《点积叉积》PPT课件.ppt

五、向量的模、方向角、投影,1. 向量的模与两点间的距离公式,得两点间的距离公式:,对两点,与,例6. 已知两点,和,解:,求,=,2. 方向角与方向余弦,设有两非零向量,任取空间一点 O ,称 =AOB (0 ) 为向量,的夹角.,类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 .,与三坐标轴的夹角 , , ,为其方向角.,方向角的余弦称为其方向余弦.,方向余弦的性质:,思考：,若 , , 是向量与三坐标面的夹角，,3. 向量在轴上的投影(7.2中简单介绍),例7. 已知两点,和,的模 、方向余弦和方向角 .,解:,计算向量,例8. 设点 A 位于第一卦限,解: 已知,作业 P300 3 , 5, 13, 14, 15, 18, 19,角依次为,求点 A 的坐标 .,则,因点 A 在第一卦限 ,故,于是,故点 A 的坐标为,向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹,一、两向量的数量积,二、两向量的向量积,8.2 数量积 向量积 *混合积,第七章,简单介绍定义 及计算.,一、两向量的数量积,1. 定义,设向量,的夹角为 ,称,数量积,(点积) .,在物理学中,故,2. 性质,为两个非零向量,则有,=,2. 性质,(1),向量在数轴上的投影(简介),x,同理可定义向量在y, z轴上的投影,(2),3. 点积的运算律,(1) 交换律,(2) 结合律,(3) 分配律,事实上, 当,时, 显然成立 ;,例1. 证明三角形余弦定理,证:,则,如图 . 设,4. 数量积的坐标表示!,设,则,当,为非零向量时,由于,两向量的夹角公式, 得,例2. 已知三点, AMB .,解:,则,求,故,为 ) .,求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度,例3. 设均匀流速为,的流体流过一个面积为 A 的平,面域 ,与该平面域的单位垂直向量,解:,单位时间内流过的体积,的夹角为,且,平面域曲面域,且曲面上每一点处的流速是 非均匀的(大小方向均变化)?,在第10章我们也能解决,这就是数学的魅力.,二、两向量的向量积,引例. 设O 为杠杆L 的支点 ,有一个与杠杆夹角为,符合右手规则,1. 定义,定义,向量,方向 :,(叉积),记作,且符合右手规则,模 :,向量积 ,引例中的力矩,右图三角形面积,S,2. 性质,为非零向量, 则,3. 运算律,(2) 分配律,(3) 结合律,(证明略),证明:,(交换律不成立!),4. 向量积的坐标表示式!,设,则,向量积的行列式计算法,( 行列式计算见附录1 P339),例4. 已知三点,角形 ABC 的面积,解: 如图所示,求三,*三、向量的混合积(简介),1. 定义,已知三向量,称数量,混合积 .,内容小结,设,1. 向量运算,加减:,数乘:,点积:,叉积:,混合积:,2. 向量关系:,思考与练习,设,计算,并求,夹角 的正弦与余弦 .,答案:,作业 P310 3 , 4 , 6 , 7 , 9(1) ; (2) , 10 , 12,预习7.5,备用题,1. 已知向量,的夹角,且,解：,2 P337 题1 (4)(5),为单位向量,且,解(4),则,三式相加得:,(4)向量,则,(5)已知,且,(5),=( ).,=( ).,同理,则原式=,=36.,36,3.,证:,在线段AB的一侧有一动点P,以PB,PA为边向外做正方,形PBCD和PAEF,M为D,E的中点(如图).,证明:(1) PMAB;,(2) PM= AB.,A,B,C,D,P,E,F,M,设,垂直屏幕向外的单位向量为,所以PMAB;,且PM= AB.,备用题.,证明(1)任意三角形ABC的三条中线可构成 1 ;,B,C,A,证:(1)设ABC三边的中点分别为D,E,F(如图),F,D,E,(2) 1 的三条中线构成的 三角形2与 ABC 相似, 并求相似比,记,则,三条中线,所以三条中线可构成三角形,记为