向量法求异面直线的夹角、线面角和二面角的平面角及距离.ppt

设异面直线a、b的夹角为,cos =,利用两条直线的方向向量的夹角的余弦 的绝对值为两直线的夹角的余弦而得。,1 求直线和直线所成的角,一、用向量法求角,2、求直线和平面所成的角,设直线BA与平面的夹角为，,A,g1,=,=,3.法向量的夹角与二面角的平面角的关系,设a l b的平面 角为q,q =g,两个平面的法向量在二面角内 同时指向或背离。,设a l b的平面 角为q,q =g,两个平面的法向量在二面角内 一个指向另一个背离。,二：向量法求距离,1、已知A(x1 , y1, z1), B(x2 , y2, z2),其中dA,B表示A与B两点间的距离，这就是空间两点间的距离公式。,2. 点到平面的距离,已知AB为平面a的一条斜线段,则A到平面a的距离,B,3. 直线和它平行平面的距离,已知直线a平面,求a到平面的距离,在a和平面上分别任取一点A和B,直线a和它平行平面的距离为,4. 两个平行平面间的距离,A、B分别是a、上的任意点，,只需在两条异面直线a 、 b上,分别任取一点A、B。,设与a 、 b的方向向量都垂直的, a、b之间的距离,3、求两条异面直线的距离,1,例1：棱长为1的正方形ABCD A1B1C1D1中,E,F,G,K分别是 棱AD,AA1,A1B1 , D1D的中点， 求A1D与CK的夹角； 求点B到平面EFG的距离； 二面角GEFD1的大小 （用三角函数表示） DD1与平面EFG所成的角； （用三角函数表示） 求A1D与CK之间的距离。,解：以D为坐标原点,交基底建立直角坐标系。,A1(1,0,1),D(0,0,0),C(0,1,0),=(1,0,1), DA1 与CK的夹角为,求点B到平面EFG的距离；,设面EGF的法向量,=0,令x=1,得,点B到平面EFG,二面角GEFD1的大小 （用三角函数表示）,由知面GEF的法向量,而面DAD1A1法向量,在二面角GEFD1内,二面角GEFD1为, DD1与平面EFG所成的角； （用三角函数表示）,由知面GEF的法向量,=(0,0,1), DD1与平面EFG所成的角为,求A1D与CK之间的距离。,=(1,0 ,1),令x=2,得,A1D与CK之间的距离,例2 正四棱柱ABCDA1B1C1D1中底面边长为4,侧棱长为5,P为CC1 上的任意一点. 求证:BDAP C1P=2,求二面角AB1PB的正切值。,证明：以D为坐标原点建立如图所示 坐标系。,A(4,0,0),B(4,4,0),D(0,0,0),由已知可知P(0,4,z),=(4, 4, z ),=(4,4, 0 ),=1616,=0, AP BD,C1P=2,求二面角AB1PB的正切值。,解：P(0, 4,3),B1(4,4,5),=(4, 4,3),=(4, 0,2),令平面APB1的法向量为,令x =2 得,而面BCPB1的法向量为,=(0, 1, 0 ),故二面角AB1PB的平面角为,不妨令二面角AB1PB的平面角为,tan,二面角AB1PB的正切值为,例3 在三棱锥DABC中,底面ABC是等腰直角三角形,侧面DBC 是等边三角形,平面DBC平面ABC,AB=AC=4,E,F分别为 BD,AD 中点。 求二面角FCED的大小； 求点B到平面CEF的距离； 直线CE与平面ABC所成的角；,解：找BC的中点O,连AO,DO,ABC是等腰三角形,AOBC于O,DOBC于O,DO面ABC,故可以以O为坐标原点OA、OC、OD 分别为x,y,z轴建立如图所示的直角坐标系,设面EFC的法向量,令 x =1,因OA面BCD,故,=(1, 0, 0)为面BCD的一个法向量,在二面角FCED内,二面角FCED的大小等于,即二面角FCED的大小为,求点B