隐函数的导数、由参数方程确定的函数的导数.ppt

第四节 隐函数的导数、 由参数方程确定的函数的导数,一、隐函数的导数,二、对数求导法,三、由参数方程确定的函数的导数,一、隐函数的导数,若由方程,可确定y是x的函数,由,表示的函数，称为显函数。,例如,可确定显函数,可确定y是x的函数 ,对于不能显化或不易显化隐函数如何求导？,函数为隐函数.,则称此,隐函数求导方法:,（隐函数的显化）,将y看做中间变量，运用复合函数求导法则在方,程两边直接对x求导。,隐函数求导方法:,两边对x求导 (注意y = y(x),(含导数 的方程),例1 方程 y = x lny 确定了函数 y = y (x), 求 y .,解 方程两边同时对 x 求导, 得,例2 设 sin(xy) - ln(x + y) = 0 确定了函数 y = y (x), 求 y .,解 方程两边同时对 x 求导, 把 y 看成 x 的函数有,解 方程两边同时对 x 求导, 把 y 看成 x 的函数有,例3 设 确定了函数 y = y (x), 求,代入上式，得,例4 方程 x 2 + xy + y 2 = 4 确定了y 是 x 的函数求曲线上点 (2, 2) 处的切线方程.,解 方程两边同时对 x 求导, 得,于是, 点(2, 2)处的切线方程为,即 x y 4 = 0.,2x + y + xy + 2yy = 0,y ( 2) = 1 (x 2),例5 求由方程,函数 y 的二阶导数 y .,所确定的隐,解 由隐函数求导法, 得,上式两边再同时对 x 求导, 得,例6 设 y = y (x) 由方程,所确定, 求 y .,解 方程变形为,两边同时对 x 求导, 得,上式两边再同时对 x 求导, 得,对于有些函数, 使用对数求导法求导要比通常的方法简便. 所谓对数求导法就是先在 y = f (x), 的两边取对数, 然后再用隐函数求导法求出 y 的导数.,二、对数求导法,观察函数,对数求导法适用于多个函数相乘或幂指函数,求导。,例6 y = x x (x 0), 求 y .,解 两边取对数, 得 lny = xlnx. 上式两边同时对 x 求导, 把 y 看成 x 的函数, 得,于是 y = y (1 + lnx) = x x (1 + lnx).,上述方法实际上是对幂指函数求导的一般方法, 也可以按下列方法书写, y = x x = e x lnx, 于是,y = e x lnx (xlnx) = x x(lnx + 1).,例7 设,解 显然函数是幂指函数，可采用对数求导法。为此先将方程两边取对数得,上式两边同时对 x 求导, 把 y 看成 x 的函数, 得,例8 设 x 1, x 2, 3, 4,解 如果直接利用复合函数的求导公式求这个函数的导数, 将是很复杂的. 为此先将方程两边取对数得,上式两边同时对 x 求导, 把 y 看成 x 的函数, 得,例如,消去参数,问题: 消参困难或无法消参如何求导?,三、由参数方程确定的函数的导数,由复合函数及反函数的求导法则得,事实上，,求,解：,例1 设,求在,处的切线方程。,解：,切线方程：,例2 已知摆线方程,已知,注意 :,例3. 设,求,则有,解,解：,内容小结,1. 隐函数求导法则,直接对方程两边求导,2. 对数求导法 :,适用于幂指函数及某些用连乘, 连除，乘方，开方表示的函数,3. 参数方程求导法,作业 P91 1（1）（3）； 2（2）； 3（1）（4）； 4（1）（4）,例5.设, 且,求,解:,一般地,在直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x、y 都是某个变量 t 的函数 -(1) 并且对于t 的每一个允许值, 由方程组(1) 所确定的点M (x,y) 都在这条曲线上,那么方程组(1) 就叫做这条曲线的参数方程, 联系x、y 之间的变数 t 叫做参变数，简称为参数.,三、由参数方程确定的函数的导数,时, 有,求,已知,1、 隐函数,前面我们遇到的函数表达式是，给出自变量 x的值时直接由一个公式求得因变量 y 的值。这种方式表达的函数叫做显函数。如，,但有时会遇到因变量与自变量的对应规则是用一个方程 F (x, y)=0 表示的函数，这种函数称为隐函数。如，,一、隐函数的导数,一般的，如果变量 x 和 y 满足方程 F (x, y)=0，在一定条件下，当 x 在某区间内任取一值时，相应的总有满足该方程的唯一的 y 值存在，那么就说方程 F (x, y)=0 在该区间内确定了一个隐函数。,例如，方程,当自变量 x 在-1,1内取值时，变量 y 有确定的值与之对应；如果限定y0，则当 x=0 时，y=1.,从方程中把因变量 y 解出来化成显函数的形式，叫做隐函数的显化。,例如，在上半平面内(y0)从方程,但并不是所有的隐函数都能被显化，如,由隐函数的显化我们可以看到，所谓方程F(x, y)=0确定一个函数 y=f (x) 就是将此函数代入方程，则方程F (x, y)= F (x, f(x)0成为恒等式。,就得到 x 的恒等式,也就是说，当方程中的 y 被看作隐函数时，方程就成为 x 的恒等式。关于 y 的表达式部分就看做是自变量为 x 的复合函数 形式。,2、隐函数的导数,对于容易显化的隐函数，在求其导数时可以显化后再求导.,对于不能显化或