D61多元数量值函数积分的概念与性质.ppt

第六章,一元函数积分学,多元函数积分学,重积分,曲线积分,曲面积分,多元函数积分学及其应用,三、积分存在的条件和性质,第一节,一、引例,二、多元数量值函数积分的概念,多元数量值函数积分的概念与性质,第六章,1. 平面薄片的质量,有一个平面薄片, 在 xOy 平面上占有区域 D ,计算该薄片的质量 M .,度为,设D 的面积为 ,则,若,非常数 ,则可用,其面密,“分, 匀,合, 精”,解决.,1)“分”,用任意曲线网分D 为 n 个小区域,相应把薄片也分为小块 .,一、引例,2)“匀”,中任取一点,3)“合”,4)“精”,则第 k 小块的质量,2.曲顶柱体的体积,给定曲顶柱体:,底： xOy 面上的闭区域 D,顶: 连续曲面,侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面,求其体积.,“分, 匀, 合, 精”,1)“分”,用任意曲线网分D为 n 个区域,以它们为底把曲顶柱体分为 n 个,2)“匀”,在每个,3)“合”,则,中任取一点,小曲顶柱体,4)“精”,令,两个问题的共性：,(1) 解决问题的步骤相同,(2) 所求量的结构式相同,“分, 匀, 合,精”,曲顶柱体体积:,平面薄片的质量:,例如: 物体为空间物质块。,一般说来，设有一质量非均匀分布在某一几何形体,上的物体，（这里几何形体可以是直线段、平面或,连续，都可以按照以上四个步骤来计算其质量。,空间区域，一片曲面或一段曲线），密度函数,二、多元数量值函数积分的概念,定义:,抽 象 其 共 性,如果不论 怎样划分，点 怎样选取，极限,都存在，则称f 在 上可积，且,称此极限值为,即：,注意：当积分域类型不同时，积分的具体表达式,和名称也不相同,(1)当 为区间a,b时，M为x，积分为定积分,(2)当 为平面域()时，M为(x, y)，积分为二重积分,d称为面积微元，在直角坐标系下常写作,引例1中平面薄板的质量:,引例2中曲顶柱体体积:,(3)当 为空间域(V)时，M为(x, y, z)，积分为三重积分,称为体积元素,在直角坐标系下常写作,(4)当 为一条曲线弧段(C)时，积分为对弧长的曲线积分,也称为第一型线积分,其中(C)称为积分路径,(5)当 为一片曲面(S)时，积分为对面积的曲面积分,也称为第一型面积分,三、积分存在的条件和性质,定理1：,上可积。,定理2：若 是紧的且可度量，,，则f 在,、积分存在的条件,复习:定积分的性质,(设所列定积分都存在),( k 为常数),、积分的性质,6. 若在 a , b 上,则,推论1. 若在 a , b 上,则,推论2.,7. 设,则,8. 积分中值定理,则至少存在一点,使,积分的性质,设 是紧的、可度量且被积函数可积,1. 线性性质,(2),(1),2. 对积分域的可加性,3. 积分不等式,4. 中值定理,为一有界连通闭集，则至少存在,一点,例1. 比较下列积分的大小:,其中,解: 积分域 D 的边界为圆周,它在与 x 轴的交点 (1,0) 处与直线,从而,而域 D 位于直线的上方, 故在 D 上,例2. 估计下列积分之值,解: D 的面积为,由于,积分性质5,即: 1.96 I 2,被积函数相同, 且非负,思考与练习,解:,由它们的积分域范围可知,1. 比较下列积分值的大小关系:,2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则,的大小顺序为 ( ),提示: 因 0 y 1, 故,故在D上有