结果都对应于一个数，从数学上讲，就是建立了一个从试验结果的结合到实数集合的映射，这个映射就称为随机变量.因此，把随机试验的每一个可能结果都用一个数表示之后，了解随机现象就变成了思考这个随机变量所有可能取值和取每一个值的概率问题.(4) 两点分布及其数字特征注意：有两个试验结果的分布不一定是两点分布.（5） 为什么要学习重要的分布列？面对形形色色的随机现象，它们有着千差万别的分布.我们在这里的学习，就像以往我们对三角形、对四边形、对函数、对数列的学习一样，我们采用分类的方法，研究一些重要的类型，这将十分有助于我们研究一般的分布.因此按照随机变量和试验情况进行划分，我们将研究离散随机变量中试验结果只有“成功”和“失败”两种可能类的二项分布；离散随机变量中“次品类问题”的超几何分布以及对连续性随机变量中最常见的正态分布.虽然这些分布无法覆盖各种各样的随机现象，但它们描述了随机现象中最有用最常见的情形，它们非常有助于对一般随机现象的理解和讨论.2.超几何分布及其数字特征（1）解决这类问题的一般过程S1:判断随机事件的分布是不是超几何分布S2:利用超几何分布的概率公式求出分布列（2）书上P45超几何分布取值概率公式将书上问题进行改变数据，我们会发现：随机变量为取出的女生人数总人数女生人数取出人数随机变量的可能取值121042,3,412941,2,3,412840,1，2,3,412740,1,2,3,412240,1,2课本上的公式中的的取值不正确.事实上，（3）超几何分布的期望P73附录，在证明过程中也出现了这样的问题.3.二项分布及其数字特征（1）条件概率条件概率的引入是为了讲解事件的独立性，因此不必设置过多过难的条件概率的题目.其重点在于如何从条件概率的角来理解事件间的独立性，即如果事件发生对事件发生的概率没有影响，则事件独立于事件.（2） 通过问题串的设置引入新知某件产品10件，其中恰有4件次品，现从中任意抽取3件问题1：取完后不放回，求3件都是次品的概率问题2：每次抽取后都放回，求3件都是次品的概率问题3：每次抽取后都放回，求3件中恰有2件是次品的概率问题4：每次抽取后都放回，求3件中恰有1件是次品的概率再过渡到询问分布列.（3） 随机变量是否服从二项分布需满足三个条件：在次独立重复试验中任意两次试验之间必须是相互独立的.每一次试验都关注某事件及其对立事件（注意：这里并非说每次随机试验一定有两个相互对立的结果，例如抛掷一枚均匀骰子，有6个等可能的结果，但可以看成“向上点数为6”和“向上点数不是6”）我们关注随机事件的结果是什么，如果关注的结果为，那么得不到结果就是事件的对立事件.每次试验中的概率是相同的，而且对立事件的概率也是相同的.（4）关于超几何分布和二项分布的一点理解事实上在现实生活中，我们所遇到的抽取都是不放回的，因此我们会形成超几何分布这个十分具有实际意义的离散型随机变量的分布模型.但是有时在统计研究过程中，当我们进行假设检验，或者我们从很大的样本中抽取时，发现对于样本很大的试验来说，单个个体放回与不放回对概率没有太大的影响，于是我们就有了放回的分布模型.可能这种模型与实际不十分相符，但是却比较好计划，也就是说我们假设样本都是独立同分布的.在超几何分布中，在某一次抽取时，我们也可以将试验看成10这里的是第次抽取的概率，再利用“和的均值等于均值的和”，就能得到超几何分布的期望是.但是“和的均值等于均值的和”尽管理解起来不难，但涉及联合分布的问题，又是我们中学阶段不能去研究的，因此也不建议大家介绍.4. 随机变量的数字特征（1） 随机变量的均值（期望）是一个数.它刻画的是随机变量取值的中心位置，反映了取值的平均水平.随机变量的方差也是一个数，它刻画了一个随机变量与其均值的平均偏离程度，反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.（2） 均值和方差都是数，它们没有随机性.这和样本均值和样本方差完全不同.样本的数字特征都是随机的，它们是用来估计随机变量的数字特征的.（3） 离散型随机变量的分布完全描述了随机现象的规律，因而它也完全确定了随机变量的均值等数字特征；但反过来，仅仅知道均值等数字特征是无法确定分布的.两个不同的分布完全可以有相同的均值.5.正态分布连续型随机变量五、教学资源1.(2014年理工类第16题)李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设