上海海事大学概率论第七章参数估计(5-7).ppt

5 正态总体均值与方差的区间估计,一.单个总体 N(,2) 的情况,由例1，取枢轴量为：,均值 的区间估计,N(0, 1),解得的 1-置信区间为：,或,对给定的置信度 ,确定分位数,使,例1 从一批钉子中抽取16枚，测得其长度为（单位:cm）2.14,2.10, 2.13, 2.15, 2.13, 2.12, 2.13, 2.10, 2.15, 2.12, 2.14, 2.10,2.13, 2.11, 2.14, 2.11。设钉长分布为正态分布，若已知 (cm), 求总体期望值的90置信区间.,解:已知时,的置信度为1的置信区间 为,这里,因方差未知，取枢轴量为：,对给定的置信度 ,确定分位数,使,即,从中解得,的 1-置信区间为：,或：,(续例1) (2)若未知,求总体的90置信区间. 解: 未知时,的置信度为1的置信区间为,这里,方差2 的区间估计,2 的 1-置信区间为：, 的 1-置信区间为：,(续例1) 求总体标准差s的95%置信区间. 解: s的置信度为1的置信区间为,这里,s的置信度为95%的置信区间为,二. 两个总体 的情况,两个总体均值差 的置信区间,样本：,的置信区间为：,由对称性：,解得置信区间为：,例2 为提高某一化学生产过程的得率，试图采用一种新的催化剂。为慎重起见，在试验工厂先进行试验。设采用原来的催化剂进行了n1=8次试验，得到得率的平均值 =91.73。样本方差s12=3.89 ; 又采用新的催化剂进行了n2=8次试验，得到得率的平均值 =93.75，样本方差s22=4.02 。假设两总体都可认为服从正态分布，且方差相等，两样本独立。试求两总体均值差1-2的置信水平为 0.95 的置信区间。,解：,置信区间为：,现在,故所求的置信区间为：,即,2. 两个总体方差比 的置信区间,解得置信区间为：,例3 研究由机器A和机器B生产的钢管的内径，随机抽取机器A生产的管子18只，测得样本方差s12=0.34(mm2)；抽取机器B生产的管子13只，测得样本方差s22=0.29(mm2)。设两样本方差相互独立，且设由机器A，机器B生产的管子的内径分别服从正态分布N(1,12) , N(2,22)，这里i, i（i=1,2）均未知。试求方差比12/22 置信水平为0.90 的置信区间。,解：置信区间为：,F/2(n1 ,n2)=F0.05(17,12)=2.59,n1=18, s12=0.34, n2= 13, s22=0.29, =0.10,F1-/2( 17,12 ) = F0.95( 17,12 ),=1/F0.05( 12,17 ) = 1/2.38,6 (0-1)分布的区间估计,上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限。,例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就有问题了。,这时，可将置信上限取为+，而只着眼于置信下限，这样求得的置信区间叫单侧置信区间。,7 单侧置信区间,引入单侧置信区间和置信限的定义：,又若统计量 满足,由于方差 未知，取枢轴量,1. 的单侧置信区间,正态总体中未知参数的单侧置信区间,对给定的置信水平 ，确定分位数,使,即,于是得到 的置信水平为 的单侧置信区间为,即 的置信水平为 的单侧置信下限为：,由于方差 未知，取枢轴量,解,将