选择权仍一金融工具.ppt

選擇權 Options,區國強,選擇權仍一金融工具，讓其持有者在指定的日期以指定的價格有權去買或去賣特定資產 有權去買稱買權 call options 有權去賣稱賣權 put options 若執行選擇權，必定利潤為正 賣選擇權者稱 writer,理論上，美式選擇權的執行利潤必定大過歐式選擇權的執行利潤 實務上，上述差異極小，因為投資者可以在公開市場上再賣出,K : 執行價格 exercise price C : 買權之價值 P : 賣權之價值 S : 現貨價 F : 期貨價,Long 買權之期終收入: Long 賣權之期終收入:,如現貨價 St接近執行價格 K，稱為 at-the-money 如執行選擇權，可獲利潤，則其現貨價 St稱為in-the-money 如執行選擇權，無利潤可言，則其現貨價 St稱為out-of-the-money,因選擇權在到期日必定有利潤(最少為零) ，故選擇權契約為有價資產(最少為零) ，必需先支付非負的價格，始可獲得，些稱為貼水(premium) 。故評價選擇權，必需把此貼水轉換為到期日時的未來值 (Cert 或Pert ),賣權-買權平價 Put-call parity,買特定資產的交易收益，可分解為對該資產a long call + a short put，因若資產價格上升，其收益可用long call表示；若資產價格下跌，其損失可用short put表示，此簡單關係連結了call 與 put 的價值，故稱為賣權-買權平價, Put-call parity,表列Put-call parity,若無套利行為，則無收益資產Put-call parity: 有收益成長率為 r*之Put-call parity:,例題 (1999 FRM Exam Q.35),根據Put-call parity，賣一個賣權等同: A. 買一個買權，買股票，借出錢； B. 賣一個買權，買股票，借入錢； C. 賣一個買權，買股票，借出錢； D. 賣一個買權，賣股票，借入錢；,例題 (2002 FRM Exam Q.47),兩年期的歐式買權價值$50，其執行價格為$140，現貨價$100，每年支付股利2%，年利率為5%；則執行價格為$140的兩年期的歐式賣權價值為: A. $77 B. $10 C. $90 D. $81,例題 (2002 FRM Exam Q.25),年利率為6%，一無股利之股票，現價$20，執行價格為$18的六個月歐式買權的賣價為$4，同執行價格、同履約期的歐式賣權的賣價為$1.47，此三種資產(股票、買權及賣權)的訂價是否一致? A. 否，有價值$2.00的套利機會 B. 否，有價值$2.53的套利機會 C. 否，有價值$14.00的套利機會 D. 是,選擇權的組合,Short Covered call: 買入資產 + short a call Long protective put:買入資產 + long a put Long straddle(同時買賣相同履約期及執行價格的買權及賣權): long a call + long a put Short straddle: short a call + short a put Strangle: 不同的執行價格的組合 (因 strangle為out-of-money, 故較straddle便 宜),價差 spread,牛價差 bull spread: 預期價格上升: 1. 以較低的執行價格 K1 買一個買權 2. 以較高的執行價格 K2 賣一個買權 淨成本: C(S,K1) - C(S,K2) 0 如果 ST K2，淨收益:,例題 (2001 FRM Exam Q.90),用選擇權契約投機，下列何者風險最大? A. 使用買權去設立一個價差 B. 買賣權 C. 賣買權 D. 賣賣權,例題 (1999 FRM Exam Q.33),下列何者構成一個牛價差 bull spread? A. 買一個執行價格=50的賣權；賣一個執行價 格=55的賣權 B. 買一個執行價格=55的賣權；賣一個執行價 格=50的賣權 C. 買一個貼水=5的買權；賣一個貼水=7的買 權 D. 買一個執行價格=50的買權；賣一個執行價 格=55的賣權,例題 (2000 FRM Exam Q.5),考慮一個bullish spread: 以$3買入一個執行價格為$30的買權；並以$1.50賣出一個執行價格為$40的買權。若在履約日，股票價格升至$42，則此bullish spread的淨利潤為: A. $8.50 B. $9.00 C. $9.50 D. $12.50,例題 (2002 FRM Exam 42),考慮一熊市發策略:以$7買入一個執行價格為$50的賣權、以每個$4賣出兩個執行價格為$42的賣權、及以$2買入一個執行價格為$37的賣權，全部選擇權的到期日皆相同。若在到期日，資產以$33交易，則上述熊市發策略的淨利潤為: A. $1 B. $2 C. $3 D. $4,選擇權評價的下限,不管是買權抑或賣權，其價值必不為負，故根據Put-call parity，可分別得出其下限:,美式選擇權是否應提早執行,(假定資產無股利) 買權：可選擇提早執行或賣出契約 提早執行之利潤: St K 賣出契約之利潤下限: 因 故絕不提早執行買權契約,賣權:可選擇提早執行或賣出契約 提早執行之利潤: K St 賣出契約之利潤下限: 因提早執行之利潤大過賣出契約之利潤下限, 故可能提早執行。若利率低或資產有支付高股利，則降低提早執行的可能性。,例題 (1999 FRM Exam 34),一歐式買權剩一年到期，執行價格為80，年利率為5%，若現貨價為90，則該買權的買價下限為: A. 14.61 B. 13.90 C. 10.00 D. 5.90,風險中立(risk-neutral)定價,Binomial process: 假定利率 r = 25% S1 = 150, C1 = 50 S0 =100 S2 = 50, C2 = 0,假定發生第一種情形的機率為 p，則一風險中立的投資者要求: 同理，選擇權的定價為,Black-Scholes 定價,假定: 1.價格連續變動 2. 利率固定並已知 3. 資產的變異數固定 4.完美市場 (無稅、無運輸成本、放空無 限制、市場連續運作),資產價格的统計程序為 geometric Brownian motion (GBM): 在一極短的時間區間 (dt) ，對數報酬率為平均數=dt、變異數=2dt 的常態分配，總報酬率依循 第一項的平均變動，第二項為隨機變動 ，dz為平均數=0、變異數=dt的常態分配,期終價格: 為N(0,1)的標準常態分配,買權定價: N(d)為常態分配的累加分配,根據 put-call parity，歐式賣權之定價: 例: 現貨價 S=100，年利率為5%，執行價格K=100，=20%，則半年期的買權及賣權分別為何?,Call的價值可視為等同於購買 N(d1) = 59.77%現貨，並借入 c = $59.77 - $52.88 =$6.89現金，故為現貨的槓干部位 買權亦可用風險中立的折現方式表示,右邊第一項積分為不執行的折現值，第二項積分為執行的折現值，故其為K的折現值乘上執行該選擇權(S K)的機率，因此風險中立之執行選擇權的機率為,B-S模型的延伸,Merton(1973)把証劵支付連續紅利 (q)加入B-S 模型中 ，則買權之價值為 ： 有趣的是，如果選擇權趨向更 in-the-money (即S大過K許多)，導致K-S 買權方程式中的d1與d2很大，使 N(d1)及N(d2)趨向一， 令K-S 買權價值為 ：,此變成遠期契約的訂價公式，因為極度 in-the-money的選擇權買權，幾可決定必會被執行，故等於直接買遠期契約 Back(1976)把上述支付紅利的情形從現貨選擇權延伸至期貨選擇權，惟現貨的紅利為現金，期貨的 隱含紅利則為無風險利率,簡單以期貨價格 F 替代現貨價格 S，買權之價值為: B-S訂價模型的全部係數，除了波動(volatility)外，皆可直接觀察，如果我們以市場價格替代模型價格，則volatility可以用標準差代替，稱為隱含標準差 (implied standard deviation, ISD),如果B-S模型是對的，則不論執行價格 K之高低，ISD皆固定，但實際上，在較高及較低的執行價格，ISD皆增加，此稱為波動微笑 (volatility smile) ，此現象在許多市場皆出現，並隨時間的改變而變動。在1987/10股市大崩盤前，此微笑現象的影响並大；大崩盤後，其影响就愈來愈嚴重且複雜,例題 (2001 FRM Exam Q.91),現價 = 100；執行價格 = 110；無風險利率 = 10%，期限 = 0.5年，N(d1) = 0.457185；N(d2) = 0.374163，請計算B-S模型的買權價值: A. $10.90 B. $9.51 C. $6.57 D. $7.92,例題 (1998 FRM Exam Q.2),在B-S買權訂價模型中，何者表示選擇權會否執行的機率: A. d1 B. d2 C. N(d1) D. N(d2),其他選擇權,二項選擇權 (binary options，或稱數位選擇權，digital options)：如果資產價格超過執行價格，則支付一固定金額 Q，故其價值 I(x) 稱為指標變數 (indicator variable),因 in-the-money時執行的機率為N(d2) ，故此選擇權的期初買權價值為： 因為價值在執行價格附近不連續(ST低過K，價值為零； ST高過K，價值為Q) ，故很難避險,關卡選擇權(barrier options) ：H為一事先指定的價格水準，S在整個契約期內: 擊倒 (knock-out):若 SH，則契約生效,Down-and-out call: 如 S H，則買權失效 Up-and-in call: 如 S H，則買權生效 賣權之情況雷同,Down-and-out call加上down-and-in call等於一般的歐式買權: C = CDO + CDI 因為買權的價值必定非負，故CDO 與 CDI的貼水絕不會大過一般的歐式買權 C 因為較便宜，也意味執行的機率較低 在H附近不連續，故很難避險,亞式選擇權 (Asian options):在期終結算時，不以期終現貨價 ST，而以整個契約期內的平均現貨價為計算標準，其期終價值為: 因以平均現貨價計算，volatility較小(約為/3) ，故較便宜，也較容易避險,例題 (1997 FRM Exam Q.10),Knock-out選擇權時常被用以取代一般的選擇權，因為: A. Knock-out options的波動較小 B. Knock-out options的貼水較低 C. Knock-out options的契約期平均較短 D. Knock-out options的gamma較小,例題 (2002 FRM Exam Q.19),現貨價 =100，關卡還未達到，則若現貨價將上升，下列何者不會受益? A. down-and-out 買權:關卡=90,執行價格=110 B. down-and-in 買權:關卡=90,執行價格=110 C. up-and-in賣權: 關卡=110,執行價格=100 D. up-and-in買權: 關卡=110,執行價格=100,選擇權之非線性風險,我們可以把選擇權的價值寫為一般函數式: 衍生性金融商品定價就是尋找 f 的值，惟除非多許多簡單化的假定，否則表達不出函數形式，一般需靠數字方法模擬。 選擇權定價公式中，一般簡化認定: 現貨價(S)為非線性關係，其餘變數為線性關係；,風險管理必需先了解函數 f 的變動。若小幅變動，可以用 Taylor 展開式趨近:,一階偏微稱 delta；二階偏微稱 gamma。故以直線估計，為 delta估計，以二項式估計，則是 delta 加 gamma Taylor 展開式無效的原因: 1. 風險因子巨大變動: 2. 高度非線性(如選擇權接近到期日，或其 他新興選擇權 exotic options) 3.交义偏微,例題 (1999 FRM Exam Q.65),估計普通(vanilla)歐式選擇權的風險時，為什麽常以delta-gamma方式，而非用精確的方程式? A. 以Taylor 展開式展開選擇權的價格函數 時，delta及gamma為首兩項，其他項通 常不顯著 B. 只有delta風險及gamma風險可以避險 C. 價格函數不能直接計算，delta及gamma則可 D. (A)及(C)對，(B) 錯,例題 (1999 FRM Exam Q.88),為什麽 delta方法不適用於衡量選擇權資產組合(portfolio)的風險 A. 缺乏資料去計算變異數-共變異數矩陣 B.選擇權一般為短期的衍生性金融商品 C.選擇權收益為非線性 D. B-S訂價模型不適用於真實世界,例題 (2001 FRM Exam Q.79),一銀行賣出100,000股証劵的買權，收入300,000，該証劵的交易價 =50，執行價格 = 49，契約期三個月，標準差=20%，利率=5%，則該銀行應如何delta避險?(以千股為整數) A. 買入65,000股 B. 買入100,000股 C. 買入21,000股 D. 賣出 100,000股,選擇權的希臘字母,研究風險因子變動導致選擇權價值變動多少，稱為敏感度(sensitivity)分析 最重要的敏感度分析，即為價格對選擇權價值的一階偏微，稱為 delta。如買權的delta為 永遠為正並小過一,賣權的delta則為負數: Gamma ()為二階偏微，即價格對的一階偏微，可衡量的不穩定性。買權和賣權的gamma相同(為標準常態分配的pdf),重要概念,Call delta: at-the-money 0.5 in-the-money 1 out-of-the-money 0 Put delta: at-the-money -0.5 in-the-money 1 out-of-the-money 0 在一般選擇權中，愈短期at-the-money的選擇權，非線性愈明顯,選擇權中的gamma類似債券的convexity.惟固定票面利率債券的convexity恆為正，選擇權的gamma則可正可負。正的gamma及convexity都有好處:資產價值下跌時下跌較慢，上升時則上升較快,正、負 gamma: long call: 0； 0 long put: 0 short call: 0； 0,選擇權價值因波動(volatility)的改變而變動，稱為 lambda(或稱 vega、kappa) ，即選擇權價值對波動的敏感度。歐式買權和賣權相同: 買(long)選擇權， lambda必為正 At-the-mony 時， lambda最大 剩餘的契約期愈短，Lambda愈小,選擇權價值對國內利率的敏感度，稱為rho。 買權: 賣權:,在固定執行價格下，利率增加導致資產有較高的成長率，使執行買權的機會增加，故增加買權的價值。在利率無限大的極端情形下，N(d2)=1，買權一定會被執行，從而使買權就等於資產本身 賣權的情形與上述的剛好相反,收益對選擇權價值的影响: 買權: 賣權: 收益增加導致資產的成長率下降，不利買權的價值；賣權則剛好相反,已過的時間(passage of time)對選擇權價值的影响稱為 theta ()， 這亦稱為時間衰退 (time decay) 。與其他因素不同，選擇權剩下多少時間到期，是完全可預期的，故不算風險因子。一般而言， 對購入買權及賣權的影响皆為負，即選擇權的契約時間過得愈多，選擇權愈失去價值。,買權: 賣權,與Gamma ()一樣， 如果以絕對值衡量，短契約期 at-the-money的theta ()最大，因 當at-the-money選擇權的到期日愈來愈近，選擇權的價值就喪失得愈來愈多 美式選擇權的theta一定為負，因為其給予擁有者提早執行的選擇,回顧 GBM 假定只有現貨價格為單一風險因子，故選擇權函數可簡化成 f(S ,t) ，應用隨機微積分的 Itos lemma (忘了它吧!) 及Taylor展開式 ，可得,代入”Greeks” ，得: 右邊第一項為變動的趨勢，第二項為隨機因素 若希望構建一個由選擇權 f 與現貨 S 組成的投資組合，而完全消除來自 dz 的隨機風險，定義此投資組合:,使用前兩條(GBM 及 df)公式, 並簡化 此簡式很重要，不單消去 dz 項，使投資組合對隨機風險免疫 (immunized) ，更消去變動趨勢項，此解釋為何B-S定價方程式，沒有趨勢值,因為投資組合沒有風險，為避免套利行為，其報酬率必定為無風險利率 如果資產有收益(y，如紅利、股息) ，則上式調整為：,代入含有greeks 的 d公式，符消去左邊的d，得: 此即 Black-Scholes的偏微分方程式(partial differential equation, PDE) ，此方程式適用於任何其價值衍生自現貨價格的單一契約(期貨、選擇權 、遠期契約)及投資組合。例如，此方程式的解加上適當的期初條件，可直接導出歐式買權公式,根據此PDE，我們可得出各種敏感度之間的關係。例如，考慮一由各種衍生性金融商品組成的投資組合，各金融商品皆以同一資產為標的，若此投資組合已經delta避險，則此PDE中的=0， 若 rf 不大，則大而正值的，必導致為負,換言之，一有delta避險的衍生性金融商品組合，正的gamma ()導致其會受益於價格風險，則必定有負的theta(，時間衰退 (time decay) 例如買入straddle(跨坐？) ，此為delta中立並有大的gamma，其會受益於現貨價格 S 的大幅波動，但其買入的選擇權的價值，很快衰退,重要概念,Delta避險的資產組合，其 gamma的正負必定與theta的正負相反,例題 (2001 FRM Exam Q.123),當一 in-the-money 的選擇權接近到期日時，下列 “Greeks” ，何者最具風險? A. Lambda (vega) B. Rho C. Gamma D. Delta,例題 (1998 FRM Exam Q.43),若把風險定義為潛在未預期的損失，則下列 “Greeks” ，何者對買入(long)賣權，構成風險: A. delta，vega，rho B. vega，rho C. delta，vega，gamma，rho D. delta，vega，gamma，theta，rho,例題 (1998 FRM Exam Q.44),若把風險定義為潛在未預期的損失，則下列 “Greeks” ，何者對賣出 (short)買權，構成風險: A. delta，vega，rho B. vega，rho C. delta，vega，gamma，rho D. delta，vega，gamma，theta，rho,例題 (1998 FRM Exam Q.45),若把風險定義為潛在未預期的損失，則下列 “Greeks” ，何者對買入(long) straddle(跨坐)，構成風險: A. delta，vega，rho B. vega，rho C. delta，vega，gamma，rho D. delta，vega，gamma，theta，rho,例題 (1999 FRM Exam Q.39),如果市場條件不變，當接近到期日時，下列何種選擇權會有加速的時間衰退(time decay)? A. in-the-money B. out-of-the-money C. at-the-money D. 以上皆非,例題 (1999 FRM Exam Q.38),當距離到期日的時間相同時，下列有關選擇權的時間價值(time value)的陳述，何者為對? A. out-of-the-money較at-the-money有較高時 間價值 B. in-the-money較at-the-money有較高價值 C. at-the-money 比out-of-the-money和in- the-money，都較有時間價值 D. at-the-money選擇權沒有時間價值,例題 (1999 FRM Exam Q.56),若市場其他條件皆相同，無收益的歐式買權及賣權有相同的: (1) Gamma；(2) Vega；(3) theta；(4) rho A. 只有(2) B. (1)和(2) C. 全部 D. (3)和(4),例題 (1998 FRM Exam Q.36),一投資者在兩天前，向一衍生性金融商品經記商買入一短期at-the-money的straddle交換契約，下列何種風險因素將使該投資者產生損失? 1. 利率delta風險；2. gamma風險；3. vega風險；4. theta風險；5. 契約對方的信用風險 A. (1)和(2) B. (1) 、(2) 、和(3) C. (1) 、(3) 、 (4) 、和 (5) D. (1) 、(2) 、(3) 、 (4) 、和 (5),例題 (1998 FRM Exam Q.37),一投資者在兩天前，向一衍生性金融商品經記商賣出一短期at-the-money的straddle交換契約，貼水先付，下列何種風險因素將使該投資者產生損失? 1. 利率delta風險；2. gamma風險；3. vega風險； 4. theta風險；5. 契約對方的信用風險 A. (1)和(2) B. (1) 、(2) 、和(3) C. (1) 、(3) 、 (4) 、和 (5) D. (1) 、(2) 、(3) 、 (4) 、和 (5),例題 (2000 FRM Exam Q.76),投資者如何佈處一負 vega、正 gama的投資? A. 買入短期選擇權；賣出長期選擇權 B. 買入長期選擇權；賣出短期選擇權 C. 買入及賣出長期選擇權 D.買入及賣出短期選擇權,動態避險 Dynamic hedging,B-S 訂價模型主要貢献之一是：指出擁有買權等同於持有一部份標的資產，而此持有部份應隨時間及市場條件改變而動態調整,Delta 與 動態避險,假定選擇權的價值為現貨價格的函數 選擇權的價值為非線性 現貨價格增加，導致函數斜率(Delta)增加 要複製一購入買權，需對標的資產有較大的部位 反之，若現貨價格下降，則delta減少，所需標的資產部位較小,故動態避險的原則為：價格上升後，多